新高中必修二數(shù)學(xué)下期中模擬試卷及答案

新高中必修二數(shù)學(xué)下期中模擬試卷及答案一、選擇題1．已知正四棱錐的所有頂點都在同一球面上，若球的半徑為3，則該四棱錐的體積的最大值為（）A． B．32 C．54 D．642．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=BC=1，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．若圓C:關(guān)于直線對稱，則由點向圓所作的切線長的最小值是（）A．2 B．4 C．3 D．64．已知點是直線上一動點，是圓的兩條切線，切點分別為，若四邊形的面積最小值為，則的值為（）A．3 B． C． D．25．已知點A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（）A． B． C． D．6．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb7．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A． B．C． D．8．點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知實數(shù)滿足，那么的最小值為（）A． B． C． D．10．若方程有兩個相異的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．12．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為A．1∶2 B．1∶C．1∶ D．∶2二、填空題13．經(jīng)過兩條直線和的交點，并且平行于直線的直線方程是________.14．若圓：與圓：關(guān)于直線對稱，則______.15．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是.16．已知正方體的棱長為，點是棱的中點，則點到平面的距離為__________.17．已知直線且與以A(-1,1)、B(2,2)為端點的線段相交，實數(shù)的取值范圍為___________.18．在一個密閉的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是．19．直線與直線互相垂直，則__________．20．已知點是直線上的一個動點，，是圓的兩條切線，，是切點，若四邊形的面積的最小值為，則實數(shù)的值為__________．三、解答題21．如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面，且,.(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求凸多面體的體積.22．如圖，四棱錐，底面為矩形，平面，為的中點.（1）證明：平面；（2）設(shè)二面角為60°，，，求直線與平面所成角的正弦值.23．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．24．在直角坐標系中，射線OA:x－y=0（x≥0），OB:x+2y=0（x≥0），過點P(1,0)作直線分別交射線OA、OB于A、B兩點.（1）當(dāng)AB中點為P時，求直線AB的方程；（2）當(dāng)AB中點在直線上時，求直線AB的方程.25．如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．（1）設(shè)線段的中點分別為，求證：平面；（2）求二面角所成角的正弦值．26．已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC是腰長為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；(2)求三棱錐E－ABC的體積.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．A解析：A【解析】【分析】設(shè)底面的邊長為，四棱錐的高為，可得，得出四棱錐的體積關(guān)于的函數(shù)，求出的極大值點，即可得到四棱錐的體積的最大值.【詳解】正四棱錐的所有頂點都在同一球面上，若球的半徑為3，設(shè)底面的邊長為，四棱錐的高為，設(shè)正四棱錐的底面的中心為.則,平面.則,即，可得.則該四棱錐的體積為令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增.當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，該四棱錐的體積有最大值，最大值為：.故選：A【點睛】本題考查了四棱錐與球的組合體，求椎體的體積，關(guān)鍵是利用了導(dǎo)數(shù)求體積的最值．屬于中檔題．2．A解析：A【解析】分析：將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為以為長寬高的長方體的外接球，從而可得球半徑，進而可得結(jié)果.詳解：因為平面，平面，，，所以三棱錐的外接球，就是以為長寬高的長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的對角線，即，所以外接球的表面積為：，故選A.點睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.3．B解析：B【解析】試題分析：即，由已知，直線過圓心，即，由平面幾何知識知，為使由點向圓所作的切線長的最小，只需圓心與直線上的點連線段最小，所以，切線長的最小值為，故選.考點：圓的幾何性質(zhì)，點到直線距離公式.4．D解析：D【解析】【分析】當(dāng)且僅當(dāng)垂直于時，四邊形的面積最小，求出后可得最小面積，從而可求的值.【詳解】圓方程為，圓心，半徑為1．因為，為切線，且．當(dāng)最小時，最小，此時最小且垂直于．又，，，故選D.【點睛】圓中的最值問題，往往可以轉(zhuǎn)化圓心到幾何對象的距離的最值來處理，這類問題屬于中檔題.5．B解析：B【解析】【分析】【詳解】因為線段的垂直平分線上的點到點，的距離相等，所以．即：，化簡得：．故選．6．B解析：B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.7．A解析：A【解析】【分析】利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案．【詳解】對于B項，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C，D項中均有AB∥平面MNQ.故選：A.【點睛】本題考查空間中線面平行的判定定理，利用三角形中位線定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．8．D解析：D【解析】試題分析：根據(jù)題意知，是一個直角三角形，其面積為．其所在球的小圓的圓心在斜邊的中點上，設(shè)小圓的圓心為，若四面體的體積的最大值，由于底面積不變，高最大時體積最大，所以，與面垂直時體積最大，最大值為，即，∴，設(shè)球心為，半徑為，則在直角中，，即，∴，則這個球的表面積為：；故選Ｄ．考點：球內(nèi)接多面體，球的表面積．9．A解析：A【解析】由題意知，表示點到坐標原點的距離，又原點到直線的距離為，所以的距離的最小值為，故選A.10．D解析：D【解析】【分析】由題意可得，曲線與直線有2個交點，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍.【詳解】如圖所示，化簡曲線得到，表示以為圓心，以2為半徑的上半圓，直線化為，過定點，設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點為，當(dāng)，直線與半圓有兩個交點，AD與半圓相切時，，解得，，所以.故選：D【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.11．D解析：D【解析】【分析】取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的底面面積和側(cè)面積，可得答案【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，∴其母線長l＝r．∴S側(cè)＝πrl＝πr2，S底＝πr故選C．【點睛】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題13．【解析】【分析】先求出兩相交直線的交點設(shè)出平行于直線的直線方程根據(jù)交點在直線上求出直線方程【詳解】聯(lián)立直線的方程得到兩直線的交點坐標平行于直線的直線方程設(shè)為則所以直線的方程為：故答案為：【點睛】本題解析：【解析】【分析】先求出兩相交直線的交點，設(shè)出平行于直線的直線方程，根據(jù)交點在直線上，求出直線方程.【詳解】聯(lián)立直線的方程，得到兩直線的交點坐標，平行于直線的直線方程設(shè)為，則所以直線的方程為：故答案為：【點睛】本題考查了直線的交點，以及與已知直線平行的直線方程，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化與劃歸的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】【分析】兩圓關(guān)于直線對稱即圓心關(guān)于直線對稱則兩圓的圓心的連線與直線垂直且中點在直線上圓的半徑也為即可求出參數(shù)的值【詳解】解：因為圓：即圓心半徑由題意得與關(guān)于直線對稱則解得圓的半徑解得故答案為解析：【解析】【分析】兩圓關(guān)于直線對稱即圓心關(guān)于直線對稱，則兩圓的圓心的連線與直線垂直且中點在直線上，圓的半徑也為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：因為圓：，即，圓心，半徑，由題意，得與關(guān)于直線對稱，則解得，，圓的半徑，解得.故答案為：【點睛】本題考查圓關(guān)于直線對稱求參數(shù)的值，屬于中檔題.15．【解析】中因為所以由余弦定理可得所以設(shè)則在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以過作直線的垂線垂足為設(shè)則即解得而的面積設(shè)與平面所成角為則點到平面的距離故四面體的體積設(shè)因為所以則（1）當(dāng)時有故此時因解析：【解析】中，因為，所以.由余弦定理可得，所以.設(shè)，則，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設(shè)則，即，解得.而的面積.設(shè)與平面所成角為，則點到平面的距離.故四面體的體積.設(shè)，因為，所以.則.（1）當(dāng)時，有，故.此時，.，因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故.（2）當(dāng)時，有，故.此時，.由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.16．【解析】【分析】點到平面的距離等價于點到平面的距離過作交于證得平面利用等面積法求得點到平面的距離也即點到平面的距離【詳解】由于是的中點故點到平面的距離等價于點到平面的距離過作交于由于故平面在直角三角解析：【解析】【分析】點到平面的距離等價于點到平面的距離，過作，交于，證得平面，利用等面積法求得點到平面的距離，也即點到平面的距離.【詳解】由于是的中點，故點到平面的距離等價于點到平面的距離，過作，交于，由于，，故平面.在直角三角形中，，所以,解得.【點睛】本小題主要考查點到面的距離，考查等面積法求高，考查線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.17．【解析】【分析】由直線系方程求出直線所過定點再由兩點求斜率求得定點與線段兩端點連線的斜率數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)的取值范圍【詳解】解：由直線可知直線過定點又如圖∵∴由圖可知直線與線段相交直線的斜率或斜率不存解析：【解析】【分析】由直線系方程求出直線所過定點，再由兩點求斜率求得定點與線段兩端點連線的斜率，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)的取值范圍．【詳解】解：由直線可知直線過定點，又，，如圖∵，，∴由圖可知，直線與線段相交，直線的斜率，或斜率不存在，∴，或，即或，或，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查直線系方程的應(yīng)用，考查了直線的斜率計算公式，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．18．【解析】【分析】【詳解】試題分析：如圖正方體ABCD-EFGH此時若要使液面不為三角形則液面必須高于平面EHD且低于平面AFC而當(dāng)平面EHD平行水平面放置時若滿足上述條件則任意轉(zhuǎn)動該正方體液面的形狀解析：【解析】【分析】【詳解】試題分析：如圖，正方體ABCD-EFGH，此時若要使液面不為三角形，則液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC．而當(dāng)平面EHD平行水平面放置時，若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形．所以液體體積必須＞三棱柱G-EHD的體積，并且＜正方體ABCD-EFGH體積-三棱柱B-AFC體積考點：1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征；2．幾何體的體積的求法19．【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的條件計算即可【詳解】因為直線與直線互相垂直所以解得故填【點睛】本題主要考查了兩條直線垂直的條件屬于中檔題解析：【解析】【分析】根據(jù)直線垂直的條件計算即可.【詳解】因為直線與直線互相垂直，所以解得.故填.【點睛】本題主要考查了兩條直線垂直的條件，屬于中檔題.20．【解析】分析：畫出圖形（如圖）根據(jù)圓的性質(zhì)可得然后可將問題轉(zhuǎn)化為切線長最小的問題進而轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最小值的問題處理詳解：根據(jù)題意畫出圖形如下圖所示由題意得圓的圓心半徑是由圓的性質(zhì)可得四邊形的解析：【解析】分析：畫出圖形（如圖），根據(jù)圓的性質(zhì)可得，然后可將問題轉(zhuǎn)化為切線長最小的問題，進而轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最小值的問題處理．詳解：根據(jù)題意畫出圖形如下圖所示．由題意得圓的圓心，半徑是，由圓的性質(zhì)可得，四邊形的最小面積是，∴的最小值（是切線長），∴，∵圓心到直線的距離就是的最小值，∴，又，∴．點睛：本題考查圓的性質(zhì)、切線長定理的運用，解題時注意轉(zhuǎn)化思想方法的運用，結(jié)合題意將問題逐步轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的問題處理．三、解答題21．(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出AE⊥CD，CD⊥AD，從而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能證明AB⊥平面ADE．（2）凸多面體ABCDE的體積V=VB-CDE+VB-ADE，由此能求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：又在正方形中，,又在正方形中，平面.(2)連接，設(shè)到平面的距離為，，又，又，又所以【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22．（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接輔助線構(gòu)造三角形，利用三角形中位線定理證明線線平行，再通過線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，通過二面角為60°，利用平面法向量求出點的坐標，再利用法向量求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）如圖，連接，且，則在矩形中為中點，且在中，為的中點，∴且平面，平面，∴平面；（2）如圖以為原點，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，，，設(shè)，，，，∴，，設(shè)平面、平面和平面的法向量分別為，，則有，∴，令，則有，同理可得，，∵二面角為60°∴，∴，解得，∴，，設(shè)與所成角為，∴，即直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查用線面平行判定定理證明線面平行，用空間向量求線面所成角，考查推理論證能力、運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題.23．（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【點睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.24．（1）；（2）【解析】【分析】【詳解】（1）因為分別為直線與射線及的交點，所以可設(shè)，又點是的中點，所以有即∴A、B兩點的坐標為，∴，所以直線AB的方程為，即（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，則的方程為，易知兩點的坐標分別為所以的中點坐標為，顯然不在直線上,即的斜率不存在時不滿足條件.②當(dāng)直線的斜率存在時，記為，易知且，則直線的方程為分別聯(lián)立及可求得兩點的坐標分別為所以的中點坐標為又的中點在直線上,所以解得所以直線的方程為，即25．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連，得，可證四邊形為平行四邊形，進而有，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，由已知可得平面，過做，交于，得平面，過做垂足為，連，可證平面，得到為二面角的平面角，解即可.【詳解】（1）取中點，連，又為的中點，，在正方形中，是中點，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）設(shè)，是等腰直角三角形，，，平面平面，平面平面，平面，平面，過做，交于，平面，，，，在中，，過做垂足為，連，平面，，平面，為二面角的平面角，在中，，在中，，，二面角所成角的正弦值.【點睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行以及求二面角，利用垂直關(guān)