數(shù)學積分的意義市公開課一等獎課件省賽課獲獎課件

積分意義

page1/39積分意義面積定積分定積分性質(zhì)反導函數(shù)與不定積分微積分基本定理1/39

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page2/39面積上矩形面積總和稱為上和，下矩形面積總和稱為下和，顯然，下和面積上和。

（設此函數(shù)圖形在區(qū)間與x

軸所圍區(qū)域面積為R）直觀上，假如把區(qū)間提成更多段，那么估計R

面積將會更精確，并且上和及下和就會趨近R

面積。2/39

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page3/39將區(qū)間等提成n

段，每段寬，先計算上和，如下列圖，各矩形高分別是，，，，故上和為p.1241利用上和及下和取極限，試求在區(qū)間之間，函數(shù)圖形與x

軸所圍區(qū)域面積。3/39

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page4/39p.1241利用上和及下和取極限，試求在區(qū)間之間，函數(shù)圖形與x

軸所圍區(qū)域面積。再計算下和，如右圖，各矩形高分別是，，，，故下和為4/39

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page5/39令所求區(qū)域為R，則R面積因此因此由夾擠定理可知，R

面積為p.1241利用上和及下和取極限，試求在區(qū)間之間，函數(shù)圖形與x

軸所圍區(qū)域面積。5/39

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page6/39面積p.123~p.126一般來說，若函數(shù)f(x)在區(qū)間連續(xù)，且在此區(qū)間皆有，則求f(x)與

x

軸在區(qū)間之間所圍區(qū)域面積，可用如下辦法：

1.

先將區(qū)間提成n

等分，記第i段寬度為。

2.

在每一段區(qū)間內(nèi)，取函數(shù)最大值，定義上和為這些上矩形面積和，即

3.

在每一種區(qū)間內(nèi)，取函數(shù)最小值，定義下和為這些下矩形面積和，即

4.

因面積，故與共同極限即為

R

面積。6/39

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page7/39定積分p.126~p.130定積分定義：函數(shù)

f(x)在區(qū)間為連續(xù)函數(shù)，則此函數(shù)在區(qū)間定積分記為，定積分成果是一種數(shù)值且為上和及下和共同極限，即。7/39

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page8/39p.1272試求。將區(qū)間等分為n

個小區(qū)間，故每一種區(qū)間寬皆為先求上和：由于f(x)=x－3在區(qū)間是遞增函數(shù)，因此每一種區(qū)間中函數(shù)最大值發(fā)生在右端點8/39

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page9/39因此上和為p.1272試求。9/39

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page10/39p.1272試求。再求下和：同理，由于f(x)=x－3在區(qū)間是遞增函數(shù)，因此每一種區(qū)間中函數(shù)最小值發(fā)生在左端點10/39

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page11/39因此下和為p.1272試求。11/39

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page12/39p.1272試求。當時有因此12/39

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page13/39p.1293設b是正實數(shù)，試求。將區(qū)間等分為n

個小區(qū)間，故每一種區(qū)間寬皆為先求上和：由于在區(qū)間是遞增函數(shù)，因此每一種區(qū)間中函數(shù)最大值發(fā)生在右端點13/39

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page14/39p.1293設b是正實數(shù)，試求。因此上和為14/39

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page15/39p.1293設b是正實數(shù)，試求。再求下和：由于在區(qū)間是遞增函數(shù)，因此每一種區(qū)間中函數(shù)最小值發(fā)生在左端點15/39

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page16/39因此下和為當時，有因此p.1293設b是正實數(shù)，試求。16/39

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page17/39定積分p.126~p.130定積分是由上和(或下和)取極限而來，參照下列圖。

f(x)稱為被積分函數(shù)，a

稱為定積分下限，b

稱為上限。表達是“對變量

x

作積分”。函數(shù)變量只要一致就好，例如和代表同一種積分。17/39

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page18/39p.130~p.136定積分性質(zhì)定積分與面積：由定積分定義

(1)若在區(qū)間都有，則定積分就是函數(shù)f(x)在區(qū)間與x

軸所圍區(qū)域面積。(2)若在區(qū)間都有，則定積分就是函數(shù)f(x)在區(qū)間與x

軸所圍區(qū)域面積之負值。(3)當被積分函數(shù)f(x)在區(qū)間有正有負時，定積分成果是(x

軸上方面積)－(x

軸下方面積)如右圖，。18/39

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page19/39p.1314c

為常數(shù)，證明定積分。(1)若c=0，原式左右兩邊都為0，自然成立(2)若c>0，則，如右圖(3)若c<0，則，如右圖故得證19/39

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page20/39p.1325已知半徑為

r

圓面積為，試求。函數(shù)圖形為上半單位圓故原式定積分值為上半圓面積，如右圖則20/39

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page21/39p.130~p.136定積分性質(zhì)定積分上下限：

(1)定義

(2)當a>b

時，定義定積分線性性質(zhì)：設函數(shù)f(x)與g(x)都在區(qū)間連續(xù)，c

為常數(shù)，則：(1)(2)21/39

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page22/39p.1336(1)反復使用定積分線性性質(zhì)可得(1)已知，，試求值。22/39

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page23/39p.1336(2)已知

，

，

試求

值。(2)23/39

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page24/39p.130~p.136定積分性質(zhì)定積分區(qū)間可加性：

若函數(shù)

f(x)在三個實數(shù)a，b，c所決定區(qū)間，

，上都有定積分，則24/39

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page25/39p.1347已知，，試求。由即，得故25/39

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page26/39p.1358試求定積分。函數(shù)分段關鍵點在處，故我們討論如下：(1)當時，，故(2)當時，，故即函數(shù)f(x)可寫為可得函數(shù)圖形如右圖26/39

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page27/39p.1358試求定積分。故所求定積分為綠色區(qū)域面積，即27/39

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page28/39p.130~p.136定積分性質(zhì)定積分保持不等關系：

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間連續(xù)，且恒成立，則(2)若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間連續(xù)，且恒成立，則28/39

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page29/39反導函數(shù)與不定積分p.136~p.138反導函數(shù)：若函數(shù)滿足，則稱F(x)為f(x)一種反導函數(shù)。求f(x)反導函數(shù)過程也稱為求不定積分，例如，其中C

為任意常數(shù)。29/39

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page30/39(1)因，故，其中C

為任意常數(shù)(2)因，故，其中

C

為任意常數(shù)(3)因，故，其中C

為任意常數(shù)(4)因，故，其中C為任意常數(shù)p.1379試求下列不定積分：(1)。(2)。(3)。(4)。30/39

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page31/39p.13810試求不定積分。由上述性質(zhì)及單項式函數(shù)不定積分，有，其中C為任意常數(shù)31/39

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page32/39反導函數(shù)與不定積分p.136~p.138多項式函數(shù)不定積分：其中C

為任意常數(shù)。32/39

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page33/39p.139~p.142微積分基本定理若函數(shù)f(x)在上連續(xù)，對于所有，都有。說明了一種連續(xù)函數(shù)積分后再微分會等于原函數(shù)。微積分基本定理：若函數(shù)f(x)在連續(xù)，則其中F(x)是f(x)一種反導函數(shù)，也就是。33/39

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page34/39p.139~p.142微積分基本定理定積分計算：有了微積分基本定理，我們就能夠不用麻煩用上和、下和來算定積分了。要求，能夠用下列步驟：

(1)找到一種反導函數(shù)

。(2)計算即為所求。上述計算過程也經(jīng)常記為34/39

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page35/39p.14011試求下列各定積分：(1)。(1)由多項式函數(shù)不定積分及微積分基本定理，有35/39

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page36/39p.14011試求下列各定積分：(2)。(2)36/39

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page37/39p.14112試求函數(shù)圖形與

x

軸所圍區(qū)域面積。因式分解可得故f(x)=0三根為－2，1，3，可知函數(shù)f(x)圖形必形如右圖所求為A+B

面積，則A

面積為，