因式分解培優(yōu)題(超全面、詳細(xì)分類)

因式分解培優(yōu)題（超全面、詳細(xì)分類）因式分解專題培優(yōu)將一個多項式變形成幾個整式的積的形式，這個變形過程稱為因式分解。初中階段常用的因式分解方法如下：.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法。.常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數(shù)法。.考慮順序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法;（4）分組分解法。一、運用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)在可以反向使用它們來進(jìn)行因式分解，例如:分析：型如abcd+e的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。例題4：分解因式:(x2-7x+6)(x2-x-6)+56.例題5：分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.例題6：分解因式：4(3x2-x-1)(x2+2x-3)-(4x2+x-4)2.提示：可設(shè)3x2-x-l=A,x2+2x-3=B,則4x2+x-4=A+B。例題7：分解因式：x6-28x3+27.例題8：分解因式：(a-b)4+(a+b)4+(a2-b2)2.因式分解是多項式乘法的逆運算。在多項式乘法中，我們經(jīng)常將同類項合并為一項，或?qū)⒎栂喾吹耐愴椣嗷サ窒?。在因式分解中，我們需要恢?fù)合并或抵消的項，即通過拆項或添項的方式將多項式重組，以便使用分組分解法進(jìn)行因式分解。需要注意的是，拆項和添項的具體方法并沒有固定的規(guī)律,需要根據(jù)題目的特點進(jìn)行觀察和變換。因此，拆項和添項是因式分解中最具技巧性的方法之一。1、分解因式:x3-9x+8.2、分解因式：1)x3-3x2+4x2+2(a+b)x-3a2+10ab-3b2x4-7x2+lx4+x2+2ax+l-a2x+y+(x+y)2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4x3+3x2-4x4-llx2y2+y2x3+9x2+26x+24x4-12x+323Il)x4+x2+lx3-llx+2013)a5+a+lx-y+4x+6y-52215)(l-a)(l-b)-4ab七、待定系數(shù)法1、分解因式：x2+xy-6y2+x+13y-6.2、⑴當(dāng)m=5時,多項式x2-y2+mx+5y-6能分解因式為(x-2y+3)(x+3y-2)oa+b=-11.p=-l,分解因式為(x-3)(x-2y+2)。k=2,分解因式為(x分)(x+2y+1)。八、余式定理(試根法)1、f(x)的意義：已知多項式f(x),若把X用C帶入所得到的值，即稱為f(x)在x=c的多項式值，用f(c)表示。2、被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系：設(shè)多項式f(x)除以g(x)所得的商式為q(x),余式為r(x),則:f(x)=g(x)xq(x)+r(x)0余式定理是指多項式$f(x)$除以$(x-b)$所得到的余數(shù)為$f(b)$,除以$(ax-b)$所得到的余數(shù)為$靖6^^}{2})$。例如，當(dāng)$f(x)=xA2+x+2$除以$(x-1)$時，余數(shù)為$f(1)=1A2+1+2=4$。又如，當(dāng)$￡儀)=9*+6*-7$除以$(3x+l)$時，余數(shù)為$f(-\frac{1}{3})=9(-\frac{1}{3})+6(-\frac{1}{3})-7=-8$。因式定理是指，設(shè)$a,b\in\mathbb{R}$,$a\neqO$,$f(x)$為關(guān)于$x$的多項式，貝I$(x-b)$為$f(x)$的因式當(dāng)且僅當(dāng)$f(b)=O$,$(ax-b)$為$f(x)$的因式當(dāng)且僅當(dāng)$f(\frac{a})=0$o整系數(shù)一次因式檢驗法是指，對于整系數(shù)多項式$f(x)=c_nxAn+c_{n-l}xA{n-l}+\cdots+c_lx+c_O$,若$ax-b$為$f(x)$的因式(其中$通$為整數(shù),$a\neqO$,且$趾$互質(zhì))，則有以下結(jié)論：(1)$ac_0=b\cdotc_n$,$bc_0=a\cdotc_n$；(2)$(a-b)f(l)=(a+b)f(-l)$o例如，i^$f(x)=3xA3+2xA2-19x+6$,則$f(x)$的因式為$(x-1)$和$(3x-2)$。又如，將以下多項式分解因式：(1)$x%+4$,(2)$4xA3-31x+15$,(3)$3xA3-7x+10$,(4)$xA3-41x+30$,(5)$xA3+4xA2-9$,(6)$xA3+5xA2-18$,(7)$xA3+6xA2+llx+6$,(8)$xA3-3xA2+3x+7$,(9)$xA3-llxA2+31x-21$,(10)$xA4+1987xA2+1986x+1987$, (11)$xA4-l998xA2+1999x-1998$,(12)$xA4+1996xA2+1995x+1996$,(13)$xA3+3xA2y+3xyA2+2yA3$,(14)$xA3-9axA2+27aA2x-26aA3$,(15)$4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)-3xA2$,(16)$(x+6)(x+8)(x+14)(x+48)+12$,(17)$(xA2+x+4)+8x(xA2+x+4)+15xA2$,(18)$2(xA2+6x+1)+5(xA2+6x+1)(x+1)+2(x+1)$,(19)$xA4+xA2yA2+yA4$,(20)$xA4-23xA2yA2+yA4$。1、證明：四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方。假設(shè)這四個連續(xù)整數(shù)為n-l.n。n+l.n+2,則它們的乘積為(n-l)(n)(n+l)(n+2)。將其展開可得n八4+2M3-nA2-2n-1.將1加入其中得至UnA4+2nA3-nA2-2n,即(nA2+n)A2-4n=(nA2+n-2)(nA2+n+2)o因此，四個連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方。2、2n-l和2n+l表示兩個連續(xù)的奇數(shù)(n是整數(shù))，證明這兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除。2n+l)A2-(2n-l)A2=8n,因此這兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除。3、已知248-1可以被60與70之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù)。248-1=3*83*31,因此這兩個整數(shù)必須是83和31的倍數(shù),即4980和2170.4、已知724-1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù)。724-1=19*13*23,因此這兩個整數(shù)必須是13和23的倍數(shù),即520和920.5、求證：817-279-913能被45整除。817-279-913=45*11,因此能被45整除。6、求證：146+1能被197整除。146+1=197*1,因此能被197整除。7、設(shè)4x-y為3的倍數(shù)，求證：4x^2+7xy-2yA2能被9整除。將4x-y表示為3n,則4xA2+7xy-2yA2=4xA2+6xy+xy-2yA2=3(4xA2+6xy+xy-2yA2)=3(2x-y)(2x+3y),因此能被9整除。8、已知x+xy-2y=7,求整數(shù)x、y的值。將式子變形得到x(l+y)=2y+7,因此x=(2y+7)/(1+y)。由于x是整數(shù)，因此(2y+7)%(l+y)=0.通過試除法可得y=5,x=3.9、求方程6xy+4x-9y-7二的整數(shù)解。將式子變形得到(6y?9)x=9y+7-4,因此(9y+7-4)%(6y-9)=0.通過試除法可得y=2,x=5.10、求方程xy-x-y+l=3的整數(shù)解。將式子變形得到xy-x-y=-2,因此(x-l)(y-l)=-3.因為-3只有兩個因數(shù)1和-3,所以只有兩組整數(shù)解：(x,y)=(4,-2)或(2,?4)。11、求方程4xA2-4xy-3yA2=5的整數(shù)解。將式子變形得到4xA2-4xy-3y八2-5=0,因此△=16yA2+48+60k必須是完全平方數(shù)。通過試除法可得k=2,y=2,x=3或y=-2,x=-3.12、兩個小朋友的年齡分別為a和b,已知a八2+ab=99,則a=3,b=ll.將式子變形得到a(a+b)=99,因為99只有3*3*11這一種分解方式，所以a=3,b=l1.13、計算下列各題：1)23x3.14+5.9x31.4+180x0.314=73.22+185.86+56.52=315.6.2)-2x-1996=-1996=-.14、求積(l+l/2)(l+l/3)(l+l/4)…(1+1/100)的整數(shù)部分。將每個括號展開得到2/2*3*4*...*100+3/3*4*...*100+...+100/100=1/2+1/3+...+1/100.用調(diào)和級數(shù)的估值公式可得1/2+1/3+…+1/100V1+1/2+1/3+…+l/99<l+ln(99尸5.61.因此積的整數(shù)部分為5.15、解方程：(x△2+4x)八2-2(xA2+4x)-15=0.將式子變形得到(x八2+4x-5)(xA2+4x+3)=0,因此x=-5或x=-l±42.16、已知ac+bd=0,貝Uab(cA2+c1A2)+cd3A2+bA2)的值等于2abcdo將式子變形得到ab(cA2+dA2)+cd(aA2+bA2)=ac(bd)+bd(ac)=2abcdo17、已知a-b=3,a-c=326,求(c-b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]的值。將(a-b)+(a-c)展開得到2a-b-c,因此(c-b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]=3(c-b)(2a-b-c)=3(c-b)(a-b)+(c-b)(a-c)=3(3)+(326)=935.18、已知x+x+1=，求x+x+1的值。將式子變形得到xA2+x-l=0,因此x=(-l±Y5)/2.因為x+x+1>0,所以x=(-l+d5)/2,x+x+1=Y5.19、若x滿足xA5+xA4+x=-l,計算xAl998+x八1999+...+xA2004.將xA5+xA4+x+1=0,因此xA5+xM+x=-1.因此xA1998+xA1999+...+xA2004=xA4(xA1994+xA1995+…+xA200l)+xA3(xA1995+xA1996+...+xA2002)+xA2(xA1996+xA1997+...+xA2003)+x(xA1997+xA1998+xA1999)+xA1998+xA1999+xA2000+xA2001l)aA2-bA2=(a+b)(a-b)aA2±2ab+bA2=(a±b)A2aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)aA3-bA3=(a-b)(a八2+ab+bA2)以下是幾個常用的公式：aA2+bA2+cA2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)A2aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-be-ca)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3bA2+...+abn-2+bn-1),其中n為正整數(shù);+xA2002+xA2003+xA2004=xA4(-1-xA1994)+xA3(-l-xA1995)+xA2(-l-xA1996)+x(-l-xA1997)+(-1)+x+xA2+xA3+xA4=-1.已知三角形的三邊a、b、c滿足等式a+b+c=3abc,我們需要證明這個三角形是等邊三角形。首先，我們可以將等式a+b+c=3abc轉(zhuǎn)化為l/a+l/b+l/c=3.這啟示我們可以使用倒數(shù)定理來證明。根據(jù)倒數(shù)定理，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等邊三角形時，其三邊倒數(shù)之和等于3.接下來，我們假設(shè)三角形不是等邊三角形，即存在至少兩條邊長度不相等。不失一般性，我們假設(shè)#b。那么，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，我們可以得到a+b〉c。又因為#b,所以a+bRc。因此，我們可以將a+b+c拆分為a+b和c兩部分，即a+b+c=(a+b)+c。接著，我們將l/a+1/b+l/c表示為通分后的形式，即(c+ab)/(abc)o根據(jù)前面的假設(shè)，我們有c#a和crb。因此，c+abRabc。又因為a+b+c=(a+b)+c,所以l/a+l/b+l/cR3,與題設(shè)矛盾。因此，我們的假設(shè)不成立，即三角形必須是等邊三角形。綜上所述，我們證明了當(dāng)三角形的三邊a、b、c滿足等式a+b+c=3abc時，這個三角形是等邊三角形。an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b八2-...+abn-2-bn-1),其中n為偶數(shù)；an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b八2-...-abn-2+bn-1),其中n為奇數(shù)。在運用公式法分解因式時，需要根據(jù)多項式的特點，正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，考慮字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等因素。例如：例題1：分解因式：-2xA5n-lyn+4xA3n-lyn+2-2xn-lyn+4；例題2：分解因式:aA3+bA3+cA3-3abco例題3：分解因式：xA15+xA14+xA13+...+xA2+x+1.練題：1）分解因式：xA2n+xn-1/2y+o2）分解因式：xA10+xA5-2;3)分解因式:xA4-2xA2yA2-4xyA3+4xA3y+yA2(4xA2+3/2y);4)分解因式：儀八5+xA4+xA3+xA2+x+1)A2-xA5;5)化簡：9(a-b)A2+12(aA2-bA2)+4(a+b)A2;6)化簡：(a-b)A2-4(a-b-l)o二、分組分解法一)分組后能直接提公因式考慮多項式$am+an+bm+bn$,雖然從整體上看沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從局部上看，前兩項都含有$a$,后兩項都含有$b$,因此可以分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。這種分組的關(guān)鍵在于分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提?？紤]多項式$2ax-10ay+5by-bx$,可以將前兩項分為一組,后兩項分為一組。這兩組內(nèi)都可以提公因式，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。二)分組后能直接運用公式對于多項式$xA2-yA2+ax+ay$,可以通過運用公式$x^2-yA2=(x+y)(x-y)$進(jìn)行分解。對于多項式$aA2-2ab+b八2-”2$,可以通過運用公式$(a-b)A2-(cA2)$進(jìn)行分解。綜合練題：l.$x+xy-xy-y$2.$axA2-bxA2+bx-ax+a-b$3.$x+6xy+9y-l6a+8a-l$4.$aA2-6ab+12b+9bA2-4a$5.$aA4-2aA3+aA2-9$6.$4ax-4ay-bx+by$7.$x-2xy-xz+yz+y$8.$aA2-2a+bA2-2b+2ab+1$9.$y(y-2)-(m-l)(m+l)$10.$(a+c)(a-c)+b(b-2a)$11.$aA2(b+c)+bA2(a+c)+cA2(a+b)+2abc$12.$aA4+2aA3b+3aA2bA2+2abA3+bA4$13.$(ax+by)A2+(ay-bx)A2$14.$xyz(xA3+yA3+zA3)-yA3zA3-zA3xA3-xA3yA3$15.$xA4-2axA2+x+aA2-a$16.$xA3-3xA2+(a+2)x-2a$17.$(x+l)A3+(x+3)A3-4(3x+5)$三、十字相乘法.十字相乘法對于二次項系數(shù)為1的二次三項式，可以直接利用公式$x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$進(jìn)行分解。這種多項式的特點在于二次項系數(shù)是1,常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積，一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例如，對于多項式$x9+5x+6$,可以直接使用十字相乘法進(jìn)行分解。.例題對于多項式$x^2-7x+6$,可以使用十字相乘法進(jìn)行分解。對應(yīng)練題：l.$xA2+14x+24$2,$aA2-15a+36$3.$xA2+4x-5$.修正公式格式錯誤，將2(4)x2改為2(4)x八2,將2(5)y改為-2(5)y,將15(6)x2改為-15(6)x八2..刪除明顯有問題的段落。.改寫每段話，使其更加清晰易懂。二次項系數(shù)不為1的二次三項式 axA2+bx+c,分解結(jié)果為(ax+al)(ax+a2),其中al、a2為常數(shù)，滿足ala2=c/a。例如，對于3x八2-llx+lO,我們可以將其分解為(3x-10)(x-l)o對應(yīng)的練題有:(l)5xA2+7x-6,(2)3xA2-7x+2,(3)10xA2-17