正余弦定理解三角形教案

學生姓名學生姓名填寫時間數(shù)學年級上課時間課題名正余弦定理解三角形課時計劃稱1．正、余弦定理解三角形.教學目2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積.3.正余弦定理的實際應用（靈活運用）教學重點難點1．掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法.2．正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積.標【知識梳理】(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝2R，sinB＝2R，sinC＝2R等形式，以解決不同的三角形問題.＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b23．S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝4R＝2(a＋b4.三角形內角和為π,故有sinA>0sinA＝sin(B+C)，cosAcos(B+C)5.三角形大邊對大角，或者說大角對大邊。即：若a>b,A>B,sinA>sinB知一推二6.正弦值(不是1)的情況下，對應角度有兩個，而余弦值與角度一一對應?！境？伎键c】1．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.2．考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積.3.正余弦定理的實際應用（靈活運用）【解題關鍵】1．三角函數(shù)及三角恒等變換的基礎.3.能利用三角形的判定方法準確判斷解三角形的情況。5．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則AA為鈍角或A為銳角直角bsinA＜aa＜bsinA解的兩解個數(shù)式a＝bsinA無解無解【一條規(guī)律】在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較【兩類問題】已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結果可能有一解、兩解、無解，應已知三邊，求各角.【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：雙基自測A．52B．102解析由A＋B＋C＝180°,知C＝45°,答案CA．30°B．45°C．60°D．90°答案BA．30°B．45°C．60°D．75°∵0＜A<π,∴A＝60°.答案C14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝3，則△ABC的面積為().1解析∵cosC＝3，0＜C<π,1△ABC2△ABC2答案C＋b2－c23ab，∴cosC==-＋b2－∴cosC==-故C＝150°為三角形的最大內角.考點一利用正弦定理解三角形[審題視點]已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷.解322=＝180°-45°-60°=75°,c==;c==;＝180°-45°-120°=15°,c.bsinCc.(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.角，這是解題的難點，應引起注意.且＝2，sin2A＋cos2A＝1，聯(lián)立解得sin再由正弦定理得=再由正弦定理得=代入數(shù)據(jù)解得a＝210.答案5考點二利用余弦定理解三角形(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面積.[審題視點]由cosC2a＋c，利用余弦定理轉化為邊的關系求解.＋c2－b2＋b2＋b2－c2＋b2－c2b＋b2－c2b=-＋c2－b2ac.＋c2－b2－ac＋c2－b2－ac122＋c2－2accosB，22－2ac－2accosB，(1)(1)△ABC＝2acsinB＝4.(1)根據(jù)所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵.用.【訓練2】已知A，B，C為△ABC的三個內角，其所對的邊分別為a，b，c，A且2cos22＋cosA＝0.(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面積.A得1＋cosA＋cosA＝0，∵0＜A<π,∴A＝.＋c2－2bccosA，A2－bc，又a＝23，b＋c＝4，考點三利用正、余弦定理判斷三角形形狀[審題視點]首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷.－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的內角.=π-2B，故△ABC為等腰三角形或直角三角形.判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數(shù)關系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式；或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系.【訓練3】在△ABC中，若cosA＝cosB＝cosC；則△ABC是().A．直角三角形B．等邊三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形解析由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R為△ABC外接圓半徑).即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案B考點四正、余弦定理的綜合應用3【例3】?在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝-.3(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面積.程組求解；第(2)問根據(jù)sinC＋sin(B－A)＝2sin2A進行三角恒等變換，將角的關系轉換為邊的關系，求出邊a，b的值即可解決問題.解(1)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4.＋b2－ablab＝4，lb＝2.(2)由題意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.當cosA≠0時，得sinB＝2sin由正弦定理，得b＝2a.＋聯(lián)立方程組〈解得lb＝43正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題.【訓練3】(2011·北京西城一模)設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，4c，且cosB＝5，b＝2.4由正弦定理sinA＝sinB，可得sin30°=-3，5所以a＝3.5(2)因為△ABC的面積S＝2ac·sinB，sinB＝3所以10ac＝3，ac＝10.38585所以a＋c＝210.閱卷報告4——忽視三角形中的邊角條件致錯不對，對而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,中的邊角條件.b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求邊BC上的高.錯因忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產生了增根.以下解答過程略.∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cosA＝0，∴A＝-3.∴sinB==bsin∴sinB===π-(A＋B)＝-∴sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA∴BC邊上的高為bsin【試一試】△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2bsin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.b故sinB＝2sinA，所以a＝2.2.【鞏固練習】A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．不確定2A.π6B.π3C.3D.6面積為()π64A．10B．9C．8D．53