大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件

大氣/海洋數(shù)據(jù)同化方法（3）變分法大氣/海洋數(shù)據(jù)同化方法（3）1數(shù)據(jù)同化的目的資料同化:數(shù)值天氣預報問題是一個初/邊值問題,初始場的精確性直接決定著預報的精確性.通過模式預報和觀測的統(tǒng)計結(jié)合得到大氣初始場的過程稱為數(shù)據(jù)同化.Purposeofdataassimilation:usingalltheavailableinformationtodetermineasaccuratelyaspossiblethestateoftheatmosphericflow.---Talagrand(1997)數(shù)據(jù)同化的目的資料同化:數(shù)值天氣預報問題是一個初/邊值問題,2兩點要注意的問題：（1）何謂“精確的大氣狀態(tài)”？要考慮大氣運動的多尺度特征，這里的精確（或真實）依賴于研究對象的特征尺度。（2）所有有效信息包括什麼？觀測資料（包括它的誤差）和控制大氣運動的物理規(guī)律兩個方面。兩點要注意的問題：3發(fā)展歷史簡要回顧早期的客觀分析和數(shù)據(jù)同化方法:Panofsky(1949)：提出的2維全局多項式插值方法是第一個客觀分析方法；GilchristandCressman(1954)：提出局地多項式插值方法；BergthorssonandDoos(1955)：指出客觀分析中應該給出所有格點的初猜值來彌補觀測的不足，由此發(fā)展了逐步訂正法（Cressman1959,Barnes1964,1978）。逐步訂正法采用了短期預報的結(jié)果作為初猜值，又不斷插入觀測（6小時一次），這樣的循環(huán)過程就構成四維資料同化；Gandin(1963)：提出最優(yōu)插值方法；Sasaki(1970)：首先將變分法引入初始化過程；HokeandAnthes(1976)：提出Nudging（牛頓張弛）四維變分方法。發(fā)展歷史簡要回顧早期的客觀分析和數(shù)據(jù)同化方法:4LewisandDerber(1985),LeDimetandTalagrand(1986),CourtierandTalagrand(1987)提出了四維變分同化方法(4DVAR),隨后ECMWF和NMC相繼在業(yè)務上采用三維和四維變分同化方法。四維變分同化方法是一種最優(yōu)控制方法，三維變分同化（3DVAR)和最優(yōu)控制方法等價，是一種最優(yōu)估計方法。LewisandDerber(1985),LeDimet5大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件6

變分方法在大氣與海洋領域的發(fā)展歷史20世紀70年代到80年代，在Marchuk及其同事(1975)提出在氣象學中運用伴隨方程的思想和在Sasaki(1958,1969,1970)提出在氣象學中運用變分方法的思想基礎之上，Penenko(1976)，LeDmiet(1986)和Talagrand(1987)分別提出了用動力模式作為約束條件構造變分問題(強變分約束)，并用伴隨方程去求其疊代解的數(shù)據(jù)同化新思路，這就是四維變分（4DVAR）伴隨同化技術（變分伴隨法）。變分伴隨法是變分原理和最優(yōu)控制論（方差最小化）相結(jié)合產(chǎn)生的一種方法。

變分方法在大氣與海洋領域的發(fā)展歷史7變分問題的起源問題是數(shù)學發(fā)展的源泉！著名的“最速降線”問題（TheBrachistochroneProblem）約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全歐洲數(shù)學家挑戰(zhàn)，提出一個難題：“設在垂直平面內(nèi)有任意兩點，一個質(zhì)點受地心引力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”變分問題的起源問題是數(shù)學發(fā)展的源泉！著名的“最速降線”問題（8給出答案的人1:羅比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel‘Hospital,1661-1704）2:雅可比·伯努利（JacobBernoulli,1654-1705）3:萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）4:牛頓（IsaacNewton,1642—1727）約翰的解法比較漂亮。雅可布的解法雖然麻煩與費勁，卻更為一般化。后來歐拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)發(fā)明了這一類問題的普遍解法，從而確立了數(shù)學的一個新分支——變分學。給出答案的人1:羅比塔（GuillaumeFrancoi9

瑞士數(shù)學家歐拉1744年出版《尋求極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧》，由此

變分法作為一個新的數(shù)學分支誕生。這本書給歐拉帶來聲譽，一度他被視為當時“活著的最偉大的數(shù)學家”。瑞士數(shù)學家歐拉1744年出版《尋求極大或極小性質(zhì)的曲線10問題之23：

變分法的進一步開展。

1900年，德國大數(shù)學家

D.

Hilbert在巴黎舉行的國際數(shù)學會議上，發(fā)表了〈數(shù)學問題〉的專題演講，提出了23個問題。

問題之23：

變分法的進一步開展。11泛函介紹泛函介紹12大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件13大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件14大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件15請用變分法解

“最速降線”問題！請用變分法解

“最速降線”問題！16滿足條件：滿足條件：17約束問題：

逐步訂正松弛逼近Kalman濾波變分問題的約束條件是模式，或是物理關系。約束問題：18問題的提出：讓滿足，使最?。?/p>

問題的提出：讓滿足，使19怎么解決？途徑：通過構造Lagrange函數(shù)化約束問題為無約束問題。怎么解決？20大氣海洋數(shù)據(jù)同化方法變分法課件21弱變分約束問題的提出（變分調(diào)整）：約束條件不是整個模式，而是較簡單的物理診斷關系。如地轉(zhuǎn)關系不能再運用伴隨方程，因為無時間傾向項！弱變分約束問題的提出（變分調(diào)整）：22解決途徑：1）構造泛函（目標函數(shù)）J(u,v,p)=(u-u’)(u-u’)+(v-v’)(v-v’)+(p-p’)(p-p’)2）考慮約束關系，構造Lagrange函數(shù)

E(x,y,u,v,p,px,py)=J(u,v,p)+aFxFx+bFyFy數(shù)學問題：求使Emin時的(u,v,p)解決途徑：233）通過Euler方法，化變分問題為微分問題我們要求u,v,p3）通過Euler方法，化變分問題為微分問題243）將E(x,y,u,v,p,px,py)代入，得到事先給定兩個系數(shù)：ab它們可調(diào)！3）將E(x,y,u,v,p,px,py)代入，得到事先給定25大氣數(shù)據(jù)的三維變分分析方法

大氣數(shù)據(jù)的三維變分分析方法261三維變分分析

如果已知大氣的觀測y0，背景場xb，那末按照線性估計理論，在統(tǒng)計意義下x的最佳估計（分析場）是

它是下面目標函數(shù)的極小點：

H是由計算y的算子(H(x)=y),稱為觀測算子（可能是簡單的內(nèi)插算子或復雜的模式）。直接由（a）求x是非常困難的，一般用我們前面講過的下降算法尋找J的極小點。計算梯度的公式是：

其中，是觀測算子的切線性算子。1三維變分分析27Courtier等（1994）為了解決四維變分同化方法耗費計算量過大的問題，提出了一種所謂增量方法?？梢詫?b)寫為擾動量（增量）形式：（c）

這里δx=x-xB,d=H(xB)－y,H’是H的切線性算子（Jacobian矩陣）。(對H(x)在xb作泰勒展開,截取前兩項)梯度為（d）不過它只給出近似解，（是第n次迭代的值）要將δx+xB

重新賦給xB進行多次迭代計算，才能夠給出更精確的解。因為（c）包含了近似：。在H是線性或者接近線性時，這一近似成立，無需迭代計算。Courtier等（1994）為了解決四維變分同化方法耗費計28三維變分同化的困難及解決辦法

一般認為不同的觀測之間(包括不同變量間)誤差的水平方向不相關,在垂直方向可能相關，所以距陣O是對角陣或者接近對角陣，求逆不困難。三維變分同化的困難及解決辦法29三維變分同化的困難及解決辦法

但是B距陣就不能看為對角陣，而它是一個維數(shù)很高的距陣，求逆實際上是不可能的。這是三維變分同化遇到的一大困難。為了解決這一困難，首先是希望分析變量之間（從而他們的誤差）相互獨立。這可以使背景誤差協(xié)方差矩陣成為事實上的塊對角矩陣）。通常的做法是取模式變量的非平衡部分作為分析變量。它們是互不相關的。這樣做還容易控制非平衡模態(tài)的增長。

三維變分同化的困難及解決辦法30實際大氣中，水平風的兩個分量是不獨立的，溫度和高度（氣壓）是密切相關的，風和高度也有密切相關。實際大氣中，31可以考慮作下面的變換原來的大氣變量為:現(xiàn)在變換為：

用r代替q是為了避免q隨高度變化劇烈?guī)淼牡膯栴}。而真正的分析變量是xp的非平衡部分，設它為：帶下標的變量表示變量的非平衡部分，即為速度勢和位勢高度場與流函數(shù)平衡的部分。（可以近似令但也可保留），而可以由平衡方程導出：可以考慮作下面的變換32背景誤差協(xié)方差矩陣的表達式可以寫為塊對角矩陣： 是單變量誤差協(xié)方差矩陣，它可以對預報誤差作統(tǒng)計分析給出。NCEP（前身為NMC）利用同一時刻不同時效（24和12小時）的預報之差作為預報誤差的近似：

這里下標i

和l表示水平方向與垂直方向的格點標號.背景誤差協(xié)方差矩陣的表達式可以寫為塊對角矩陣： 是單變量誤差33下面我們討論幾種避免求B的逆的辦法（1）

Lorenc(1988),DerberandRosati(1989)建議作變換目標函數(shù)成為：

梯度：

如果令x的初猜值為xB，即v的初猜值為零，那末實際并不用計算。按照下降算法迭代給出最后的v后，由x=xB+Bv得到分析場。不過在實際問題中B是一個維數(shù)很高的距陣（可達107×107），而且每次迭代都要作Bv的運算，占用空間很大，計算量也不小。下面我們討論幾種避免求B的逆的辦法目標函數(shù)成為：梯度：如34

(2)運用過濾算子的變分分析方法：

分析矩陣B和向量v相乘的作用。相乘后v的第j個分量是

在均勻格點下，上式相當于一個空間濾波運算，是濾波系數(shù)，過濾范圍是整個模式區(qū)間。按照這樣的分析，可以用空間濾波運算代替B，這樣的方法簡稱VAF（variationalanalysisusingafilter）。計算過程如下：初猜值v=0,梯度：這里G是一個空間濾波算子，它可以根據(jù)B的特性設計。

35例如在二維空間，認為背景場誤差各項均勻同性，可用下面的高斯分布表示背景場誤差相關函數(shù)（Daley,1991）:

是格點i,j之間的距離，是背景場誤差標準差。這樣矩陣B和v的乘相當于用一個高斯濾波器作用到v上，實際計算時應用的是一個截斷的高斯濾波器，可以大大減少內(nèi)存和計算量。例如在二維空間，認為背景場誤差各項均勻同性，可用下面的高斯分36(3)Lorenc(1997)研究了用遞歸濾波模擬的可能性。

讓作變換，則目標函數(shù)成為梯度是：

現(xiàn)在的問題是U的具體形式如何給出。前面我們指出，矩陣與某個向量的乘法可以用濾波運算逼近。如果認為背景場誤差相關函數(shù)可用形如(8.2.7)的高斯分布表示，考慮一維問題，令F＝Asin(kx)代入高斯濾波器（8.2.5）可以計算對波數(shù)為k的波的譜響應函數(shù)(振幅響應因子)：(3)Lorenc(1997)研究了用遞歸濾波模擬的可能性37設計一個遞歸濾波器定義如下：考慮一格距為的一維格點場，是格點i的原始值，是經(jīng)過從到I濾波后的值，C是經(jīng)過左右兩個方向濾波后的值，是濾波系數(shù)。則遞歸濾波器定義為：將兩式合并，有：(8.2.12)(8.2.12)亦稱反濾波器，從該式中可以求得其譜響應函數(shù)，并進而得到遞歸濾波器的譜響應函數(shù)（為反濾波器譜響應函數(shù)的倒數(shù)）。

設計一個遞歸濾波器定義如下：38N次遞歸濾波的振幅響應因子為：如，則有：（8.2.16）前面給出的高斯譜響應函數(shù)（8.2.11）為：（8.2.11）由于故遞歸濾波器（8.2.12）的結(jié)果需要乘一個因子對（8.2.11）關于作Taylor展開：(8.2.17）（8.2.17）與（8.2.16）對比，可得：