銳角三角函數(shù)教材分析課件

延慶縣第四中學王獻春銳角三角函數(shù)延慶縣第四中學1一、本章知識的地位與作用三、教學建議二、課標、考試說明、教材的要求一、本章知識的地位與作用三、教學建議二、課標、考試說明、教材2一、本章知識的地位與作用?

本章是對代數(shù)中已初步涉及的函數(shù)概念的充實與視野開拓.?

本章屬于三角學，為高中解斜三角形，任意角三角函數(shù)，反三角函數(shù)及三角方程打下基礎(chǔ).?

本章體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，學生對直角三角形的知識體系有較為完整的認識，本章提供一種以計算手段處理幾何問題的途徑.?

本章可被廣泛應用于測量、工程技術(shù)和物理中，主要用來計算距離、高度和角度，具有綜合技術(shù)教育的價值.?從課程本身來看

一、本章知識的地位與作用? 本章是對代數(shù)中已初步涉及的函數(shù)概3從中考角度看從歷年中考題來看，銳角三角函數(shù)的概念，特殊角三角函數(shù)值的計算是中考的必考內(nèi)容；解直角三角形的知識更是近年中考命題的熱點之一，考查內(nèi)容以基礎(chǔ)知識和基本技能為主，應用意識進一步增強，聯(lián)系實際，綜合運用知識，技能的要求越來越明顯，不僅有傳統(tǒng)的計算距離、高度和角度的應用問題，更要求學生能夠根據(jù)題中給出的信息建構(gòu)圖形，建立數(shù)學模型，然后運用解直角三角形的知識解決問題。13從中考角度看從歷年中考題來看，銳角三角函數(shù)的概念，特殊角三角4題形分值知識點14年解答題14題5分特殊角的計算---30°解答題19題5分與平行四邊形綜合—正切解答題21題5分與四邊形結(jié)合---30°綜合題22題5分與四邊形結(jié)合---30°近四年北京市中考銳角三角函數(shù)考點分析11年解答題13題5分特殊角的計算---30°解答題20題5分與圓、相似綜合，三角函數(shù)的概念—正弦1612年解答題13題5分特殊角的計算---sin45°解答題

19題5分與四邊形結(jié)合---30°、45°構(gòu)造直角三角形

解答題20題5分與圓、相似綜合，三角函數(shù)的概念—正弦13年解答題14題5分特殊角的計算---cos45°解答題

20題5分圓中的計算與證明解答題25題8分代幾綜合，特殊的三角函數(shù)值近幾年考試共性：（1）以特殊角30°，45°，60°的三角函數(shù)值為載體考查實數(shù)運算（2）利用三角函數(shù)作為工具求圓、梯形中相關(guān)的長度（3）以旋轉(zhuǎn)為載體，與全等、函數(shù)、相似等多個知識點綜合解決問題題形分值知識點14解答題14題5分特殊角的計算---30°解5銳角三角函數(shù)解直角三角形相似勾股定理解斜三角形、三角函數(shù)從教學內(nèi)容看12銳角三角函數(shù)解直角三角形6認識三個教學要點銳角三角函數(shù)的概念特殊角的三角函數(shù)值根據(jù)三角函數(shù)值求角度解直角三角形的含義實際問題與解直角三角形落實五個教學內(nèi)容基本點：對銳角三角函數(shù)的認識與應用支撐點：相似和勾股定理能力提升點：組合圖形的轉(zhuǎn)化求解根據(jù)具體問題構(gòu)造RT△18認識三個教學要點銳角三角函數(shù)的概念落實五個教學內(nèi)容基本點：對71、利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。2、會使用計算器由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角。3、能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。14課標要求：二、課標、考試說明、教材對本章的要求

1、利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA8能綜合運用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題會解直角三角形；能根據(jù)問題的需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問題知道解直角三角形的含義解直角三角形能運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實際問題由某個銳角的一個三角函數(shù)值,會求這個角的其余兩個三角函數(shù)值；會計算含30°,45°,60°角的三角函數(shù)式的值了解銳角三角函數(shù)sinA，cosA，tanA;知道30°45°60°角的三角函數(shù)值銳角三角函數(shù)CBA考試要求考試內(nèi)容2014年中考考試說明要求15能綜合運用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題會解直角三角形；解直9銳角三角函數(shù)解直角三角形教材要求（可看教材）

應用舉例銳角三角函數(shù)解直角三角形教材要求（可看教材）應用舉例10教材要求：銳角三角函數(shù)使學生認識并理解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確地應用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊之比.使學生理解并熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；會計算含有特殊角的三角函數(shù)式的值.會由一個特殊銳角的三角函數(shù)值，求出它對應的角度.使學生掌握用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，反之，由已知某角的三角函數(shù)值求它對應的銳角.教材要求：銳角三角函數(shù)使學生認識并理解銳角三角函數(shù)的概念，能11教材要求：解直角三角形使學生掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.使學生會將等腰三角形、四邊形形及一般三角形（含特殊角）中的邊角計算問題通過作垂線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題去解決.教材要求：解直角三角形使學生掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會運使12教材要求：應用舉例使學生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距離、垂直距離等在測量中常用的術(shù)語，并弄清它們的意義.使學生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系.進而用解直角三角形的知識解決.教材要求：應用舉例使學生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距13課時安排-----約11課時28.1銳角三角函數(shù)4課時

正弦1課時余弦正切1課時特殊角的三角函數(shù)值1課時計算器1課時28.2解直角三角形5課時

直角三角形的解法1課時三角形中的邊角計算1課時仰角\俯角1課時方位角1課時坡角\坡度1課時小結(jié)與復習2課時20三、教學建議課時安排-----約11課時28.1銳角三角函數(shù)14具體做法：銳角三角函數(shù)銳角的正弦是本章的起點，同時又是重點.銳角的正弦概念的建立應讓學生經(jīng)歷一個從特殊到一般的認識過程.具體做法：銳角三角函數(shù)銳角的正弦是本章的起點，同時又是重點15具體做法：1-2課時第一說明：直角三角形中，對于銳角∠A的任一個值，其對邊與斜邊的比是一個固定不變值.銳角的正弦是本章的起點，同時又是重點.銳角的正弦概念的建立應讓學生經(jīng)歷一個從特殊到一般的認識過程.具體做法：1-2課時第一說明：直角三角形中，對于銳角∠A的任161-2課時第二說明：銳角的對邊與斜邊的比值是隨銳角的大小變化而變化的.1-2課時第二說明：銳角的對邊與斜邊的比值是隨銳角171-2課時以上兩點反映了角與邊之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系非以前所學過的數(shù)學符號所能表達，因此我們要引進新的符號和名稱（給出銳角的正弦及表示法）.直角三角形中，除∠A的對邊與斜邊之比外，還有哪兩條線段的比是固定不變的?直角三角形中，三條邊組成六個比，其比值都是固定不變的，因有倒數(shù)關(guān)系，顧只研究其中的三個就夠了.1-2課時以上兩點反映了角與邊之間的一種關(guān)系，這種直角三角形181-2課時通過教學使學生逐步形成“銳角三角函數(shù)值是直角三角形中的兩條邊的比值”的認識：由直角三角形中兩條邊的比，可以求得這個銳角的三角函數(shù)值；反之，已知一個銳角的三角函數(shù)值，就可以得到這個角所在直角三角形中兩條邊的比.1-2課時通過教學使學生逐步形成“銳角三角函數(shù)值是直角三角形191-2課時逐步幫助學生總結(jié)求一個銳角的三角函數(shù)值的幾種常用思路：（2)設(shè)參數(shù)后用定義求銳角三角函數(shù)值（1)直接用定義求銳角三角函數(shù)值（3)轉(zhuǎn)化為等角后用定義求銳角三角函數(shù)值（4）構(gòu)造直角三角形后用定義求銳角三角函數(shù)值

1-2課時逐步幫助學生總結(jié)求一個銳角的三角函數(shù)值的幾（220題型示例：A:了解銳角三角函數(shù)概念ABC例1：如圖位于的方格紙中，則＝

.找好格點緊扣定義題型示例：A:了解銳角三角函數(shù)概念ABC例1：如圖位于的方格212011年考試說明題型示例：B:由一個三角函數(shù)值求這個角其余兩個三角函數(shù)值例2：課本P97的第1題：在RT△ABC中∠C=90°，a=2，sinA=，求cosA和tanA;改編：在RT△ABC中∠C=90°，sinA=，求cosA和tanA;BCAk3k有數(shù)畫圖參數(shù)設(shè)元2011年考試說明題型示例：B:由一個三角函數(shù)值求這個角其余22例3：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D。已知AC=，BC=2，求sin∠ACD，tan∠BCDABCD一題多解的方法中體會三角函數(shù)的簡潔，體會等角的三角函數(shù)值相等例3：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于231-2課時例1：直角三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，且AD:DC=1:2.求（1）∠ADB的三個三角函數(shù)值；

（2）∠DBC的三個角函數(shù)值.E1-2課時例1：直角三角形ABC中，AB=AC，D在AC上，241-2課時例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一點，且,AN⊥BM于N.求cos∠NAD.思路1：∠NAD=∠ABN，△ABN∽△BCM思路2：∠NAD=∠ABN=∠BMCcos∠NAD=3/51-2課時例2：已知正方形ABCD中，M是DC上一點，且思路2521.1銳角三角函數(shù)例3：已知：如圖，四邊形MNBE和ABCD都是正方形,αβ21.1銳角三角函數(shù)例3：已知：如圖，四邊形MNBE和A26特殊角的三角函數(shù)（第3課時）用手中三角板推導特殊角的三角函數(shù)值.記憶特殊角的三角函數(shù)值.計算含特殊角的三角函數(shù)式的值.由已知特殊角的三角函數(shù)值求對應的銳角.特殊角的三角函數(shù)（第3課時）用手中三角板推導特殊角的三角函27指導學生記憶特殊角三角函數(shù)值的方法(1)數(shù)形結(jié)合法；(2)表格法三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα表格功能可挖掘指導學生記憶特殊角三角函數(shù)值的方法(2)表格法三角函數(shù)30°282014年考試說明：B:會計算含30°,45°,60°角的三角函數(shù)式的值（2014北京）14.計算：應知必會人人落實43.[來源:學#科#

（2013北京）13.計算：2014年考試說明：B:會計算含30°,45°,60°角的三29用計算器求銳角三角函數(shù)值（第4課時）

用計算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)：銳角三角函數(shù)的增減性，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.如：

探索銳角正弦的增減性（1）用計算器；（2）用幾何畫板；（3）用幾何證明：αβ用計算器求銳角三角函數(shù)值（第4課時）用計算器探索三角函數(shù)30解直5-6課時解直角三角形是重要的基礎(chǔ)性的知識，它是解決許多問題的工具:直角三角形中的邊角計算；一般三角形（含特殊角）和特殊四邊形中的邊角計算；圓中有關(guān)半徑、弦長及圓和正多邊形中的有關(guān)計算；解直5-6課時解直角三角形是重要的基礎(chǔ)性的知識，它是解決許多31初中教學內(nèi)容初中教學內(nèi)容32解直5-6課時圖形的分解數(shù)量的求解銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°（互余）邊長關(guān)系：（勾股定理）邊角關(guān)系：（三角函數(shù)）面積關(guān)系：回顧廣義49解直5-6課時圖形的分解銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°（互余）331、解直角三角形---單純數(shù)學問題由已知求未知一個直角三角形的求解問題有斜用弦，無斜用切，寧乘毋除，取原避中1、解直角三角形---單純數(shù)學問題由已知求未知一個直角三角形34掌握把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的基本方法．即解決好兩個直角三角形的組合、拼接等問題．抓住兩個知識結(jié)合點，即圖形轉(zhuǎn)化的結(jié)合點（公共量的確定）；數(shù)形結(jié)合的結(jié)合點（數(shù)值之比）．53掌握把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形的基本方法．即解決好兩個直角三35ABCABCABCABC斜三角形的可解性----作高構(gòu)造直角三角形

明確斜三角形SSS、SAS、ASA、AAS可解得唯一解，

AAA無解，

SSA：常見兩解，也可能唯一解或無解。83拓展研究的幾個問題ABCABCABCABC斜三角形的可解性----作高構(gòu)造直角3684要解決好圖形的確立問題，即存在什么條件時圖形不能唯一確定（分類討論，不宜過難，可根據(jù)學生情況）？拓展研究的幾個問題84要解決好圖形的確立問題，即存在什么條件時圖形不能唯一確定37解直5-6課時

2課時：直角三角形的解法（1課時），三角形中的邊角計算（1課時）.解直角三角形的關(guān)鍵是恰當選擇關(guān)系式，把已知和未知聯(lián)系起來.CBAa△ABC中，∠C=90°，已知a

，

∠A

，求b,c

.

b=atan(90°－∠A

)（盡量用乘法）解直5-6課時2課時：直角三角形的解法（1課時），三解直角38

解直5-6課時

例1：直角三角形可解的條件：已知兩個條件，其中有一邊的條件.直角三角形中的邊角計算——解直角三角形.△ABC中，∠C=90°，

解△ABC.分析：Rt△ABC中，已知一邊，不可解；由已知，Rt△ADC中，已知兩邊可解，求出∠DAC，進而得∠BAC；至此Rt△ABC中,已知一邊一角可解.解直5-6課時例1：直角三角形可解的條件：已知兩個條直39解直5-6課時例2：已知：△ABC中，CD、BE分別為AB與AC上的高，∠EBC=45°，∠DCB=30°，DC=12，求BE.分析：求BE，需要解Rt△BEC，已知一角，不可解；由已知，Rt△BDC中，已知一邊一角可解，求出BC.至此Rt△BEC中,已知一邊一角可解.解直5-6課時例2：已知：△ABC中，CD、BE分別為AB與40

解直5-6課時例3：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，BD=4，∠B=30°，∠ADC=45°，求AC的長.分析：Rt△ABC，Rt△ADC均不可解；設(shè)DC=x，在Rt△ABC中，x解直5-6課時例3：已知：如圖，△ABC中，∠C=9041

解直5-6課時例4：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°

，求BC的長.思路：作AE⊥BC于點E.Rt△ABE，可解，求出AE、BE，使Rt△ABE可解E解直5-6課時例4：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，42解直5-6課時例5：已知△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面積.思路：由要求面積，容易想到作BD⊥AC于AC點D.Rt△CBD含75°

，邊之關(guān)系不明確.

改作CD⊥AB點D.D解直5-6課時例5：已知△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，43解直5-6課時例6：在△ABC中，BC＝6，AC＝，∠A＝30°

，求AB的長.思路：已知兩邊一對角，有可能兩解.作CE⊥AB于點E.EE解直5-6課時例6：在△ABC中，BC＝6，AC＝44

解直5-6課時例7：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC=7，求∠A.

思路：作CD⊥AB交BA延長線于點D.D解直5-6課時例7：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC45解直5-6課時

對于含30°、45°和60°的直角三角形，借助幾何性質(zhì)求解.重視規(guī)范書寫的教學.要求學生先寫出邊角關(guān)系式，然后根據(jù)需要進行變形，不要求學生直接寫出變形以后的式子.對于一般三角形（含特殊角）和特殊四邊形中的邊角計算問題，重在讓學生體會通過作垂線可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.解直5-6課時對于含30°、45°和60°的直角三角形，借46應用舉例7-9課時求折斷樹高問題.測高問題（底部可到達和不可達問題）（仰角、俯角）.航海中的探索問題（方向角）.修路建壩問題（坡度、坡角）.應用舉例7-9課時求折斷樹高問題.測高問題（底部可到達和不可47總原則2.注意循序漸進：解直角三角形這一章是用代數(shù)方法研究直角三角形.在引入概念、推理論證、計算化簡、解決實際問題時，都應該畫圖幫助確定對邊、鄰邊，列出直角三角形中的邊角關(guān)系，并進行定量計算.教學中教師要起好示范作用.1.注意形數(shù)結(jié)合：

學生的認識有一個由特殊到一般，由簡單到復雜的發(fā)展過程.教學要適應這一規(guī)律，比如從研究含30°、50°角的直角三角形到含任意銳角的直角三角形，從開始的簡單應用到后面的較復雜應用，由理論上的準備到實際測量活動，都是一個逐步深入提高的過程.教學中要注意這一點.總原則2.注意循序漸進：48總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：通過作垂線將一般三角形和特殊四邊形中邊角計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；等角三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化；三角形中邊角互化；3.滲透思想方法：總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：3.滲透思想方法：49總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：1.如圖，在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，以每分鐘25m的速度沿著與水平方向夾角為750的方向飛行，半小時后到達C處，這時氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點B，10分鐘后，在D處測得著火點B的俯角是300，求熱氣球升空點A與著火點B的距離（結(jié)果精確到１m）.總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：1.如圖，在小山的東側(cè)A處有一熱50總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：分析：∠B=30°，∠D=45°，AD=1000（米）.E總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：分析：∠B=30°，∠D=4551總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：2.如圖，∠ACB=∠ABD=90°，AB=5，AC=3，BD=E分析：作DE⊥BC于E.總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：2.如圖，∠ACB=∠ABD=952總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：3.(P121C組2)已知：Rt△ABC，∠C=90°，思路1：“角”化邊D作CD⊥AB于D的大小關(guān)系是什么？請說明理由.若△ABC為銳角三角形，結(jié)論又如何呢?總原則（1）轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想：3.(P121C組2)思路1：“