第二章　4.2　簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)-【新教材】北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課件(共33張PPT)

4.2簡(jiǎn)單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥冪函數(shù)在生活、建筑、軍事等多個(gè)領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用.那么冪函數(shù)如何定義?它的圖象和性質(zhì)是怎樣的呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、冪函數(shù)的定義一般地,形如

(α為常數(shù))的函數(shù),即

是自變量、

是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).

名師點(diǎn)析1.冪的指數(shù)是一個(gè)常數(shù),它可以取任意實(shí)數(shù);2.冪值前面的系數(shù)是1,否則不是冪函數(shù),如函數(shù)y=5就不是冪函數(shù).3.冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有x的集合,因α的不同,定義域也不同.y=xα底數(shù)

指數(shù)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在函數(shù)①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,冪函數(shù)的序號(hào)為

.（填序號(hào)）答案:①

解析:函數(shù)y==x-4為冪函數(shù);函數(shù)y=3x2中x2的系數(shù)不是1,所以它不是冪函數(shù);函數(shù)y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.常見的五種冪函數(shù)的圖象

可以發(fā)現(xiàn)任一冪函數(shù)在第一象限內(nèi)必有圖象,在第四象限內(nèi)無(wú)圖象.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.冪函數(shù)的性質(zhì)

[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇函數(shù)

偶函數(shù)

既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

奇函數(shù)

增函數(shù)

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減增函數(shù)

單調(diào)遞減(1,1)單調(diào)遞減激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析冪函數(shù)y=xα的上述性質(zhì)可歸納如下:(1)當(dāng)α>0時(shí),圖象都通過(guò)點(diǎn)(0,0),(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)α<0時(shí),圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞減,圖象向上與y軸無(wú)限接近,向右與x軸無(wú)限接近.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中的任意一個(gè)象限.(

)(2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)(0,0)和(1,1).(

)答案:(1)×

(2)×激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)

(2)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,),則函數(shù)f(x)為(

)A.奇函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減C.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞減激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案:

(1)C

(2)C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)冪函數(shù)的概念例1函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,試確定m的值.分析由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)單調(diào)遞增,可先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,再利用單調(diào)性確定m的值.解:根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合要求.故m=3.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即:(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項(xiàng).反之,若一個(gè)函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)的圖象不過(guò)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值.解:由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當(dāng)m=1時(shí),m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件;當(dāng)m=2時(shí),m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過(guò)原點(diǎn),滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)冪函數(shù)的圖象例2已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b分析利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征和性質(zhì),結(jié)合所給圖象分析并判斷a,b,c的大小關(guān)系.答案:A

解析:由冪函數(shù)的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結(jié)合圖象可知2a>2b>2c,又函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù),于是a>b>c.2.對(duì)于函數(shù)y=xα(α為常數(shù))而言,其圖象有以下特點(diǎn):(1)恒過(guò)點(diǎn)(1,1).(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖低”);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來(lái)判斷.(4)當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都是增函數(shù);當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都是減函數(shù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0答案:A

解析:畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個(gè)函數(shù)圖象交于點(diǎn)(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無(wú)法比較大小.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.b<a<c B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b答案:A

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)冪函數(shù)圖象的應(yīng)用

圖象上,問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí),有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)<g(x)?分析先利用冪函數(shù)的定義求出f(x),g(x)的解析式,再利用圖象判斷.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的圖象,如圖所示:(1)當(dāng)x>1或x<-1時(shí),f(x)>g(x);(2)當(dāng)x=1或x=-1時(shí),f(x)=g(x);(3)當(dāng)-1<x<1且x≠0時(shí),f(x)<g(x).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范圍.解:根據(jù)冪函數(shù)y=x1.3的圖象,知當(dāng)0<x<1時(shí),0<y<1,∴0<0.71.3<1.又根據(jù)冪函數(shù)y=x0.7的圖象,知當(dāng)x>1時(shí),y>1,∴1.30.7>1.于是有0.71.3<1.30.7.對(duì)于冪函數(shù)y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,當(dāng)x>0時(shí),隨著x的增大,函數(shù)值y也增大,所以m>0.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)冪函數(shù)的“凸”性(1)上凸函數(shù)、下凸函數(shù)的定義探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)冪函數(shù)的凸性①冪函數(shù)y=xα,x∈(0,+∞),在α>1時(shí),函數(shù)是下凸函數(shù);②冪函數(shù)y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1時(shí),函數(shù)是上凸函數(shù);③冪函數(shù)y=xα,x∈(0,+∞),在α<0時(shí),函數(shù)是下凸函數(shù).這個(gè)定義從幾何形式上看就是:在函數(shù)f(x)的圖象上取任意兩點(diǎn),如果函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)之間的部分總在連接這兩點(diǎn)的線段的上方,那么這個(gè)函數(shù)就是上凸函數(shù);如果函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)之間的部分總在連接這兩點(diǎn)的線段的下方,那么這個(gè)函數(shù)就是下凸函數(shù).根據(jù)函數(shù)圖象判斷,一般開口向下的二次函數(shù)是上凸函數(shù),開口向上的二次函數(shù)是下凸函數(shù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)典例如圖,fi(x)(i=1,2,3,4)是定義在區(qū)間[0,1]上的四個(gè)函數(shù),其中滿足性質(zhì):“對(duì)[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有(

)A.f1(x) B.f2(x) C.f3(x) D.f4(x)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)再結(jié)合函數(shù)f(x)圖象的凹凸性,可排除B,C,D三個(gè)選項(xiàng),正確答案為A.答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.冪函數(shù)y=kxα過(guò)點(diǎn)(4,2),則k-α的值為(

)答案:B

解析:冪函數(shù)y=kxα過(guò)點(diǎn)(4,2),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3答案:D

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.冪函數(shù)f(x)=x3m-5(m∈N)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)遞減,且對(duì)定義域中的任意x,有f(-x)=f(x),則m等于(

)A.0 B.1 C.2 D.3答案:B

解析:冪