2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)真題試卷(含詳細(xì)解析)

2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)真題試卷(含詳細(xì)解析)1.多選題1．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上連續(xù)，下列結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)≥0B．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)≤0C．當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)>0D．當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)<0答案：A，C2．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，E是AB上的一點，且AE=DE，則下列結(jié)論中正確的是（）A．△ADE≌△ABCB．△ADE與△ABC不全等，但是相似C．△ADE與△ABC不相似D．△ADE與△ABC的關(guān)系與已知條件無關(guān)答案：A，B3．已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，則下列結(jié)論中正確的是（）A．f(g(x))=6x-3B．g(f(x))=6x-1C．f(g(x))=6x-5D．g(f(x))=6x+1答案：A，D4．已知集合A={x|x2-4x+3=0}，B={x|x-1>0}，則下列結(jié)論中正確的是（）A．A={1,3}B．A={1,2}C．B={x|x>1}D．B={x|x<1}答案：A，C5．已知函數(shù)f(x)=x2-3x+2，g(x)=2x-1，則下列結(jié)論中正確的是（）A．f(x)與g(x)的零點個數(shù)相同B．f(x)與g(x)的圖象相交于兩點C．f(x)與g(x)的圖象平行D．f(x)與g(x)的圖象相離答案：A，BB．f(-1)=，C．f(2)=，D．f(4)=9。下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差、極差、離散程度的是（）A．樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)，B．樣本x1,x2,…,xn的方差，C．樣本x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差，D．樣本x1,x2,…,xn的中位數(shù)。10．O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點。在正方體中，則滿足MN⊥OP的是（）A．，B．，C．，D．。11．已知直線l:ax+by-r/2與圓C:x^2+y^2=r^2，點A(a,b)，則下列說法正確的是（）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切，B．若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離，C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離，D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切。12．設(shè)正整數(shù)n=a1^2+a2^2+?+ak-1^2+a_k*2^k，其中ai∈{0,1}，記ω(n)=a1+a2+?+ak，則（）A．ω(2n)=ω(n)，B．ω(2n+3)=ω(n)+1，C．ω(8n+5)=ω(4n+3)，D．ω2-1=n。13．已知雙曲線x^2/2-y^2/2=1（a>0,b>0）的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為y=±x/2。14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：①f(x1x2)=f(x1)f(x2)，②當(dāng)x∈(0,+∞)時，f'(x)>0，③f'(x)是奇函數(shù)。15．已知向量a+b+c=0，a=1，b=c=2，a·b+b·c+c·a=8。則a·c=7。16．已知函數(shù)f(x)=e^(-1/x)，x<0,x>2，函數(shù)f(x)的圖象在點A(x1,f(x1))和點B(x2,f(x2))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則x1=1/3，x2=3/2。17．記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3=S5，a2a4=S4。（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；（2）求使Sn>an成立的n的最小值。解：（1）設(shè)公差為d，則有a1=a3-2d，a2=a3-d，a4=a3+d，a5=a3+2d。由a3=S5得3a3=2(a1+a5)+a3×3，化簡得a3=2S5/5。由a2a4=S4得(a3-d)(a3+d)=S4，代入a3=2S5/5，化簡得d=S5/5。因此，an=a3+(n-3)d=2n^2-5n+6。（2）Sn=na1+(n-1)nd/2，an=a1+2(n-1)d。代入an=Sn得n^2-3n+2=0，解得n=1或2。當(dāng)n=1時，Sn=a1=2，an=2，不符合Sn>an的條件。當(dāng)n=2時，S2=a1+a2=2a3-3d=4，a2=2a3-d=5，符合Sn>an的條件。因此，n=2是使Sn>an成立的最小值。1.在ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，b=a+1，c=a+2。求ABC的面積，若存在正整數(shù)a使得ABC為鈍角三角形，則求a的值，否則說明理由。2.在四棱錐Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=2，QD=QA=5，QC=3。證明平面QAD垂直平面ABCD，求二面角B-QD-A的平面角的余弦值。3.已知橢圓C的方程為(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)，右焦點為F(2,0)，且離心率為e=√(a^2-b^2)/a^2。求橢圓C的方程，設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x^2+y^2=b^2(x>0)相切。證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|=3。4.一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)。已知p=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)。設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p+p1x+p2x^2+p3x^3=x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)≤1時，p=1，當(dāng)E(X)>1時，p<1。根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義。5.已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax^2+b。討論f(x)的單調(diào)性，從下面兩個條件中選一個，證明：f(x)只有一個零點①a>1/e^2，b>2a；②0<a<1/e^2，b≤2a。2.其到直線$x-y+1=0$的距離為$d=\frac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，$U=\{1,5,6\}$，所以$A\cap(U-B)=\{1,6\}$，解得$p=2$（$p=-6$被舍去）。因此選B。4.由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結(jié)果。由題意可得，$S$占地球表面積的百分比約為：$$\frac{2\pir(1-\cos\alpha)}{4\pir^2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$因此選C。5.由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解。作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為$2$，$4$，側(cè)棱長為$2$，所以該棱臺的高$h=2$，下底面面積$S_1=16$，上底面面積$S_2=4$，所以該棱臺的體積$V=hS_1/3+S_1S_2/2=32/3$。因此選D。6.由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解。對于A，$\sigma^2$為數(shù)據(jù)的方差，所以$\sigma$越小，數(shù)據(jù)在$\mu=10$附近越集中，所以測量結(jié)果落在$(9.9,10.1)$內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于$10$的概率為$0.5$，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于$10.01$的概率與小于$9.99$的概率相等，故C正確；對于D，因為該物理量一次測量結(jié)果落在$(9.9,10.0)$的概率與落在$(10.2,10.3)$的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在$(9.9,10.2)$的概率與落在$(10,10.3)$的概率不同，故D錯誤。因此選C。7.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較$a$、$b$與$c$的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論。$a=\log_52<\log_55=1<c=\log_53$，即$a<c<b$。因此選C。8.推導(dǎo)出函數(shù)$f(x)$是以$4$為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出$f(1)=1$，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論。因為函數(shù)$f(x+2)$為偶函數(shù)，則$f(2+x)=f(2-x)$，可得$f(x+3)=f(1-x)$。因為函數(shù)$f(2x+1)$在$[0,2)$上單調(diào)遞增，則$f(1)=f(2\cdot0+1)<f(2\cdot1+1)<f(2\cdot2+1)=f(1)$，即$1<f(3)<f(1)$，因此$f(3)=2$。由$f(1)=1$可得$f(5)=f(1)=1$，由$f(3)=2$可得$f(7)=f(3)=2$，因此$f(x)$是以$4$為周期的周期函數(shù)，且$f(9)=f(1)=1$。因此選B?！驹斀狻吭O(shè)圓心為O，半徑為r，直線的一般式為ax+by+c=0.對于A，點P在直線上，故AP垂直于直線，故有a2+b2=AP2=r2，故A正確.對于B，如圖所示，點P在直線上，設(shè)點Q為圓心O到直線的垂足，則有PQ=r，又因為OP垂直于直線，故有aOP+b=0，又因為OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，將OQ的坐標(biāo)代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因為a2+b2=r2，故上式化為r2-r2=-ar，故a=0，即直線與y軸平行，故B正確.對于C，如圖所示，點P在直線上，設(shè)點Q為圓心O到直線的垂足，則有PQ=r，又因為OP垂直于直線，故有aOP+b=0，又因為OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，將OQ的坐標(biāo)代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因為a2+b2=r2，故上式化為r2-r2=-ar，故a=0，即直線與y軸平行，與圖中不符，故C錯誤.對于D，如圖所示，點P在直線上，設(shè)點Q為圓心O到直線的垂足，則有PQ=r，又因為OP垂直于直線，故有aOP+b=0，又因為OP=OQ+QP，故有aOQ+b=-r，將OQ的坐標(biāo)代入上式，得到a2+b2-r2=-ar，又因為a2+b2=r2，故上式化為r2-r2=-ar，故a=0，即直線與y軸平行，與圖中不符，故D錯誤.故選：ABD.圓心為C(0,0)，到直線l的距離為d=r^2/(a^2+b^2/4)，其中點A(a,b)在圓C上時，a^2+b^2=r^2，因此d=r；點A在圓C內(nèi)時，a+b<r，因此d<r；點A在圓C外時，a+b>r，因此d>r；點A在直線l上時，a^2+b^2=r^2，因此d=r。因此，正確選項為ABD。對于ACD選項，利用ω(n)的定義可以判斷其正誤，對于B選項，取n=2，2n+3=7=1×2+1×2^1+1×2^2，因此ω(7)=3，而ω(2)=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，因此B選項錯誤。對于C選項，8n+5=a×2+a1×2^1+…+ak×2^k+3=1×2+1×2^2+a×2^3+a1×2^4+…+ak×2^(2k+2)+a1×2^(2k+3)，因此ω(8n+5)=2+a+a1+…+ak+a1，而4n+3=a×2^2+a1×2^3+…+ak×2^(2k+2)+a1，因此ω(4n+3)=2+a+a1+…+ak，因此ω(8n+5)=ω(4n+3)，因此C選項正確。對于D選項，n+2n-1=2^1+2^2+…+2^(n-1)+2^n-1，因此ω(n-1)=n，因此D選項正確。因此，正確選項為ACD。雙曲線的離心率為√(a^2+b^2)/a，因此√(a^2+b^2)/a=2，因此b^2=3a^2，又因為雙曲線的漸近線方程為y=±b/ax，因此漸近線方程為y=±3x。因此，答案為y=±3x。本題考察了雙曲線離心率和漸近線的求解，屬于基礎(chǔ)題。=2×3-6=-0.由an=2n-6可得a4=2×4-6=2，a5=2×5-6=4，a6=2×6-6=6，a7=2×7-6=8，因此數(shù)列為-0,7,2,4,6,8；(2)由題意可得a1=7，a2=2×a1-6=8，a3=2×a2-6=10，a4=2×a3-6=14，因此數(shù)列為7,8,10,14.【改寫】(1)根據(jù)題意可得數(shù)列的通項公式為an=2n-6，代入n=3,4,5,6,7可求出數(shù)列為-0,7,2,4,6,8；(2)根據(jù)題意可得數(shù)列的遞推式為an=2×an-1-6，代入a1=7可求出數(shù)列為7,8,10,14.（1）利用等式左右兩邊分別乘以x，再利用等式左右兩邊分別加上1，最后利用平方差公式進(jìn)行化簡，即可證明等式成立；（2）將等式左右兩邊分別乘以x，再利用等式左右兩邊分別加上1，得到一個關(guān)于x的二次方程，解出x的值，再代入原等式中驗證即可?！驹斀狻浚?）左邊乘以x，右邊乘以x，得到：x2x1x2x1x2x1x2x1再將左右兩邊加上1，得到：x2x1x2x11x2x1x2x11化簡可得：x2x1x2x11利用平方差公式，將左邊分子進(jìn)行化簡，得到：x2x1x2x11x2x1x2x1化簡可得：x2x1x2x11因此，等式成立。（2）左邊乘以x，右邊乘以x，得到：x2x1x2x1x2x1x2x1將左右兩邊加上1，得到：x2x1x2x11x2x1x2x11化簡可得：x2x1x2x11將等式左右兩邊移項，得到：x2x1x2x10這是一個關(guān)于x的二次方程，解得x為1或-1/3，代入原等式中驗證可得，只有x=1時等式成立。因此，等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1。由題意，直線MN與橢圓相切，即MN為橢圓的切線，所以M、N、切點P三點共線。設(shè)切點為P(x0,y0)，則由橢圓的性質(zhì)可得PN垂直于橢圓的切線，即PN的斜率存在且為-k，其中k為MN的斜率。又因為MN過點P，所以MN的斜率為k=(y2-y1)/(x2-x1)，聯(lián)立可得y2-y1=-k(x2-x1)。由此可得MN的方程為y=-kx+(kx1+y1)，其中k=(y2-y1)/(x2-x1)。又因為MN過橢圓的切點P，所以將MN的方程代入橢圓方程中可得(x0,y0)滿足x0^2+y0^2=1且y0=-kx0+(kx1+y1)。聯(lián)立可得x0^2+(kx0-kx1-y1)^2=1，即x0^2+k^2x0^2-2kx0(x1+y1)+x1^2+y1^2=1。由于MN的斜率存在，所以k不等于0，聯(lián)立可得x0=(1+k^2)^(-1/2)，y0=kx0+(kx1+y1)，即可得MN的長度MN=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)=sqrt((1-kx1-y1)^2+(kx1-1)^2)。由于MN為橢圓的切線，所以PN=1，又因為M、N、P三點共線，所以PM+PN=1，即PM=1-PN=0。由此可得MN=3-PM=3。因此，必要性得證。充分性：設(shè)直線MN的斜率為k，由題意可知MN過橢圓的切點P(x0,y0)，則MN的方程為y=k(x-x0)+y0。將MN的方程代入橢圓方程中可得(x-x0)^2/a^2+k^2(x-x0)^2/b^2=1，即(x-x0)^2(1/a^2+k^2/b^2)=1。因為橢圓的離心率為e=c/a，所以c=a*e=2，又因為b^2=a^2-c^2=5，所以a=3。代入可得(x-x0)^2(1/9+k^2/25)=1。又因為MN過橢圓的切點P(x0,y0)，所以(x0,y0)滿足橢圓方程，即x0^2/9+y0^2/25=1。聯(lián)立可得(x0,y0)=(3/√(9+k^2),-k/√(9+k^2))。又因為MN過點M(1,0)，所以將M代入MN的方程中可得y0=-k(x0-1)，代入可得k^2+1=(3k/(3+k))^2，即k=±1。因此，充分性得證。若f(x)有最小正零點，則f(x)在該點左側(cè)單調(diào)遞減，在右側(cè)單調(diào)遞增，且該點為極小值點。所以f’(x)的根必須在(0,1)內(nèi)，且f’(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f’(0)>0，f’(1)<0。解得p3=0.2，p2=0.3，p1=0.5，所以f(x)=0.2x+0.3x-1.1x+0.5。f(x)在[0,1]內(nèi)單調(diào)遞減，所以最小正零點為0.55。（3）E(X)的意義是取數(shù)的平均值，所以E(X)必須在[1,2]的范圍內(nèi)。同時，由于f(x)的最小正零點為0.55，所以X的取值范圍必須包含0.55。綜合可得，X的取值范圍為[1,3]。若x0,，則f'x0,fx單調(diào)遞增；當(dāng)a時，若x,0，則f'x0,fx單調(diào)遞減，若x0,，則f'x0,fx單調(diào)遞增.因為f'(1)=e^-2a>0，所以f(x)在x=1處取得局部極小值，且f(1)=e^-a>0；又因為f(x)在x趨近于正無窮和負(fù)無窮時都趨近于0，所以f(x)在(0,1)和(1,∞)上分別單調(diào)遞增和遞減；因此，當(dāng)a≤0時，f(x)在整個實數(shù)軸上單調(diào)遞減，當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,∞)上單調(diào)遞減；根據(jù)函數(shù)零點存在定理，當(dāng)a≤0時，f(x)存在唯一的零點x=1，當(dāng)a>0時，f(x)存在兩個零點x1和x2，且x1<1<x2；綜上，當(dāng)a≤0時，方程f(x)=x的解為x=1，當(dāng)a>0時，方程f(x)=x的解為x=x1和x=x2，且1<x2；(2)當(dāng)a≤0時，f(x)在整個實數(shù)軸上單調(diào)遞減，且f(1)=e^-a<1，所以當(dāng)E(X)≤1時，方程f(x)=x的解為x=1；當(dāng)a>0時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,∞)上單調(diào)遞減，且f(1)=e^-a>1，所以當(dāng)E(X)>1時，方程f(x)=x的解為x=x1和x=x2，且1<x2<1/E(X)；因此，當(dāng)E(X)≤1時，微生物滅絕的概率為1，當(dāng)E(X)>1時，微生物滅絕的概率小于1.若$x\in(0,+\infty)$，則$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$|a|$時，若$x\in(-\infty,\ln(2|a|))$，則$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；若$x\in(\ln(2|a|),0)$，則$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；若$x\in(0,+\infty)$，則$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$a=1$時，$f'(x)\geq0$，$f(x)$在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a>\frac{1}{2}$時，若$x\in(-\infty,0)$，則$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；若$x\in(0,\ln(2|a|))$，則$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；若$x\in(\ln(2|a|),+\infty)$，則$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。若選擇條件①：由于$|a|<\frac{1}{2}$，故$1<2|a|\leqe^2$，則$b>2|a|>1$，$f(x)=b-1>0$。又因為$f(\ln(2|a|))=2|a|(\ln(2|a|)-1)-a\ln(2|a|)+b>2|a|(\ln(2|a|)-1)-2|a|\ln(2|a|)+2|a|=(2|a|-1)\ln(2|a|)+2|a|>0$，故$f(x)$在$(-\infty,0)$上有一個零點。由于函數(shù)在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，故函數(shù)在$(0,+\infty)$上沒有零點。綜上可得，題中的結(jié)論成立。若選擇條件②：由于$|a|<\frac{1}{2}$，故$2|a|<1$，則$f(x)=b-1\leq2|a|-1<0$。當(dāng)$b\geqe^2$時，$f(2)=e^2-4|a|+b>0$，故函數(shù)在$(0,+\infty)$上有一個零點。當(dāng)$b<e^2$時，構(gòu)造函數(shù)$H(x)=e^{-x}-1$，則$H'(x)=e^{-x}<0$，$H(x)