九年級數(shù)學(xué)上冊第10講 圓的有關(guān)性質(zhì)（二）（解析版）

/第10講圓的有關(guān)性質(zhì)（二）(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)類型二：運(yùn)用弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算或證明類型三：圓內(nèi)接四邊形類型一：利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)計(jì)算圓心角和圓周角時(shí)的注意事項(xiàng)：

1.在進(jìn)行有關(guān)圓心角與圓周角的計(jì)算時(shí)，應(yīng)適當(dāng)添加輔助線，以方便角度之間的轉(zhuǎn)化.一條弧所對的圓心角只有一個(gè)，而所對的圓周角有無數(shù)個(gè)，它們都相等；

2.一條弦所對的圓心角只有一個(gè)，但它所對的圓周角卻有無數(shù)個(gè)，在同一條弦的同側(cè)的圓周角相等，在同一條弦的異側(cè)的兩個(gè)圓周角互補(bǔ).典型例題例題1．（2022·云南·昭通市昭陽區(qū)第一中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BC是⊙O的弦，若∠A＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．70° B．90° C．40° D．60°【答案】D【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，故選：D．點(diǎn)評：例題1考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，能根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°是解此題的關(guān)鍵．例題2．（2022·湖北·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心九年級期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠OAB＝70°，則∠CED＝（

）A．70° B．35° C．40° D．20°【答案】D【詳解】解：連接OD、OC，如下圖∵AB＝CD，∠OAB＝70°，∴∠OAB＝＝70°，∴＝40°，又由圓周角定理可得∠CED＝＝20°．故選：D．點(diǎn)評：例題2主要考查了圓周角定理，解題關(guān)鍵是正確添加輔助線．例題3．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，則∠C的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【詳解】解：∵AB＝AD＝CD，∴，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，設(shè)∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故選D．點(diǎn)評：例題3考查了圓中等弦對等弧對等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例題4．（2022·福建省福州第八中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)在⊙O上，若∠ACB＝130°，則∠AOB＝___________°．【答案】100【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上找一點(diǎn)D，連接AD，BD，∵∠ACB＝130°，∴∠ADB＝180°－∠ACB＝130°＝50°，∴∠AOB＝2∠ADB＝100°．故答案為：100．點(diǎn)評：例題4考查了圓周角定理和圓心角定理，注意本題不含第二種情況．例題5．（2022·云南·會(huì)澤縣大井鎮(zhèn)第二中學(xué)校九年級期中）如圖，的弦與直徑相交，若，則∠AOD=____度．【答案】80【詳解】解：∵AB是的直徑，∴，∵，∴，∴；故答案為80．點(diǎn)評：例題5主要考查圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．由題意易得，則有，然后根據(jù)圓周角定理可求解．例題6．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)九年級）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在上，且為，求的度數(shù)．【答案】【詳解】如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在上，且為，所以的度數(shù)與的度數(shù)之和為360°-40°=320°．因?yàn)椤螧的度數(shù)等于的度數(shù)，∠D的度數(shù)等于的度數(shù)，所以的度數(shù)為的度數(shù)與的度數(shù)之和的一半，所以==160°．點(diǎn)評：例題6考查了圓周角的度數(shù)與所對弧度數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握圓周角的度數(shù)等于所對弧度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)整個(gè)圓弧的度數(shù)為360°，計(jì)算出的度數(shù)與的度數(shù)之和，根據(jù)圓周角的度數(shù)等于所對弧度數(shù)的一半計(jì)算即可．同類題型演練1．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，是直徑，點(diǎn)，在半圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，是直徑，，，，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，，故選：．2．（2022·北京·人大附中九年級階段練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)C，D在上，若，則的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∴．故選：C．3．（2022·全國·九年級單元測試）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，若，則∠D的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴AC＝BC，∴，∵，∴，故選：C．4．（2022·北京·人大附中九年級階段練習(xí)）如圖，等邊的三個(gè)頂點(diǎn)均在上，連接，，，則的度數(shù)為_______．【答案】120°##120度【詳解】解∶∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵∠AOC=2∠ABC，∴∠AOC=120°．故答案為：120°5．（2022·廣東順德德勝學(xué)校三模）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若，則______．【答案】110°##110度【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴∠AED=∠CED=35°，∴∠AEC=70°，∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=110°．故答案為：110°6．（2021·安徽·淮南市洞山中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．(1)求證：∠ACO＝∠BCD．(2)若BE＝3，CD＝8，求BC的長．【答案】(1)見解析(2)5【詳解】（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AB⊥CD，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO∴∠ACO＝∠BCD；（2）∵AB⊥CD，∴，∴．類型二：運(yùn)用弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算或證明圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角相等或倍分關(guān)系的方法：在圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角的相等或倍分關(guān)系時(shí)，應(yīng)從同類型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分關(guān)系入手，轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關(guān)系，從而得到問題的結(jié)論.典型例題例題1．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級階段練習(xí)）在中，滿足=2，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【詳解】解：如圖：=2，取的中點(diǎn)E，連接CE，DE；∵=2，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴AB=CE=DE，∵CE+DE>CD，∴2AB>CD，故選：B．點(diǎn)評：例題1主要考查了等弧對等弦以及三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，將成倍數(shù)關(guān)系的弧轉(zhuǎn)化為等弧是解題的關(guān)鍵．取的中點(diǎn)E，連接CE，DE，可得，根據(jù)等弧所對的弦相等可得AB=CE=DE，最后根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系即可進(jìn)行判斷．例題2．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，A、B、C是上的三個(gè)點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．55°【答案】B【詳解】∵OB=OC，∠B=55°，∴∠B=∠OCB，∴∠BOC=180°-2∠B=70°，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA==30°，故選：B．點(diǎn)評：例題2圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得∠AOC的度數(shù)，難度不大．例題3．（2022·河南南陽·九年級開學(xué)考試）下列語句中：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等?。虎軋A是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等，不正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【詳解】解：①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故①錯(cuò)誤；②同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對的弧相等，故②錯(cuò)誤；③能夠完全重合的兩條弧是等弧，故③錯(cuò)誤；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故④錯(cuò)誤；⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓周角相等或互補(bǔ)，故⑤錯(cuò)誤；所以不正確的有①②③④⑤，共5個(gè)．故選：D點(diǎn)評：例題3考查垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，弧、圓心角、圓周角的關(guān)系，熟練掌握垂徑定理，圓的基本性質(zhì)，弧、圓心角、圓周角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例題4．（2022·浙江湖州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，其中AB是直徑，點(diǎn)C是弧DB的中點(diǎn)，若∠C＝110°，則∠ABC的度數(shù)=______．【答案】55°##55度【詳解】連接OC，∵C是弧DB的中點(diǎn)，∠DCB＝110°，∴∠DCO=∠BCO=110°÷2=55°，∵AB是圓的直徑，O是圓心，∴OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=55°，故答案為55°．點(diǎn)評：例題4考查了與圓有關(guān)的性質(zhì)、等腰三角形相關(guān)的性質(zhì)，正確作出輔助線并使用該性質(zhì)進(jìn)行證明是解決本題的關(guān)鍵．例題5．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)九年級期中）如圖，AB是的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于，OD交AC于點(diǎn)E，AD＝CD．若AC＝10，DE＝4，則BC的長為______．【答案】##2.25【詳解】解：∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝5，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝r，OE＝r?4，在Rt△OAE中，，解得，∴，∵OB＝OA，AE＝CE，∴OE為△ABC的中位線，∴BC＝2OE＝．故答案為：．點(diǎn)評：例題5主要考查了垂徑定理，中位線定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理，列出關(guān)于r的方程．利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，再根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AC，AE＝CE＝5，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝r，OE＝r?4，利用勾股定理得，解得，然后證明OE為△ABC的中位線，從而得到BC的長．例題6．（2022·江蘇·九年級）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，，求證：BM＝CM．【答案】見解析【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴，∵，∴，即，∴BM＝CM．點(diǎn)評：例題6考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．同類題型演練1．（2021·甘肅·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，連接AC，CD，則AC與CD的關(guān)系是（

）．A． B．C． D．無法比較【答案】B1【詳解】解：連接AB，BC，如圖，∵∴又∴故選：B2．（2021·山東濰坊·二模）如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，，，，，，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，，，，故選：B．3．（2020·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列關(guān)于圓的說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧B．如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等C．圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線D．拱形不一定是弓形【答案】B【詳解】解：A．半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所以B選項(xiàng)符合題意；C．圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．拱形加上跨度為弓形，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．4．（2021·四川綿陽·九年級期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，延長DE交⊙O于點(diǎn)F，若AE＝3，⊙O的直徑為15，則AC長為（）A．10 B．13 C．12 D．11【答案】C【詳解】解：連接OF，∵DE⊥AB，AB過圓心O，∴DE＝EF，，∵D為弧AC的中點(diǎn)，∴，∴，∴AC＝DF，∵⊙O的直徑為15，∴OF＝OA＝，∵AE＝3，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△OEF中，由勾股定理得：，∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故選C．5．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在上，若，，則∠B的度數(shù)為______．【答案】57.5°【詳解】解：連接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°，∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案為：57.5°．6．（2021·浙江·溫州市第十二中學(xué)九年級期中）如圖，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，則的半徑長為__________【答案】【詳解】解：如圖，連接OF．∵DE⊥AB，∴DE=EF，，∵點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∴，∴AC=DF=12，∴EF=DF=6，設(shè)OA=OF=x，在Rt△OEF中，則有x2=62+（x-3）2，解得x=，故答案為：．7．（2021·陜西·商南縣富水鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級期中）如圖，的弦、相交于點(diǎn)，且．求證：．【答案】詳見解析【詳解】證明：，，

，即，

，

；8．（2021·黑龍江齊齊哈爾·九年級期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，AB＝CD，AB與DC不平行，過點(diǎn)A作，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)E，連接CE、OA．（1）求證：四邊形ADCE為平行四邊形；（2）求證：AO平分∠BAE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【詳解】證明：（1）由圓周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，∴∠E=∠D，∵，∴∴∠E+∠DAE=180°，∴，∴四邊形AECD為平行四邊形；（2）作OM⊥BA于M，ON⊥AE于N，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴AE=CD，又AB=DC，∴AE=AB，又OM⊥BA，ON⊥AE，而∴OM=ON，∴AO平分∠BAE．類型三：圓內(nèi)接四邊形典型例題例題1．（2021·重慶十八中兩江實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故選：B．點(diǎn)評：例題1考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．例題2．（2022·江蘇·九年級單元測試）若四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A：∠C＝1：2，則∠C＝（

）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形∴∠A+∠C=180°又∵∠A：∠C＝1：2∴∠C=120°故選：A．點(diǎn)評：例題2考查了⊙O的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵結(jié)合已知條件求解．⊙O的內(nèi)接四邊形性質(zhì)對角和180°，加上已知條件∠A：∠C＝1：2，即可求得∠C．例題3．（2022·浙江衢州·二模）如圖，是的直徑，C，D為上的點(diǎn)，且點(diǎn)D在弧上．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵∠D+∠B=180°，∠D=120°，∴∠B=60°，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=30°，故選：A．點(diǎn)評：例題3考查圓周角定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直徑所對圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠B=60°，由圓周角定理推論得出∠ACB=90°，再由直角三角形兩銳角互余求解即可．例題4．（2021·浙江·金華海亮外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是是內(nèi)接四邊形，已知，則______．【答案】105°【詳解】解：∵四邊形ABCD是是內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，，∴∠DCE=∠BAD=105°．故答案為：105°點(diǎn)評：例題4主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例題5．（2022·湖南·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ADC=130°，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為___________．【答案】40°##40度【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接與⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案為：40°．點(diǎn)評：例題5考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和∠ADC的度數(shù)求得∠B的度數(shù)，然后利用直徑所對的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得答案即可．例題6．（2022·云南昆明·九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：∵，∴又∵四邊形內(nèi)接于∴∴∴點(diǎn)評：例題6考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，平行線的判定定理，掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，以及已知條件可得，即可證明．同類題型演練1．（2022·江蘇鹽城·九年級期末）如圖，ABCD為圓內(nèi)接四邊形，若∠A＝60°，則∠C等于（

）A．30° B．60°C．120° D．300°【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°=120°，故C正確．故選：C．2．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）在圓內(nèi)接四邊形中，，則等于(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，∵∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為3：4：6，∴∠A=180°×=60°，∠C=180°×=120°，∠B=180°×=80°，∴∠D=180°-80°=100°，故選：C．3．（2022·四川自貢·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，為⊙的直徑，，則的度數(shù)是（

）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】C【詳解】∵為⊙的直徑，∴，又∵，∴，又∵四邊形內(nèi)接于⊙，∴，∴，故答案選：C．4．（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)九年級期末）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E在AD的延長線上，∠CDE=82°，則∠ABC的度數(shù)是_____．【答案】82°##82度【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∵∠CDE=82°，∴∠ABC＝82°．故答案為：82°5．（2022·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，已知∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，且∠ADC=120°，若點(diǎn)E為弧BC的中點(diǎn)，