概率論第八章 假設(shè)檢驗(yàn)

概率論第八章假設(shè)檢驗(yàn)第1頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上一章介紹了對(duì)總體中未知參數(shù)的估計(jì)方法。本章將討論統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要方面——統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。出于某種需要，對(duì)未知的或不完全明確的總體給出某些假設(shè)，用以說(shuō)明總體可能具備的某種性質(zhì)，這種假設(shè)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如正態(tài)分布的假設(shè)，總體均值的假設(shè)等。這個(gè)假設(shè)是否成立，還需要考察，這一過(guò)程稱(chēng)為假設(shè)檢驗(yàn)，并最終作出判斷，是接受假設(shè)還是拒絕假設(shè)。本章主要介紹假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和常用的檢驗(yàn)方法，重點(diǎn)解決正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。第2頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

§1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

一、假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的提出

二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類(lèi)錯(cuò)誤第3頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)重要問(wèn)題是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在總體的分布函數(shù)未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。例如，提出總體服從泊松分布的假設(shè)，又如，對(duì)于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)期望

0的假設(shè)等。這里，先結(jié)合例子來(lái)說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和做法。假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對(duì)所提出的假設(shè)作出判斷：是接受，還是拒絕。第4頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X在某種工藝條件下服從正態(tài)分布N(4.55，0.1082)?，F(xiàn)改變了工藝條件，測(cè)了五爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，總體的方差

2=0.1082一般不會(huì)改變。試問(wèn)工藝條件改變后，鐵水含碳量的均值有無(wú)改變？第5頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

顯然，這里需要解決的問(wèn)題是，如何根據(jù)樣本判斷現(xiàn)在冶煉的鐵水的含碳量是服從

≠4.55的正態(tài)分布呢？還是與過(guò)去一樣仍然服從

=4.55的正態(tài)分布呢？若是前者，可以認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量有顯著的影響；若是后者，則認(rèn)為新工藝對(duì)鐵水的含碳量沒(méi)有顯著影響。通常，選擇其中之一作為假設(shè)后，再利用樣本檢驗(yàn)假設(shè)的真?zhèn)巍?/p>

第6頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2某自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)了一批鐵釘，現(xiàn)從該批鐵釘中隨機(jī)抽取了11根，測(cè)得長(zhǎng)度(單位：mm)數(shù)據(jù)為：10.41，10.32，10.62，40.18，10.77，10.64，10.82，10.49，10.38，10.59，10.54。試問(wèn)鐵釘?shù)拈L(zhǎng)度X是否服從正態(tài)分布？

而在本例中，我們關(guān)心的問(wèn)題是總體X是否服從正態(tài)分布。如同例1那樣，選擇“是”或“否”作為假設(shè)，然后利用樣本對(duì)假設(shè)的真?zhèn)巫鞒雠袛唷?/p>

第7頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

以上兩例都是實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。我們把問(wèn)題中涉及到的假設(shè)稱(chēng)為原假設(shè)或稱(chēng)待檢假設(shè)，一般用H0表示。而把與原假設(shè)對(duì)立的斷言稱(chēng)為備擇假設(shè)，記為H1。如例1，若原假設(shè)為H0：

=

0=4.55，則備擇假設(shè)為H1：

≠4.55。若例2的原假設(shè)為H0：X服從正態(tài)分布，則備擇假設(shè)為H1：X不服從正態(tài)分布。第8頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)然，在兩個(gè)假設(shè)中用哪一個(gè)作為原假設(shè)，哪一個(gè)作為備擇假設(shè)，視具體問(wèn)題的題設(shè)和要求而定。在許多問(wèn)題中，當(dāng)總體分布的類(lèi)型已知時(shí)，只對(duì)其中一個(gè)或幾個(gè)未知參數(shù)作出假設(shè)，這類(lèi)問(wèn)題通常稱(chēng)之為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，如例1。而在有些問(wèn)題中，當(dāng)總體的分布完全不知或不確切知道，就需要對(duì)總體分布作出某種假設(shè)，這種問(wèn)題稱(chēng)為分布假設(shè)檢驗(yàn)，如例2。

第9頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月接下來(lái)我們要做的事是：給出一個(gè)合理的法則，根據(jù)這一法則，利用巳知樣本做出判斷是接受假設(shè)H0，還是拒絕假設(shè)H0。第10頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

假設(shè)檢驗(yàn)的一般提法是：在給定備擇假設(shè)H1下，利用樣本對(duì)原假設(shè)H0作出判斷，若拒絕原假設(shè)H0，那就意味著接受備擇假設(shè)H1，否則，就接受原假設(shè)H0。換句話(huà)說(shuō)，假設(shè)檢驗(yàn)就是要在原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1中作出拒絕哪一個(gè)和接受哪一個(gè)的判斷。究竟如何作出判斷呢？對(duì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的依據(jù)是所謂小概率原理，即

概率很小的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生!第11頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，在100件產(chǎn)品中，有一件次品，隨機(jī)地從中取出一個(gè)產(chǎn)品是次品的事件就是小概率事件。因?yàn)榇耸录l(fā)生的概率

=0.01很小，因此，從中任意抽一件產(chǎn)品恰好是次品的事件可認(rèn)為幾乎不可能發(fā)生的，如果確實(shí)出現(xiàn)了次品，我們就有理由懷疑這“100件產(chǎn)品中只有一件次品”的真實(shí)性。那么

取值多少才算是小概率呢？這就要視實(shí)際問(wèn)題的需要而定，一般

取0.1，0.05，0.01等。第12頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以例1為例：首先建立假設(shè)：H0：

=

0=4.55，H1：

≠4.55。其次，從總體中作一隨機(jī)抽樣得到一樣本觀察值(x1，x2，…，xn)。第13頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意到是的無(wú)偏估計(jì)量。因此，若H0正確，則與

0的偏差一般不應(yīng)太大，即不應(yīng)太大，若過(guò)分大，我們有理由懷疑H0的正確性而拒絕H0。由于因此，考察的大小等價(jià)于考察的大小，哪么如何判斷是否偏大呢？第14頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月具體設(shè)想是，對(duì)給定的小正數(shù)

，由于事件是概率為

的小概率事件，即因此，當(dāng)用樣本值代入統(tǒng)計(jì)量具體計(jì)算得到其觀察值第15頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)量稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí)，就拒絕H0，則稱(chēng)C為H0的拒絕域，拒絕域的邊界點(diǎn)稱(chēng)為臨界值。如例1中拒絕域?yàn)?，臨界值為和若即說(shuō)明在一次抽樣中，小概率事件居然發(fā)生了。因此依據(jù)小概率原理，有理由拒絕H0，接受H1；，則沒(méi)有理由拒絕H0，只能接受H0。若第16頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將上述檢驗(yàn)思想歸納起來(lái)，可得參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題建立原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；(2)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，并明確其分布；(3)對(duì)預(yù)先給定的小概率

＞0，由P{|Z|≥z/2}=確定臨界值z(mì)/2；(4)由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)，并作出判斷，若|z|≥z/2，則拒絕H0，接受H1；若|z|＜z/2，則接受H0。第17頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在，我們來(lái)解決例1提出的問(wèn)題：(1)假設(shè)H0：

=

0=4.55，H1：

≠4.55；(2)選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量(3)對(duì)于給定小正數(shù)，如

=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分表得到臨界值z(mì)

/2=z0.025=1.96；因?yàn)閨z|=3.9＞1.96，所以拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為新工藝改變了鐵水的平均含碳量。(4)具體計(jì)算：這里n=5，故Z的觀察值第18頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、假設(shè)檢驗(yàn)中兩類(lèi)錯(cuò)誤

第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0為真時(shí)，卻作出拒絕H0的判斷，通常稱(chēng)之為棄真錯(cuò)誤，由于樣本的隨機(jī)性，犯這類(lèi)錯(cuò)誤的可能性是不可避免的。若將犯這一類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為

，則有P{拒絕H0|H0為真}=

。第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤，當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，卻作出接受H0的決定，這類(lèi)錯(cuò)誤稱(chēng)之為取偽錯(cuò)誤，這類(lèi)錯(cuò)誤同樣是不可避免的。若將犯這類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為

，則有P{接受H0|H0為假}=

。第19頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月自然，我們希望一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)所作的判斷犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率都很小。事實(shí)上，在樣本容量n固定的情況下，這一點(diǎn)是辦不到的。因?yàn)楫?dāng)

減小時(shí)，

就增大；反之，當(dāng)

減小時(shí)，就

增大。那么，如何處理這一問(wèn)題呢？事實(shí)上，在處理實(shí)際問(wèn)題中，一般地，對(duì)原假設(shè)H0，我們都是經(jīng)過(guò)充分考慮的情況下建立的，或者認(rèn)為犯棄真錯(cuò)誤會(huì)造成嚴(yán)重的后果。第20頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，原假設(shè)是前人工作的結(jié)晶，具有穩(wěn)定性，從經(jīng)驗(yàn)看，沒(méi)有條件發(fā)生變化，是不會(huì)輕易被否定的，如果因犯第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤而被否定，往往會(huì)造成很大的損失。因此，在H0與H1之間，我們主觀上往往傾向于保護(hù)H0，即H0確實(shí)成立時(shí)，作出拒絕H0的概率應(yīng)是一個(gè)很小的正數(shù)，也就是將犯棄真錯(cuò)誤的概率限制在事先給定的范圍內(nèi)，這類(lèi)假設(shè)檢驗(yàn)通常稱(chēng)為顯著性假設(shè)檢驗(yàn)，小正數(shù)

稱(chēng)為檢驗(yàn)水平或稱(chēng)顯著性水平。第21頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.2正態(tài)總體下未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單個(gè)正態(tài)總體情形第22頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．均值

的檢驗(yàn)原假設(shè)H0：

=

0，備擇假設(shè)H1：

≠

0。(a)

2已知

由上節(jié)的討論可知，在H0成立的條件下，選用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)給定的檢驗(yàn)水平，查正態(tài)分布表得臨界值z(mì)/2，再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Z的觀察值z(mì)并與z/2比較，若|z|≥z/2，則拒絕H0，接受H1；若|z|＜z/2，則接受H0。這種檢驗(yàn)法常稱(chēng)為Z檢驗(yàn)法。一、單個(gè)正態(tài)總體情形

第23頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1設(shè)某車(chē)床生產(chǎn)的鈕扣的直徑X服從正態(tài)分布，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車(chē)床工作正常時(shí)，生產(chǎn)的鈕扣的平均直徑

0=26mm，方差

2=2.62。某天開(kāi)機(jī)一段時(shí)間后，為檢驗(yàn)車(chē)床工作是否正常，隨機(jī)地從剛生產(chǎn)的鈕扣中抽檢了100粒，測(cè)得均值為26.56。假定方差沒(méi)有什么變化。試分別在

1=0.05，

2=0.01下，檢驗(yàn)該車(chē)床工作是否正常？

由

1=0.05及

2=0.01，查正態(tài)分布表，得臨界值z(mì)1/2=z0.025=1.96，z2/2=z0.005=2.58。而解：原假設(shè)H0：

=

0，備擇假設(shè)H1：

≠

0。第24頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，|z|=2.15＞1.96，但|z|=2.15＜2.58，故在檢驗(yàn)水平

1=0.05下，應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為該天車(chē)床工作不正常；而在檢驗(yàn)水平

2=0.01下，應(yīng)當(dāng)接受H0，即認(rèn)為該天車(chē)床工作是正常的。第25頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上例說(shuō)明：1）對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，同一個(gè)樣本，由于檢驗(yàn)水平不一樣，可能得出完全相反的結(jié)論。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如何合理地選擇檢驗(yàn)水平是非常重要的。第26頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(b)

2未知由于

2未知，因此，不能用Z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，但注意到樣本方差是

2的無(wú)偏估計(jì)量，因此，我們自然會(huì)想到用s2代替

2，而在第六章的定理3也已經(jīng)證明，在H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量第27頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是，對(duì)給定的顯著性水平

＞0，查t分布表可得臨界值t/2，使P{|t|≥t/2}=

成立。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t

/2比較，若|t|≥t

/2，則拒絕H0，接受H1；若|t|＜t

/2，則接受H0。這種檢驗(yàn)法也稱(chēng)為t檢驗(yàn)法。例2某廠利用某種鋼生產(chǎn)鋼筋，根據(jù)長(zhǎng)期資料的分析，知道這種鋼筋強(qiáng)度X服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取六根鋼筋進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，測(cè)得強(qiáng)度X(單位：kg/mm2)為48.5，49.0，53.5，56.0，52.5，49.5。試問(wèn)：能否據(jù)此認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0kg/mm2(

=0.05)?第28頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解設(shè)X～N(，2)，依題意建立假設(shè)H0：

=

0，H1：

≠

0。這里

2未知，故在H0成立的條件下應(yīng)選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由已知

=0.05，查t分布表得臨界值t

/2=t0.025(6－1)=2.571。第29頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又由樣本值算得因?yàn)?，|t|≈0.41＜2.571，故接受H0，即可以認(rèn)為這種鋼筋的平均強(qiáng)度為52.0kg/mm2。第30頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．方差的檢驗(yàn)設(shè)總體X～N(，2)，均未知，(X1，X2，…，Xn)來(lái)自總體X的樣本，要求進(jìn)行的檢驗(yàn)(設(shè)顯著性水平為

＞0)為原假設(shè)H0：=，備擇假設(shè)H1：≠。是的無(wú)偏估計(jì)量，因此由第六章的定理3知當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量第32頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平

＞0，由

2分布表求得臨界值(n–1)及(n–1)使再由樣本值(x1,x2,…,xn)具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

2的觀察值判斷：這種檢驗(yàn)法稱(chēng)為

2檢驗(yàn)法。第33頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4某種電子元件的壽命(單位：h)

X～N(，2)，其中，2未知?，F(xiàn)檢測(cè)了16只電子元件，其壽命如下：159，280，101，212，224，279，179，264，222，362，168，250，149，260，485，170。試問(wèn)元件壽命的方差

2是否等于1002(

=0.05)？解依題意，假設(shè)H0：

2=1002，H1：

2≠1002，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第34頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此對(duì)給定檢驗(yàn)水平

=0.05，由

2分布表求得臨界值又據(jù)樣本值算得：因?yàn)?.262＜12.81＜27.488，所以，應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為電子元件壽命的方差

2與1002無(wú)顯著差異。第35頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池，其壽命長(zhǎng)期以來(lái)服從方差

2=5000（小時(shí)2）的正態(tài)分布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來(lái)看，壽命的波動(dòng)性有所改變，現(xiàn)隨機(jī)抽取26只電池，測(cè)出其壽命的樣本方差s2=9200（小時(shí)2）。問(wèn)根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變（取

=0.02)?第36頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

所以拒絕H0，由此可以推斷這批電池的壽命波動(dòng)性較以往有顯著改變。第37頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際應(yīng)用中，常常遇到兩正態(tài)總體參數(shù)的比較問(wèn)題，如兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的燈泡壽命是否相同；兩批電子元件的電阻是否有差別；兩臺(tái)機(jī)床加工零件的精度是否有差異等等。一般都可歸納為兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。第38頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，對(duì)給定顯著性水平

＞0，可查t分布表求得臨界值t/2(n1+n2–2)。再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t，并與t/2(n1+n2–2)比較，若|t|≥t/2(n1+n2–2)，則拒絕H0，接受H1；若|t|<t/2(n1+n2–2)，則接受H0。例5從甲、乙兩煤礦各抽樣數(shù)次，測(cè)得其含灰率(%)如下：甲礦：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4；乙礦：18.2，16.9，20.2，16.7假設(shè)各煤礦含灰率都服從正態(tài)分布且方差相等。試問(wèn)甲、乙兩煤礦含灰率有無(wú)顯著差異(

=0.05)？第40頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解依題意，假設(shè)H0：

1=

2，H1：

1≠

2。對(duì)給定的檢驗(yàn)水平

=0.05，查t分布表得臨界值又由樣本觀察值算得：第41頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于2.245＜2.365，故接受H0，即可以認(rèn)為兩煤礦的含灰率無(wú)顯著差異。注意到2.245與臨界值2.365比較接近，為慎重起見(jiàn)，最好再抽樣一次，并適當(dāng)增加樣本容量，重新進(jìn)行一次計(jì)算再作決定。第42頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6下面分別給出兩個(gè)文學(xué)家馬克·吐溫(MarkTwain)的8篇小品文以及斯諾特格拉斯(Snodgrass)的10篇小品文中由3個(gè)字母組成的詞的比例：

馬克·吐溫：0.225，0.262，0.217，0.240，0.230，0.229，0.235，0.217

斯諾特格拉斯：0.209，0.205，0.196，0.210，0.202，0.207，0.224，0.223，0.220，0.201設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別來(lái)自正態(tài)總體,且兩總體方差相等,兩樣本相互獨(dú)立.問(wèn)兩個(gè)作家所寫(xiě)的小品文中包含3個(gè)字母組成的詞的比例是否有顯著的差異(取

=0.05)?第43頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)給定的檢驗(yàn)水平

=0.05，查t分布表得臨界值第44頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拒絕H0，即認(rèn)為兩個(gè)作家所寫(xiě)的小品文中包含由3個(gè)字母組成的詞的比例有顯著的差異。

第45頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、兩總體方差比的檢驗(yàn)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因此，當(dāng)H0成立時(shí)，即，我們可取第46頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)給定的正數(shù)

＞0，由可得臨界值：再由樣本值具體計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值f之值，并與臨界值相比較：則拒絕H0，接受H1；則接受H0。這種檢驗(yàn)法稱(chēng)為F檢驗(yàn)法。第47頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5兩家工商銀行分別對(duì)21個(gè)儲(chǔ)戶(hù)和16個(gè)儲(chǔ)戶(hù)的年存款余額進(jìn)行抽樣調(diào)查，測(cè)得其平均年存款余額分別為2600元和2700元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差相應(yīng)為s1=81元和s2=105元。假設(shè)年存款余額服從正態(tài)分布，試比較兩家銀行的平均年存款余額有無(wú)顯著差異(

=0.10)？解依題意，需要檢驗(yàn)

1與

2是否相等，但方差未知，而使用t檢驗(yàn)，必須在方差相等的條件下進(jìn)行。因此，首先應(yīng)檢驗(yàn)σ12，σ22，是否相等：第48頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：≠。由于

=0.10，查F分布表可得臨界值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F的觀察值：因?yàn)?.45＜0.5951＜2.33，故應(yīng)接受H0，即可以認(rèn)為它們的方差是相等的。第49頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)檢驗(yàn)假設(shè)：

1=

2，：

1≠

2。由(1)知，因此可用t檢驗(yàn)。由于

=0.10，查t分布表可得臨界值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值為：因?yàn)閨t|=3.273＞1.67，故應(yīng)拒絕H0，接受H1，也就是說(shuō)兩家銀行客戶(hù)的平均年存款余額有顯著差異。第50頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5從某鋅礦的東,西兩支礦脈中,各抽取樣本容量分別為9與8的樣本進(jìn)行測(cè)試,得樣本含鋅平均數(shù)及樣本方差如下:東支:=0.230.=0.1337.=9；西支:=0.269,=0.1736,=8。若東、西兩支礦脈的含鋅量都服從正態(tài)分布，問(wèn)東、西兩支礦脈含鋅量的平均值是否可以看作一樣(α=0.05)?解：本題是在未知方差，又沒(méi)有說(shuō)明方差是否相等的情況下要求檢驗(yàn)兩總體均值是否相等的問(wèn)題，首先必須檢驗(yàn)方差是否相等：σ12=σ22,即檢驗(yàn)假設(shè)H0:σ12=σ22。第51頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因0.204<f=0.7702<4.57，故接受H0，可以認(rèn)為σ12=σ22。

選取統(tǒng)計(jì)量F=/～F(n1-1，n2-1)(H0為真時(shí))。

又因F=/=0.1337/0.1736=0.7702。而由題設(shè)知F0.975(7，8)=1/4.9=0.204，F(xiàn)0.025(7，8)=4.53，下面在未知方差但知相等的條件下，檢驗(yàn)假設(shè)H0

：μ1=μ2，H1

：μ1≠μ2.為此選取統(tǒng)計(jì)量：

第52頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月H0

的拒絕域?yàn)閨t|>t

/2(n1+n2-2),由n1=9，n2=8,

=0.05,得t

/2(n1-1，n2-2)=t0.025(15)=2.1315。因此H0

的拒絕域?yàn)閨t|>2.1315。

第53頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因t沒(méi)有落入拒絕域，故H0

相容，認(rèn)為東、西兩支礦脈的平均含鋅量可以看作一樣，無(wú)顯著差異。樣本均值之間的差異可以認(rèn)為是由隨機(jī)性所導(dǎo)致的，而不是系統(tǒng)偏差。第54頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§8.3單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)以上介紹的假設(shè)檢驗(yàn)，歸納起來(lái)為下面兩種形式：(1)原假設(shè)H0：

=

0，備擇假設(shè)H1：

≠

0，其中

0為某一常數(shù)；(2)原假設(shè)H0：

1=

2，備擇假設(shè)H1：

1≠

2，其中

1，

2分別為兩相互獨(dú)立的總體X與Y的參數(shù)。這類(lèi)假設(shè)的共同特點(diǎn)是，將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值與臨界值比較，無(wú)論是偏大還是偏小，都應(yīng)否定H0，接受H1。因此，通常也稱(chēng)為雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)。第55頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但在某些實(shí)際問(wèn)題中，例如，對(duì)于設(shè)備、元件的壽命來(lái)說(shuō)，壽命越長(zhǎng)越好，而產(chǎn)品的廢品率當(dāng)然越低越好，同時(shí)均方差越小也是我們所希望的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，除了上述的雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)之外，還有許多其它形式的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：(3)原假設(shè)H0：

≥

0(或

≤

0)，備擇假設(shè)H1：

＜

0(或

＞

0)。其中為總體X的未知參數(shù)，

0為一常數(shù)；第56頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4)原假設(shè)H0：

1≥

2(或

1≤

2)，備擇假設(shè)H1：

1＜

2(或

1＞

2)。其中

1，

2為相互獨(dú)立的總體X與Y的未知參數(shù)。(3)、(4)兩種統(tǒng)計(jì)假設(shè)，常稱(chēng)之為單側(cè)假設(shè)，相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)稱(chēng)為單側(cè)（左、右）假設(shè)檢驗(yàn)。第57頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1某廠生產(chǎn)的電子元件的壽命(單位：h)X～N(，2)，其中未知。但據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，電子元件的壽命一直穩(wěn)定在0=200小時(shí)，現(xiàn)該廠對(duì)生產(chǎn)工藝作了某些改進(jìn)，為了了解技術(shù)革新的效果，從剛生產(chǎn)的電子元件中任意抽取16只，測(cè)得壽命如下：199，280，191，232，224，279，179，254，222，192，168，250，189，260，285，170。試問(wèn)：工藝改進(jìn)后，在檢驗(yàn)水平

=0.05下是否可以認(rèn)為元件的平均壽命有了顯著的提高？第58頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解

顯然，該問(wèn)題是要判斷新產(chǎn)品的壽命是否服從

＞200小時(shí)的正態(tài)分布？由此，建立假設(shè)原假設(shè)H0：

≤

0=200，備擇假設(shè)H1：

＞200。分兩種情況討論：1)當(dāng)=0時(shí)，由于

2未知，取統(tǒng)計(jì)量因此，對(duì)給定的小正數(shù)

，由P{t≥t

(n-1)}得臨界值t

(n-1)。第59頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，是概率為

的小概率事件或t≥t

(n-1)是H0的拒絕域。2)當(dāng)<0時(shí)，應(yīng)當(dāng)考察但由于

未知，故仍取統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第60頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月更是小概率事件。因此如果統(tǒng)計(jì)量T的觀察值則應(yīng)拒絕H0，接受H1；如果t＜t

(n-1)，則只能接受H0。第61頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月綜合上述兩種情況，對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題H0：

≤

0，H1：

>

0，只要由樣本值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的觀察值t≥t

(n-1)，就應(yīng)當(dāng)拒絕H0，接受H1；否則就接受H0?，F(xiàn)在我們來(lái)解決例1。第62頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由樣本觀察值具體計(jì)算得:由=0.05查t分布表得臨界值所以，應(yīng)拒絕H0，接受H1，即認(rèn)為經(jīng)過(guò)工藝改進(jìn)后，元件的平均壽命有了顯著的提高。其它類(lèi)似的情況見(jiàn)書(shū)P178頁(yè)表8-1。第63頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃料率X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ=40cm/s，σ=2cm/s?，F(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器,從中隨機(jī)地取n=25只,測(cè)得燃燒率的樣本均值為=41.25cm/s.設(shè)在新方法下總體均方差仍為2cm/s,這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？取顯著性水平α=0.05。H1:μ>μ0（即假設(shè)新方法提高了燃燒率）解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ≤μ0=40（即假設(shè)新方法沒(méi)有提高燃燒率）第64頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即z的值落在拒絕域中。所以我們?cè)陲@著性水平α=0.05下，拒絕H0。即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃料率較以往生產(chǎn)的有顯著地提高。

這是右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，其拒絕域?yàn)榈?5頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第66頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)燈泡合格，即燈泡的使用壽命應(yīng)不顯著低于標(biāo)準(zhǔn)值

0=1000小時(shí)，因而屬單邊左側(cè)檢驗(yàn)。故待驗(yàn)假設(shè)應(yīng)為

第67頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：題解中的能否換成H0：

≤1000，H1：

>1000

(單邊右側(cè)檢驗(yàn))呢？答案是否定的。因?yàn)椋藭r(shí)，t=－1.8<1.75。故應(yīng)考慮接受H0：

≤1000。但此時(shí)，既不能認(rèn)為這批元件是不合格的(有可能

=1000)，也不能認(rèn)為是合格的(有可能

<1000)。由此可見(jiàn)，就本題的題設(shè)而言，待檢假設(shè)只能是H0：

≥1000，H0：

<1000

(單邊左側(cè)檢驗(yàn))。否則將得不到任何有效的結(jié)論。

第68頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

某種導(dǎo)線(xiàn)，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過(guò)0.005(歐姆)。今在生產(chǎn)一批導(dǎo)線(xiàn)中取樣品9根，測(cè)得s=0.007(歐姆)，設(shè)總體為正態(tài)分布。問(wèn)在水平

=0.05下以能否認(rèn)為這批導(dǎo)線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大?解：假設(shè)：拒絕H0，即認(rèn)為這批導(dǎo)線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。第69頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5用機(jī)器包裝食鹽，假設(shè)每袋鹽的凈重X(單位：g)服從正態(tài)分布N(，2)，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量500g，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過(guò)10g。某天開(kāi)工后，為檢驗(yàn)其機(jī)器工作是否正常，從裝好的食鹽中隨機(jī)抽取9袋，測(cè)得其凈重為：497，507，510，475，488，524，491，515，484。試問(wèn)這天包裝機(jī)工作是否正常(=0.05)？

第70頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解依題設(shè)，需檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：及

2≤102，：

2>102。(1)檢驗(yàn)假設(shè)H0：，H1：由于

2未知，應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05，查t分布表得臨界值第71頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由樣本觀察值具體計(jì)算，得因?yàn)?，故可以認(rèn)為平均每袋鹽的凈重為500g，即機(jī)器包裝沒(méi)有產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。第72頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)檢驗(yàn)假設(shè)≤102，。這是方差的單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05，查

2分布表得臨界值故拒絕，接受，即認(rèn)為其方差超過(guò)102。即包裝機(jī)工作雖然沒(méi)有系統(tǒng)誤差，但是不夠穩(wěn)定。因此，在顯著性水平=0.05下，可以認(rèn)定該天包裝機(jī)工作不夠正常。第73頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6

有兩臺(tái)車(chē)床生產(chǎn)同一種型號(hào)的鋼球，根據(jù)已往的經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的鋼球的直徑均服從正態(tài)分布?，F(xiàn)從這兩臺(tái)車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出8個(gè)和9個(gè)鋼球，測(cè)得鋼球的直徑如下(單位：mm)：甲車(chē)床：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8；乙車(chē)床：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.9。試問(wèn)據(jù)此是否可以認(rèn)為乙車(chē)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的方差比甲車(chē)床小(取=0.05)？第74頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解提出假設(shè)H0：σ12≤σ22，H1：σ12>σ22

選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由=0.05，查F分布表得臨界值由樣本觀察值具體計(jì)算，得故應(yīng)拒絕H0，接受H1，即可以認(rèn)為乙車(chē)床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車(chē)床小。第75頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7為了了解某種添加劑對(duì)預(yù)制板的承載力有無(wú)提高作用?，F(xiàn)用原方法(無(wú)添加劑)及新方法(添加該種添加劑)各澆制了10塊預(yù)制板，其承載數(shù)據(jù)(單位：kg/cm2)如下：原方法：78.1，72.4，76.2，74.3，77.4，78.4，76.0，75.5，76.7，77.3；新方法：79.1，81.0，77.3，79.1，80.0，79.1，79.1，77.3，80.2，82.1。設(shè)兩種方法所得的預(yù)制板的承載力均服從正態(tài)分布。試問(wèn)新方法能否提高預(yù)制板的承載力(取=0.05)？第76頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解用X，Y分別表示兩種方法下預(yù)制板的承載力。依題設(shè)，，因不知，，是否相等，故首先應(yīng)檢驗(yàn)假設(shè)由假設(shè)知應(yīng)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：由=0.05，查F分布表得臨界值H0：=，H1：≠第77頁(yè)，課件共88頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由樣本觀察值具體計(jì)算，得因?yàn)?.248＜1.49＜4.03。故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為兩種方法的方差無(wú)顯著差異，可以認(rèn)為相等，亦即其次在