2023年中考數(shù)學真題分項匯編（全國通用）：二次函數(shù)解答壓軸題（共62題）（原卷版）

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（62題）一、解答題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)當時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標．②當時，求的取值范圍．(2)當時，的最大值為2；當時，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．2．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知點和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．(1)當時，求和的值；(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且點A不在坐標軸上，當時，求的取值范圍；(3)求證：．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）在二次函數(shù)中，(1)若它的圖象過點，則t的值為多少？(2)當時，y的最小值為，求出t的值：(3)如果都在這個二次函數(shù)的圖象上，且，求m的取值范圍．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設二次函數(shù)，（，是實數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：…0123……11…(1)若，求二次函數(shù)的表達式；(2)寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?3)若在m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求的取值范圍．5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標．6．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)以點為圓心，畫半徑為2的圓，點為上一個動點，請求出的最小值．7．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．8．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；②直線交直線于點E，當點E關(guān)于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線解析式及，兩點坐標；(2)以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求點坐標；(3)該拋物線對稱軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．11．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．①當時，求的長；②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．13．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．點，在此拋物線上，其橫坐標分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．(2)當點與此拋物線的頂點重合時，求的值．(3)當?shù)倪吪c軸平行時，求點與點的縱坐標的差．(4)設此拋物線在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為．當時，直接寫出的值．14．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達式；(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．15．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當取得最大值時，求的值和的最大值；②當是等腰三角形時，求點的坐標．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；(3)過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．17．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標為，點的橫坐標為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊敃r，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標的值；若不存在，請說明理由．18．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點在直線上，與軸的交點為，其中點的坐標為．直線與直線相交于點．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點．①求該拋物線的函數(shù)表達式；②求的值．(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點的橫坐標；若不能，試說明理由．19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．20．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當時，求點的坐標；(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設的面積為，的面積為．求的最大值．21．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達式；(2)當點P在直線上方的拋物線上時，連接交于點D．如圖1．當?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標及的最大值；(3)過點P作x軸的垂線交直線于點M，連接，將沿直線翻折，當點M的對應點恰好落在y軸上時，請直接寫出此時點M的坐標．22．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達點A時停止，以為邊作正方形設點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當點P由點C運動到點B時，①當時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應的正方形的面積均相等．①_______；②當時，求正方形的面積．23．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）【建立模型】(1)如圖，點是線段上的一點，，，，垂足分別為，，，．求證：；【類比遷移】(2)如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點、與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交軸于點．①求點的坐標；②求直線的解析式；【拓展延伸】(3)如圖，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點，已知點，，連接．拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的橫坐標．

24．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．(1)求拋物線的表達式；(2)當時，請在圖1中過點作交拋物線于點，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．25．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當時，總有(1)求b的值；(2)將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；②設拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．26．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，直線交拋物線于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點，交軸于點．

(1)求點的坐標；(2)是線段上一點，連接，且．①求證：是直角三角形；②的平分線交線段于點是直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標．27．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段上，以點C為頂點的拋物線M：經(jīng)過點B．(1)求點A，B的坐標；(2)求b，c的值；(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)，且軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．28．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．

(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．29．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

(1)請求出拋物線的表達式．(2)如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．31．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D．

(1)求該拋物線的表達式；(2)若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求的最小值；(3)若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點，和，連接，點為拋物線上一動點，過點作軸交直線于點，交軸于點．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求的值；(3)當點在運動過程中，在軸上是否存在點，使得以，，為頂點的三角形與以，，為頂點的三角形相似（其中點與點相對應），若存在，直接寫出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．33．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)．(1)若，且該二次函數(shù)的圖像過點，求的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標系中，該二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．②當點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．35．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達式及點C的坐標；(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設點的橫坐標為．①當時，求的值；②當點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．36．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于兩點（在的左邊），交軸于點．

(1)直接寫出三點的坐標；(2)如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于三點，連接．若與相似，求的值；(3)如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點為原點．直線與拋物線交于兩點，過的中點作直線（異于直線）交拋物線于兩點，直線與直線交于點．問點是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．37．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知．點E位于第二象限且在直線上，，，連接．

(1)直接判斷的形狀：是_________三角形；(2)求證：；(3)直線EA交x軸于點．將經(jīng)過B，C兩點的拋物線向左平移2個單位，得到拋物線．①若直線與拋物線有唯一交點，求t的值；②若拋物線的頂點P在直線上，求t的值；③將拋物線再向下平移，個單位，得到拋物線．若點D在拋物線上，求點D的坐標．38．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求的值；(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．39．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，點P為第一象限拋物線上的點，連接．

(1)直接寫出結(jié)果；_____，_____，點A的坐標為_____，______；(2)如圖1，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，，點Q為拋物線上一點，，點E，F(xiàn)分別為的邊上的動點，，記的最小值為m．①求m的值；②設的面積為S，若，請直接寫出k的取值范圍．40．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設點的橫坐標為．

(1)求拋物線的解析式．(2)過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．(3)拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標．41．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．42．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標；(3)如圖②，當點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當m為何值時，面積最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．①當點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．44．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)若，且，求證：三點共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．45．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點，交軸于點，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點，交軸負半軸于點．為拋物線上一動點，點的橫坐標為，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)若，當為何值時，四邊形是平行四邊形？(3)若，設直線交直線于點，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．46．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，其對稱軸為．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；(3)如圖2，動點P在直線上方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F(xiàn)，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．47．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，其中點的橫坐標為，點的橫坐標為，拋物線過點．過作軸交拋物線另一點為點．以長為邊向上構(gòu)造矩形．

(1)求拋物線的解析式；(2)將矩形向左平移個單位，向下平移個單位得到矩形，點的對應點落在拋物線上．①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；②直線交拋物線于點，交拋物線于點．當點為線段的中點時，求的值；③拋物線與邊分別相交于點，點在拋物線的對稱軸同側(cè)，當時，求點的坐標．48．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．49．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內(nèi)兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側(cè)．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側(cè)）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？50．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．51．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點、，且經(jīng)過點．

(1)求拋物線的表達式；(2)在x軸上方的拋物線上任取一點N，射線、分別與拋物線的對稱軸交于點P、Q，點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求的面積；(3)點M是y軸上一動點，當最大時，求M的坐標．52．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．53．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數(shù)表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．54．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性、形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題．在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設函數(shù)（實數(shù)為常數(shù)）的圖象為圖象．(1)求證：無論取什么實數(shù)，圖象與軸總有公共點；(2)是否存在整數(shù)，使圖象與軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．55．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；(3)設直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．56．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

(1)求a的值．(2)將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．(3)拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．57．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線，為常數(shù)，的頂點為，與軸相交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸相交于點，拋物線上的點的橫坐標為，且，過點作，垂足為．(1)若．①求點和點的坐標；②當時，求點的坐標；(2)若點的坐標為，且，當時，求點的坐標．58．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線過點和點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點在線段上（與點不重合），點是的中點，連接，過點作交于點，連接，當面積是面積的3倍時，求點的坐標；(3)如圖2，點是拋物線上對稱軸右側(cè)的點，是軸正半軸上的動點，若線段上存在點（與點不重合），使得，求的取值范圍．59．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點