測量誤差與平差

測量誤差與平差第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月平差——削平差異，消除不符。由于測量儀器的精度不完善和人為因素及外界條件的影響，測量誤差總是不可避免的。為了提高成果的質(zhì)量，處理好這些測量中存在的誤差問題，觀測值的個數(shù)往往要多于確定未知量所必須觀測的個數(shù)，也就是要進行多余觀測。有了多余觀測，勢必在觀測結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，測量平差的目的就在于消除這些矛盾而求得觀測量的最可靠結(jié)果并評定測量成果的精度。測量平差采用的原理是“最小二乘法”。測量平差是德國數(shù)學(xué)家高斯于1821～1823年在漢諾威弧度測量的三角網(wǎng)平差中首次提出并應(yīng)用的。以后經(jīng)過許多科學(xué)家的不斷完善，得到發(fā)展，測量平差已成為測繪學(xué)中很重要的、內(nèi)容豐富的基礎(chǔ)理論與數(shù)據(jù)處理技術(shù)之一。

第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月測量平差是測繪工程專業(yè)的主干課程，一般需要講授70學(xué)時以上。平差分為簡易平差和嚴(yán)密平差。嚴(yán)密平差又分為條件平差和間接平差。在高程測量一章中水準(zhǔn)路線閉合差的計算與分配實際上就是一種簡易平差工作（消除高差不符值）。簡易平差的相關(guān)內(nèi)容將結(jié)合具體的控制測量計算（如導(dǎo)線計算）加以介紹；對于嚴(yán)密平差方法，有興趣的同學(xué)可自學(xué)。本章主要介紹測量誤差的基本知識。目的是了解測量誤差產(chǎn)生的原因和評定精度的標(biāo)準(zhǔn)；掌握偶然誤差的特性、誤差傳播定律及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用方法。第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月§8－1誤差與精度一、測量誤差的概念誤差是指由各種原因引起的觀測值與真實值，或真實值與其應(yīng)有值之間存在的差異。比如：三角形的內(nèi)角和為180o，觀測值為180o00'30″；標(biāo)尺刻劃間距的真實值為0.97cm，其應(yīng)有值即理論設(shè)計值為1cm。要點：“要測量就會有誤差”，即誤差與測量同在。誤差來源于三個方面：儀器誤差、觀測誤差和外界環(huán)境的影響。觀測條件與誤差的關(guān)系。與誤差的三個來源相對應(yīng)的測量儀器、觀測者和作業(yè)環(huán)境叫觀測條件。觀測條件的好壞決定誤差的大小。第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二.誤差的類型測量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差及粗差。系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下作多次觀測（或?qū)δ愁悢?shù)據(jù)進行同種處理），如果觀測結(jié)果包含的誤差在大小及符號上表現(xiàn)出一致的傾向，如按一定的函數(shù)關(guān)系變化，或保持常數(shù)，或保持同號，則這種誤差叫系統(tǒng)誤差。比如：鋼尺尺長誤差，光電測距中的加常數(shù)、剩余常數(shù)，傳統(tǒng)的“五入”等。偶然誤差：在相同的觀測條件下作多次觀測（或?qū)ν悢?shù)據(jù)進行同種處理），如果觀測結(jié)果包含的誤差在大小及符號上均沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即從表面看沒有任何規(guī)律性，則這種誤差叫偶然誤差。比如：水準(zhǔn)讀數(shù)估讀、照準(zhǔn)偏左或偏右等。粗差：數(shù)值超出了某種規(guī)定范圍的誤差。如讀錯、記錯等。第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月粗差實際上是一種不太容易發(fā)現(xiàn)的錯誤，嚴(yán)格來講，粗差不應(yīng)屬于測量誤差的范疇。三.偶然誤差的特性系統(tǒng)誤差具有傾向的一致性，即單向性、同一性，其影響具有積累性，對測量成果精度的影響很大，必須設(shè)法消除或減小，比如施加尺長改正、加常數(shù)改正、剩余常數(shù)改正、氣象改正等。偶然誤差是一種隨機性誤差，不能直接通過加改正數(shù)的方法來消除，在觀測結(jié)果中總是不可避免地包含偶然誤差，因此，偶然誤差是測量誤差理論的主要研究對象。偶然誤差雖然從表面上看沒有規(guī)律，但實際上具有統(tǒng)計性規(guī)律，即特性。下面先給出真誤差的定義，然后介紹偶然誤差的四個特性。第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月任何一個被觀測量，客觀上總存在一個能代表其真正大小的數(shù)值，稱作“真值”。設(shè)某量的真值為X，已剔除了系統(tǒng)誤差的觀測值為l，則它們的差值叫做該觀測值的真誤差，簡稱誤差，用△表示，即：

△＝l－

X真誤差△僅指偶然誤差。如果對某量作一系列的觀測，得到n個觀測值li(i=1,2,···,n)；則有n個真誤差△i(i=1,2,···,n)與之相對應(yīng)。這種僅包含偶然誤差的真誤差具有以下四個特性：有界性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。（這個限值不是固定的，與觀測條件有關(guān)）第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，某項試驗中，在相同的觀測條件下共觀測了358個三角形的全部內(nèi)角，計算出每個三角形的和角真誤差（即閉合差，三角之和與180o之差）。分別對正、負(fù)誤差按絕對值由小到大排列，然后以d△＝3″為誤差區(qū)間統(tǒng)計各區(qū)間的誤差個數(shù)k，并計算其相對個數(shù)（k/n，也稱作頻率，n＝358

）。結(jié)果列于下表：第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.趨向性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。誤差分布的趨向性在統(tǒng)計表中十分明顯。誤差分布的趨向性在頻率直方圖中更易看出。偶然測量誤差是隨機變量，服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱性絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。同樣，誤差分布的對稱性可從統(tǒng)計表和直方圖中得到驗證。第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月4.抵償性偶然誤差的算術(shù)平均值將隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即：在測量平差中，方括號[]用來表示求和。第四個特性是由第三個特性即對稱性導(dǎo)出的。必須指出，偶然誤差的以上特性，尤其是后面的三個特性，只有當(dāng)觀測數(shù)目較多（一般n為20以上）時才會比較明顯。第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月精度及其衡量指標(biāo)（一）.精度的含義精度是指一組觀測誤差分布的密集或離散的程度。若分布集中，即小誤差多、大誤差少，則說明該組觀測值的質(zhì)量好、精度高；反之，精度就低。據(jù)此可判別下圖中哪組觀測精度相對較高。誤差分布曲線一誤差分布曲線二第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月精度是一組觀測成果質(zhì)量高低的標(biāo)志，它與觀測條件的好壞密切相關(guān)。在相同的觀測條件（觀測者、儀器和外界環(huán)境）下進行的一組觀測，叫做“同精度觀測”。所有的觀測值對應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對于組中的每一個觀測值（即使是誤差為零或誤差很大的觀測值），都稱為“同（等）精度觀測值”；反之，則稱為“非等精度觀測”。例如，同一個觀測者同一天用同一臺儀器對同一個三角形的內(nèi)角和觀測了10次，閉合差w有+8″的，有-2″的，也有為0的。w=0并不意味著高精度，w=8″也不表示低精度，所有的觀測結(jié)果應(yīng)認(rèn)為是相同精度的。只有在不同的觀測條件下所作的觀測，才可以看作精度不同。第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）.衡量精度的指標(biāo)除了用誤差分布圖表示觀測精度之外，還可用簡明的數(shù)字來作為衡量精度的指標(biāo)。精度的高低雖然不能用觀測列中的某個誤差的大小來判別，但與一組誤差絕對值的平均大小有直接聯(lián)系，所以常用一組誤差絕對值的平均大小來作為衡量精度高低的指標(biāo)。此處的“平均大小”并非簡單的算術(shù)平均大小，而是指均方差。測量上常用的衡量精度的指標(biāo)主要有以下三種：第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月中誤差（在概率統(tǒng)計學(xué)中叫標(biāo)準(zhǔn)差σ）在一定的觀測條件下，同精度觀測列中各真誤差平方的平均值的極限叫做中誤差m的平方，即：式中：開平方后得：上式是中誤差的極限表達(dá)式。在實際工作中，觀測次數(shù)不可能為無窮大，所以中誤差通常用其估值表達(dá)式計算：第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月中誤差的大小反映出一組觀測值誤差的集中與離散的程度。右圖中，m1較小,誤差分布比較集中，說明相應(yīng)的觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，則觀測值精度較低。

數(shù)學(xué)期望(均)方差第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.極限誤差極限誤差也叫容許誤差，即觀測中可能出現(xiàn)的最大誤差值，用△容表示。由偶然誤差的有界性知：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定限值，這個限值就是極限誤差。由概率論知，在誤差群中，絕對值大于2m的真誤差個數(shù)只占誤差總個數(shù)的5％，大于3m的個數(shù)僅0.3％。由此可見，絕對值大于2m或3m的真誤差實際上不可能出現(xiàn)。因此一般用兩倍或三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即：

△容＝2m，或△容＝3m第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月3.相對誤差真誤差和中誤差都是絕對誤差。有時，僅用絕對誤差還不能完全表達(dá)觀測精度的高低。例如，分別丈量了1000米和10米的兩段距離，觀測值的中誤差均為±0.01米，雖然從表面上看，兩者的觀測精度相同，但就“單位長度”而言，兩者的精度并不相同（且實現(xiàn)的難度也不相同），顯然前者的相對精度比后者要高。第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月為此，通常又采用另一種衡量精度的指標(biāo)，即“相對中誤差”，它是中誤差（絕對值）與相應(yīng)的觀測值之比，為一“不名數(shù)”，無量綱，常用分子為1的分式表示：相對誤差僅可用作線量（即長度）觀測精度的衡量指標(biāo)，在角度測量中沒有意義。第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月§8－2誤差傳播定律簡介在實際工作中經(jīng)常會遇到這樣的情況：某一個量的大小并不是直接測定，而是由一個或一系列的觀測量通過一定的函數(shù)關(guān)系間接計算出來的（比如EDM測高）。很顯然，觀測值誤差必然會“傳遞”給函數(shù)，使其函數(shù)也包含誤差。闡述觀測量函數(shù)的中誤差與觀測量本身的中誤差之間關(guān)系的定律，叫誤差傳播定律。獨立觀測值的概念——

設(shè)x、y為兩個觀測值，如果它們之間沒有任何聯(lián)系，并且都是直接觀測量，則稱它們是“獨立觀測值”，它們之間是“互相獨立”的。比如，三角高程測量中的斜距和垂直角，三角形中的兩個內(nèi)角等。與此對應(yīng)，若兩個觀測值之間存在一定的聯(lián)系，或包含同一因素，則它們就不是“互相獨立”的。如方向觀測法中各方向的歸零方向值（零方向相同）。第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一般函數(shù)形式的誤差傳播定律：設(shè)有一般函數(shù):式中，x1、x2、……xn為互相獨立的觀測值，相應(yīng)的中誤差分別為mx1、mx2、……mxn；Z是各觀測值的函數(shù)。經(jīng)推導(dǎo)(教材P150），函數(shù)Z的中誤差計算式為：是函數(shù)Z對各觀測值（變量）的偏導(dǎo)數(shù)，它們都是觀測值的函數(shù)，將觀測值代入后便都是常數(shù)。例如，h=S×sinα，則第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月1、和差函數(shù):2、倍乘函數(shù)：函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)中誤差為：函數(shù)中誤差為：函數(shù)表達(dá)式：上述一般函數(shù)形式的誤差傳播定律可以用于各種函數(shù)。幾種常用函數(shù)形式的誤差傳播律第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月3、線性函數(shù)：函數(shù)表達(dá)式：根據(jù)誤差傳播律有：第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月求觀測值函數(shù)中誤差的步驟(1).列出函數(shù)式；(2).對函數(shù)式求全微分；(3).套用誤差傳播定律，寫出函數(shù)中誤差公式；(4).計算各偏導(dǎo)數(shù)之值；(5).將偏導(dǎo)數(shù)值和觀測值中誤差之值代入公式計算函數(shù)的中誤差。第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例:對一個三角形，觀測了A、B兩個角：

A=64o21'06″±8.0″，B=70o35'40

″±6.0″。試求第三個角C及其中誤差。C=45o03?

14?±10?解：由題意可得:

A+B+C=180°

于是：C=180°－A－B=45o03'14″

根據(jù)誤差傳播定律，有:第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于誤差傳播定律，要求大家一定掌握“一般形式的函數(shù)中誤差計算式”，它是“通式”。需要指出的是，當(dāng)函數(shù)與觀測值的量綱不一致時，應(yīng)注意量綱的統(tǒng)一。例如——函數(shù)h=S×sinα，h與α的量綱不同，按誤差傳播定律求h的中誤差時，需注意各誤差的單位：關(guān)鍵是角度中誤差平方這一項須除以ρ2。ρ＝206265?第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月§8－3算術(shù)平均值與加權(quán)平均值一、算術(shù)平均值及其中誤差1.算術(shù)平均值設(shè)對某未知量進行了n次等精度獨立觀測。n個觀測值為

：其算術(shù)平均值為：第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月2.觀測值中誤差計算式設(shè)觀測量的真值為X，各觀測值的真誤差為：由于真值X一般未知，故△i亦為未知，無法直接采用§8－1中介紹的估值式求中誤差，必須尋找別的途徑。對n個真誤差計算式求和，然后取平均，有：第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月于是：對上式左右兩邊取極限：由此可見，當(dāng)n為無窮大時，n個觀測值的算術(shù)平均值趨向于其真值。當(dāng)n為有限時，算術(shù)平均值是一個接近于真值的近似值。測量中將接近于真值的近似值稱為觀測量的最可靠值或最或然值。為了介紹觀測值中誤差計算式，有必要引入“觀測值改正數(shù)”的概念。某個觀測量的最或然值與其觀測值之差叫做觀測值的改正數(shù)，用V表示。顯然，有n個觀測值就有n個改正數(shù)。第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月改正數(shù)V又叫做“最或然誤差”。由上可知，對某量的n次等精度觀測的算術(shù)平均值x是該量的最或然值，故x與各觀測值l之差就是相應(yīng)的觀測值改正數(shù)V，共有n個：在等精度觀測條件下，所有觀測值改正數(shù)的總和為零。由上式容易得到：第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月有了觀測值改正數(shù)的定義之后，由改正數(shù)計算觀測值中誤差的公式（推導(dǎo)見教材P155）如下：該式叫做計算同精度觀測值中誤差的白塞爾公式（Bessel

）。第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月3.算術(shù)平均值中誤差n個同精度觀測值的平均值計算式為：由誤差傳播定律，得：因為是等精度觀測，各觀測值中誤差相等，即：

m1=m2=…=mn=m，所以：將白塞爾公式代入，有：第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月例：對某水平角同精度觀測了5次，求算術(shù)平均值、觀測值中誤差和平均值中誤差。次序觀測值VVV備注176o42'49"-416276o42'40"+525376o42'42"+39476o42'46"-11576o42'48"-39平均76o42'45"[V]=0[VV]=60解：由觀測值改正數(shù)計算中誤差的過程見下表。算術(shù)平均值：x=76°42′45"第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月二.權(quán)的概念觀測條件不同時，觀測量的觀測精度也就不同。在不同條件下進行的觀測叫非等精度觀測。除了用中誤差來衡量非等精度觀測值的精度高低之外，還可以用“權(quán)”來表征此類觀測值的可靠程度。此處的“權(quán)”是權(quán)衡輕重、比較好壞的指標(biāo)，是一個數(shù)值指標(biāo)，用P

表示。某觀測值的權(quán)按下式計算：其中的u2為任意大于零的常數(shù)，一旦確定則不再變動，常取某個典型觀測值中誤差（單位權(quán)中誤差，即權(quán)為1的觀測值的中誤差）作為