初中數(shù)學(xué)-12345模型(于新華講座記錄)

數(shù)學(xué)解題五境界第一個(gè)境界：正確解題．很多同學(xué)以為如果一道題目做錯(cuò)，訂正一下，知道哪里錯(cuò)了，怎么做，就行了，其實(shí)這只是最低境界．第二個(gè)境界：一題多解．我們要養(yǎng)成的良好習(xí)慣是，不要滿足于用一種做法和思路解題．一道題目做完之后想一想還有沒(méi)有其它方法，哪種方法更簡(jiǎn)單．對(duì)于最后的結(jié)果，是不是可以有其它的合理解釋?zhuān)谌齻€(gè)境界：多題一解．完成一道題目的分析后，嘗試推而廣之，或把其中的數(shù)字換成字母，或把一些條件做一些改變，從這道題目延伸出去，探究與此相關(guān)的一類(lèi)題目．第四個(gè)境界：發(fā)現(xiàn)定理．到了這個(gè)境界，可以自己發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論或定理、規(guī)律。這些結(jié)論、定理規(guī)律都是解題的有用工具。解題高都手有自己的定理庫(kù)．高境界是能夠編題。不是所有的老師都具備編題的能力。解題高手拿到一道題目，會(huì)知道出題者的意圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)出題者的陷阱。即便出題者粗心出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤，他也能夠很快地糾正糾偏．第五個(gè)境界：自己編題．解題的最劉俊勇：如果沒(méi)有真正消化吸收為自己的東西，過(guò)一段時(shí)間就忘卻了，真正弄清楚更重要，遠(yuǎn)勝于蜻蜓點(diǎn)水式瀏覽一遍．1一方面重視技巧，尤其是考試技巧學(xué)習(xí)技巧，另一方面回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸教育意義當(dāng)我們聽(tīng)到一個(gè)技巧的時(shí)候，除了拿來(lái)使用之外，還需要去體會(huì)專(zhuān)家在思考、總結(jié)過(guò)程的數(shù)學(xué)思考，這個(gè)我覺(jué)得更加重要和有意義。因?yàn)閷?zhuān)家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的傳遞，在本地方的一些小型的培訓(xùn)中，我注意到活動(dòng)中最最怕的就是坐在下面的教師一直把自己當(dāng)成聽(tīng)眾、容器，同時(shí)，相當(dāng)一部教師的都有簡(jiǎn)單的拿來(lái)主義和簡(jiǎn)單的懷疑主義傾向，這個(gè)也特別可怕數(shù)學(xué)是思維的體操，沒(méi)有絕技想拿冠軍是不可能的。以教材為主對(duì)大部分學(xué)生適用，但在我們這光靠教材的知識(shí)點(diǎn)，中考想考滿分概率為零。學(xué)靈魂在于積累、創(chuàng)新、規(guī)納而不是照搬的模仿和接受，要有自己的數(shù)學(xué)大格局，適合自己的就是最好的！版塊一引入問(wèn)題1．如圖1-1，在3×3的網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1＋∠2＝圖1-1圖1-2BD＝3，DC＝2，則AD的長(zhǎng)為2．如圖1-2，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC邊上的高，．版塊二“123”+“45”的來(lái)源a1，一般化結(jié)論：若45則有tantan1（a1），aa1a3時(shí)，則得到tan2tan=（了解）1當(dāng)23511當(dāng)a=2時(shí)，則得到tantan=（重要）2233當(dāng)a5時(shí)，則得到tantan=（了解）;25173當(dāng)a4時(shí)，則得到tantan=（次重要）452AOBcosAOB的值是【例1】（濟(jì)南市中考題）如圖2-1，是放置在正方形網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)角，則．圖2-1【例2】（2015湖北十堰）如圖2-2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，則CF的長(zhǎng)為（）5105A．210B．35C．10D．33圖2-2倍角與半角構(gòu)造1底角頂角”解題依據(jù)“90－頂角＝底角”．當(dāng)出現(xiàn)等腰三角形或翻折的背景問(wèn)題時(shí)，解決策略“頂角2如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC．⑴若tanBCA2，則tanBAC．⑵若tanBAC4，則tanABC3．3【例3】如圖2-3，已知正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)．將正方形折疊起來(lái)，使點(diǎn)A和點(diǎn)E重合，1折痕為MN．若tanAEN，DC＋CE＝10．3sinENB的值．⑴求△ANE的面積；⑵求圖2-34】如圖2-4，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為過(guò)B點(diǎn)作BFAE于點(diǎn)【例10，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且CE=2BE，，F(xiàn)，連接OF則線段OF的長(zhǎng)度為。圖2-45】（2011?武漢）如圖2-5，PA為⊙O于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)⑴求證：PB為⊙O的切線；【例O的切線，A為切點(diǎn)，過(guò)A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙D，與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．圖2-56】如圖2-6，正方形ABCD中，點(diǎn)CF⊥DE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若CF=2，則DF=【例P是BC的中點(diǎn)，把△PAB沿著PA翻折得到△PAE,過(guò)C作．圖2-64（2002?鹽城）已知：如圖2-7，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上，連接DG并延長(zhǎng)交AE于F，若∠FGE＝45°．⑴求證：BD?BC＝BG?BE；⑵求證：AG⊥BE；⑶若E為AC的中點(diǎn)，求EF：FD的值．C90DBCsinBED的值為點(diǎn)與點(diǎn)重合，若為折痕，則【例7】（江蘇省競(jìng)賽題）如圖2-8，等腰Rt△ABC△ABC折疊，使中，，為中點(diǎn)，將．ADEF圖2-8【例8】（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖2-9，在正方形ABCD中，N是DC的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且NMBMBC，則有tanABM．圖2-9＝＝【例9】（天津市競(jìng)賽試題）如圖2-10，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，BCCD2AD，E是CD上一點(diǎn)，∠ABE＝450，則tanAEB的值等于（）3A．5C．B．2D．322圖2-105【例10】如圖2-11，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且AE=AB,連接19BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD=，則線段BE的長(zhǎng)為．圖2-11【例11】（2010?上海）如圖2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；⑵若tan∠BPD=，設(shè)CE=x，△ABC的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．圖2-1212】如圖2-13，在平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3，0),B(0，4),點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，且∠OAB=2∠BCO，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【例圖2-13【例13】如圖2-14，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線AB與點(diǎn)F，若AB=4，BE=3，則BF的長(zhǎng)為．圖2-146【例14】如圖2-15，在矩形ABCD中，AB=10，BC=20，若在BC、BD上分別取一點(diǎn)M、N，使得MN+NC的值最小，則這個(gè)最小值為．圖2-1515】如圖12-16，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點(diǎn)的長(zhǎng)為【例C落在點(diǎn)G處，若DE=1，CE=2，BC=6，則AF．圖2-16版塊三12345拓展若定義符號(hào)“2”表示正切值為2的銳角，其余類(lèi)似，則⑴．"2""1"90,"3""1"90；23⑵．"1""1"45,"2""3"135；23⑶．2="1"+45,"3""1"45；327"1""1""4""1""1""3"⑷．,；422333ABC16】（202年泰州市中考題）如圖3-7，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、、【例DABCDPtanAPD都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，、相交于點(diǎn)，則的值是．圖3-7【例17】如圖3-8，二次函數(shù)P，使線段AP與直yx2x3，D（,0），在第四象限的拋物線上存在點(diǎn)2線CD的夾角為45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖2-818】如圖3-20，在邊長(zhǎng)為【例2的正方形ABCD中，邊CD上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE翻折得△AEF，連接BD，分別交AE、AF于點(diǎn)M，O，作∠BAF的角平分線AN交BD于點(diǎn)N，若BN32,則OE=．圖3-20【例219】(盤(pán)錦2015)如圖3-9-⑴，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax+bx+3交x軸于A（﹣，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過(guò)點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥l于F．D3x1x5解析式；y⑴求拋物線58⑵如圖3-9⑵，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)，求線段OD的長(zhǎng)；⑶在⑵的條件下：①連接DF，求tan∠FDE的值；G，使∠EDG=45°？若存在，②試探究在直線l上，是否存在點(diǎn)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．版塊四于特講（解）題如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上,DE1DC，連接AE，將△ADE沿AE翻折，點(diǎn)20.3D落在點(diǎn)F處，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接OF并延長(zhǎng)OF交CD于點(diǎn)G，連接BF，BG，則△BFG的周長(zhǎng)是．DKBG210,DFFGDGDFFG,4,62210DCCKDKDF6105,FG210,BF2FH2DF125,55910125．C△BFG5CG2,HG3,BG210,BH3,FH35,FJ6,FG210555512510C△BFG5我打算從四個(gè)方面講解．臨時(shí)拉了一個(gè)提綱：一、角的拓展“12345”主要是研究特殊角的大?。蠹铱梢运伎?，你在這個(gè)圖形，能夠獲得哪些角的大?。繄D（1）圖（1）顯然∠1與∠2兩個(gè)角的正切值為1/3,由"1""1""3",因此可得∠1＋∠2正切值為3/4334從而可得∠BAF正切值為4/3（這是基于兩個(gè)角互余，正切值互為倒數(shù)）；不要以為這是高中知識(shí)．實(shí)際上就是同一個(gè)直角三角形中兩個(gè)互余銳角的事情．圖（2）"1""1""4"，因此可得∠BAF（即頂角）一圖（2）由3半的正切值為1/2．22從而可得∠ABF的正切值為2,由("2""1"90)，因此∠FBC的正切值為1/2210要知道，這些知識(shí)，寫(xiě)得慢，對(duì)于會(huì)的人，在頭腦中盤(pán)算極快．本身，你要學(xué)會(huì)口算，自然得掌握一些基本功．沒(méi)有這樣的基本功，你第一次聽(tīng)這樣的講座是非常累人的．二、適度幾何．既然是幾何問(wèn)題，就盡可能挖掘其中的幾何性質(zhì)．就這個(gè)圖形中，有哪些幾何性質(zhì)可值得挖掘呢？圖（3）圖（5）3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD由此可得MB＝2MD，進(jìn)一步可得MO＝MD，即4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG5）考慮AE與DF垂直關(guān)系，且∠DAE的正切值為1/3．這樣∠FDG的正切值為1/3，∠DGF的正切值為3E、G是邊CD的三等分點(diǎn)！6）如此一來(lái)，大家注意了沒(méi)有：OG與BG相當(dāng)于圖（4）圖（M是OD的中點(diǎn)．MB=3MD圖（圖（又可以得到一大片角的信息．最最關(guān)健的還得到一個(gè)重要的幾何信息：圖（光反射．這是由于∠OGD與∠BGC的正切值均為3．11圖（6）鏡面為CD,滿足光反射，通常反向延長(zhǎng)，得到在一條直線上．由上立馬得到GB＝GP，這一點(diǎn)非常關(guān)鍵．因此要求△BFG的周長(zhǎng)，就只要求BF＋FP的長(zhǎng)．由此簡(jiǎn)化了原問(wèn)題．三、“2316模型”其實(shí)，“12345”這些問(wèn)題，在哈爾濱地區(qū)研究得最多．他們甚至研究到“2316模型”我也是剛剛不久，在與劉俊勇老師共同揣摩下，才自認(rèn)為有點(diǎn)熟悉了所謂“2316模型”所謂的“2316”模型，是指兩個(gè)基本圖形：模型1．231；模型2．236大家有沒(méi)有注意，∠B＋∠C＝45°，就是紀(jì)博士今天講解的內(nèi)容．對(duì)于“231模型”，一件困難的事情．僅僅了解這一點(diǎn)還是不夠的．還要了解外圍大三形角三邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．而這并不是即三邊之比為5:5:10，當(dāng)然可以進(jìn)一步約分．所謂的“236模型”是指這個(gè)圖形．這里就不展開(kāi)了．四、發(fā)起總攻！圖（7）請(qǐng)大家看這個(gè)圖形，△FBP就是標(biāo)準(zhǔn)的“231模型”．圖（7）12這是由于∠FBP的正切值為1/2，∠FPB的正切值為1/3．下面發(fā)起總攻！BP＝12，占5份，一份是多少？當(dāng)然是12/5．在這種情況下，BF＋FP是多少份？當(dāng)然是“根10＋根5”份了，那么BF＋FP是多少呢？當(dāng)然也就是△BFG周長(zhǎng)＝BF＋FP＝12(105)！5已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A(-2，-1)、B(1，3)兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D,21.求一次函數(shù)解析式，求tan∠OCD的值,求∠AOB的度數(shù)．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)D是腰CA上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直BD的延長(zhǎng)線，22.1），若BD是AC的中線，求的值BD；(2)如圖（2）若AD1AC,求的BD垂足為E，(1)如圖（CEnCE值．23（2016?常州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線ykx7與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線yax2bx14a經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸的正半軸交于另一點(diǎn)A，且OA：OC＝2：7．求拋物線的解析式；y1x29x7（1）22（2）點(diǎn)D為線段CB上一點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)拋物線上，PD＝PB，當(dāng)tanPDB＝2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；在（2）的條件下，點(diǎn)Q（7，m）在第四象限內(nèi)，點(diǎn)R在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)拋物線上，若以點(diǎn)P、D、（3）Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)．1324．（2015?南通）?已知拋物線P，直線l：y＝x?1yx2mxm2m1m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為2⑴求證：點(diǎn)P在直線m＝?3時(shí)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M是x∠ACM＝∠PAQ（如圖），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；l的兩個(gè)交點(diǎn)件的m的值．l上；⑵當(dāng)軸下方拋物線上的一點(diǎn)，⑶若以拋物線和直線及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條25．(2016新疆建設(shè)兵團(tuán)第23題)如圖，拋物線2yaxbx3(a0)的頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、1B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC=3AO，直線yx1與y軸交于點(diǎn)D．3⑴求拋物線解析式；⑵證明△DBO≌△EBC；⑶在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14刷子（吳小平）分享：如圖所示，作邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形的內(nèi)心O，過(guò)點(diǎn)O作三邊的垂線，則有:tanOAD1,tanOBD1,而OADOBD45；32tanAOD3,tanBOD2,而AODBOD135；tanOADtanOAE1,而tanBAC3’34tanOBDtanOBF1,而tanABC4．23如圖⑴，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=BA，D是AC上一點(diǎn)，CE垂直BD，AF⊥BD．⑴當(dāng)CE=2BE，則DE:CE的值為；⑵，過(guò)CD的中點(diǎn)作MN⊥AC分別交BC、CE于點(diǎn)1.⑵如圖N、O，若MO=NO=2，則△ABC的面積為．如圖，AB=AC,M為BC的中點(diǎn)，AM=BC，∠ABD=45°，∠DCB=90°，若AD=2015，那么BC的長(zhǎng)為．2.15如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（0,2），點(diǎn)C在第一象限，∠ABC=135°，3.AC交y軸于點(diǎn)D，CD=3AD,反比例函數(shù)yk的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)xC，則k的值為．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，Q是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AQ交BD于點(diǎn)E，4.交CD點(diǎn)P，OQ交CD點(diǎn)E，若EF∥AC，則OF的長(zhǎng)為．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5,3），M的半徑為5，一束光線從點(diǎn)A（0,2）出發(fā)，5.經(jīng)過(guò)x軸上點(diǎn)P反射后，恰好與M相切，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．如圖，拋物線yx27x2與直線y1x2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)P是y軸右側(cè)P的6.22拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F,若存在點(diǎn)P，使得∠PCF=45°，則點(diǎn)坐標(biāo)為．161yx2與x軸交于點(diǎn)yxbxc過(guò)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線C是