2022屆河南省開(kāi)封市高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)（文）

開(kāi)封市2022屆高三第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)x，，集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B. C.2 D.【答案】D3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D4.已知，，則（）A.-7 B. C. D.7【答案】D5.甲乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件，10天中，兩臺(tái)機(jī)床每天產(chǎn)品的次品數(shù)的莖葉圖如圖所示，下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù) B.甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的性能優(yōu)于乙的性能【答案】D6.設(shè)A，F(xiàn)分別是雙曲線C：的一個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，過(guò)A，F(xiàn)分別作C的一條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A7.溶液酸堿度是通過(guò)pH計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，已知胃酸中氫離子的濃度為摩爾/升，則胃酸的pH約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301）A.0.398 B.1.301 C.1.398 D.1.602【答案】D8.若[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[0.3]=0，[1.5]=1.則如圖中的程序框圖運(yùn)行之后輸出的結(jié)果為（）A.102 B.684 C.696 D.708【答案】C9.如圖，將一塊直徑為的半球形石材切割成一個(gè)體積最大的正方體，則切割掉的廢棄石材的體積為（）A. B. C. D.【答案】A10.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，現(xiàn)將y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，則f(x)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A11.已知（2，1）是圓C：上一點(diǎn)，則連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積（）A.有最小值4 B.有最小值8 C.有最大值8 D.有最大值16【答案】B12.騎行是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛(ài).如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，設(shè)點(diǎn)P為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車(chē)的過(guò)程中，達(dá)到最大值時(shí)點(diǎn)P到地面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩個(gè)單位向量的夾角為，則____________．【答案】14.已知公差為1的等差數(shù)列中，，若，則n＝______．【答案】15.已知函數(shù)，若f(x)有極大值，則a＝______．【答案】16.如圖，某直徑為海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距為5海里，.則小島B與小島D之間的距離為_(kāi)__________海里；小島B，C，D所形成的三角形海域BCD的面積為_(kāi)__________平方海里.【答案】①.②.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某小區(qū)物業(yè)每天從供應(yīng)商購(gòu)進(jìn)定量小包裝果蔬，供本小區(qū)居民掃碼自行購(gòu)買(mǎi)，每份成本15元，售價(jià)20元．如果下午6點(diǎn)之前沒(méi)有售完，物業(yè)將剩下的果蔬打五折于當(dāng)天處理完畢．物業(yè)對(duì)20天本小區(qū)這種小包裝果蔬下午6點(diǎn)之前的日需求量（單位：份）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖：（1）假設(shè)物業(yè)某天購(gòu)進(jìn)20份果蔬，當(dāng)天下午6點(diǎn)之前的需求量為n（單位：份，）．（i）求日利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)解析式；（ii）以20天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求日利潤(rùn)不少于100元的概率．（2）依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，幫助物業(yè)決策每天購(gòu)進(jìn)的果蔬份數(shù)．只需說(shuō)明原因，不需計(jì)算．【答案】（1），；（2）方案見(jiàn)解析.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）選取數(shù)列的第項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用來(lái)進(jìn)行證明.（2）先求得，然后利用分組求和法求得.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列.所以，.【小問(wèn)2詳解】數(shù)列的第為，所以.19.如圖，四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，圓柱OQ的側(cè)面積為，點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)G是DP的中點(diǎn)．（1）求證：AG⊥平面PBD；（2）求點(diǎn)A到平面OPG的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件證明及，再利用線面垂直判定推理作答.（2）在三棱錐中利用等體積法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因點(diǎn)P在圓柱OQ的底面圓周上，則，而四邊形ABCD是圓柱OQ的軸截面，則有平面，平面，即有，又，平面，于是得平面，而平面，因此，，因是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，因圓柱OQ的側(cè)面積為，即，則，又點(diǎn)G是DP的中點(diǎn)，則有，而，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由已知得，線段DP的中點(diǎn)G到平面距離為，于是得，由平面知，即是直角三角形，，而，則等腰底邊上的高為，，設(shè)點(diǎn)A到平面OPG的距離為，由得：，解得，所以點(diǎn)A到平面OPG的距離是.20.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，直線l交C于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)S不重合）.（1）若l過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°，（M在第一象限），求C的方程；（2）若，直線SM，SN分別與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且，判斷直線l是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）直線l恒過(guò)定點(diǎn).【解析】【分析】（1）由已知條件，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線l的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)焦半徑公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，將直線的方程與拋物線聯(lián)立，根據(jù)已知條件及韋達(dá)定理找到、之間的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：拋物線C：的焦點(diǎn)為，因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°，所以，聯(lián)立，可得，解得或，又M在第一象限，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線C的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由已知可得拋物線C的方程為，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，將直線方程與拋物線聯(lián)立得，所以，，直線的方程為，令求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由，化簡(jiǎn)得，將上面式代入得，即，所以直線的方程為，即，所以直線過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)在x＝1處的切線方程；（2）若對(duì)任意的x>0，有f(x)≤b+a（），證明：b≥－2a．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）把a(bǔ)=2代入，求出函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)并求其最大值，再構(gòu)造函數(shù)并求其最小值作答.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=2時(shí)，，，求導(dǎo)得：，則，有，即，所以f(x)在x＝1處的切線方程是：.【小問(wèn)2詳解】，，令，，求導(dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，于是得，則，令，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，即，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問(wèn)題，將所證不等式造價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.（1）將參數(shù)方程化為普通方程，并求出與的夾角；（2）已知點(diǎn)，分別為，與曲線相交所得弦的中點(diǎn)，且的面積為，求的值.【答案】（1）的普通方程為；與的夾角為；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程互化可得普通方程，并確定直線與的斜率，可得；（2）將的參數(shù)方程代入的普通方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可求得，利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得：，即的普通方程為：；由直線與的參數(shù)方程可知兩直線斜率分別為，，，，即與的夾角為；【小問(wèn)2詳解】均經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，與橢圓分別交于兩點(diǎn)；將代入得：，設(shè)是方程的兩根，則；是與橢圓相交弦中點(diǎn)，；將代入，同理可得：；，解得：或（舍），又，，或，解得：或.[