北京清華育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

北京清華育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，，且，則向量與向量的夾角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】通過(guò)向量的垂直轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算，利用向量夾角的余弦公式求出其余弦值，問(wèn)題得解．【詳解】，即：又，向量與向量的夾角的余弦為，向量與向量的夾角為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角公式及向量運(yùn)算，還考查了向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．2.已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足，且，則△ABC的外接圓半徑為（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)條件得，再根據(jù)正弦定理求外接圓半徑.【詳解】因?yàn)?所以，從而外接圓半徑為,選C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及正弦定理，考查基本求解能力,屬基本題.3.函數(shù)的圖象大致是（

）

A

B

C

D參考答案：D4.下列事件中，不是隨機(jī)事件的是(

).A.東邊日出西邊雨

B.下雪不冷化雪冷C.清明時(shí)節(jié)雨紛紛

D.梅子黃時(shí)日日晴參考答案：B略5.將函數(shù)的圖象向右平移θ個(gè)單位（θ＞0）后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則θ的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，求得θ的最小值．【解答】解：將函數(shù)的圖象向右平移θ個(gè)單位（θ＞0）后，可得y=2sin（3x﹣3θ+）的圖象，再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則﹣3θ+=kπ+，k∈Z，即θ=﹣﹣，故θ的最小值為，故選：B．6.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，BC=，AC=1，∠ACB=90°，則此球的體積等于（）A．π B．π C．π D．8π參考答案：C【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為為，BC=，AC=1，∠ACB=90°，求出AA1，再求出△ABC外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的體積．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，BC=，AC=1，∠ACB=90°，∴AA1=∴AA1=2，∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圓的半徑R=1，∴外接球的半徑為=，∴球的體積等于=π，故選：C．7.已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，則m、n、p的大小關(guān)系為()A．m＜n＜p

B．n＜p＜m

C．p＜m＜n

D．p＜n＜m參考答案：C8.已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿(mǎn)足,則的最大值是

（

）

（A）1

（B）2

（C）

（D）參考答案：C9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則角A為（

）A.45° B.60° C.75° D.135°參考答案：C【分析】由，，及正弦定理求得：，結(jié)合即可求得，問(wèn)題得解?！驹斀狻拷猓骸?，，，∴由正弦定理可得：，∵，為銳角，∴∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，考查大邊對(duì)大角、三角形的內(nèi)角和結(jié)論在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0

B．1

C.2

D．3參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角等于

參考答案：12.（4分）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

．參考答案：[kπ+≤x≤kπ+，]，k∈Z考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的圖象．專(zhuān)題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 利用正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．解答： ∵=﹣sin（3x﹣）∴由2kπ≤3x﹣≤2kπ，k∈Z，即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故函數(shù)的遞增區(qū)間為，k∈Z，故答案為[kπ+≤x≤kπ+，]，k∈Z點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．13.已知，，則

.參考答案：14.已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

▲

.參考答案：；15.求值：＝__________。參考答案：16.在中，若，則為

三角形。參考答案：等腰直角17.的三個(gè)內(nèi)角為、、，當(dāng)為

時(shí)，取得最大值，且這個(gè)最大值為

。參考答案：解析：

當(dāng)，即時(shí)，得三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在△ABC中,為BC上的點(diǎn),E為AD上的點(diǎn),且.（1）求CE的長(zhǎng);（2）若,求的余弦值.參考答案：(1);(2).試題分析：本題是正弦定理、余弦定理的應(yīng)用。（1）中，在中可得的大小，運(yùn)用余弦定理得到關(guān)于的一元二次方程，通過(guò)解方程可得的值；（2）中先在中由正弦定理得，并根據(jù)題意判斷出為鈍角，根據(jù)求出。試題解析：（1）由題意可得，在中，由余弦定理得，所以，整理得，解得：．故的長(zhǎng)為。（2）在中，由正弦定理得，即所以，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，所以，而，所以只能為鈍角，所以，所以．19.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)有，當(dāng)時(shí)，.（1）求證：在上是增函數(shù)（2）若，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘忸}程序化】：條件：題目給出了對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題：（1）證：在上是增函數(shù)（2）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍途徑：1、設(shè)，則2、利用條件，找出與之間的關(guān)系3、利用（1）的結(jié)論，由得出之間關(guān)系，進(jìn)而求出的取值范圍【解題步驟】：（【個(gè)人體驗(yàn)】在證明抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)相應(yīng)的構(gòu)造方法需要課下對(duì)各種類(lèi)型進(jìn)行總結(jié)。

參考答案：1）由函數(shù)是定義在上的函數(shù)，可設(shè)任意的，則，從而在上是增函數(shù)（2）由及得在上是增函數(shù)

解得略20.已知函數(shù)f（x）=logax（a＞0且a≠1），且函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（m2﹣m）＜1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；一元二次不等式的解法．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）直接根據(jù)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2，1）求出實(shí)數(shù)a；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解出不等式即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，1），∴f（2）=1，即loga2=1，解得a=2，因此，f（x）=log2x（x＞0）；（2），∵f（m2﹣m）＜1且1=log22，∴l(xiāng)og2（m2﹣m）＜2，該不等式等價(jià)為：解得，﹣1＜m＜0或1＜m＜2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣1，0）∪（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．21.（本題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）若，求的值。參考答案：(1).=2,=……6分(2)

+……12分22.（本題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；（1）求函數(shù)在R上的解析式并畫(huà)出函數(shù)的圖象（不要求列表描點(diǎn)，只要求畫(huà)出草圖）（2）（?。?xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（ⅱ）若方程在[0,+∞)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。參考答案：解：（1）設(shè)則

所以

又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以

所以

即…………2分

所以………