山東省臨沂市周莊中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

山東省臨沂市周莊中學高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示化簡條件，解得夾角.【詳解】由已知可得，設(shè)的夾角為，則有，又因為，所以，故選C.【點睛】本題考查向量數(shù)量積定義以及向量垂直表示，考查基本求解能力.2.已知函數(shù)，若的圖象與的圖象重合，記的最大值為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A.

B.C.

D.參考答案：A,的圖象與的圖象重合，說明函數(shù)的周期，由于，，，,，，則，，選

3.已知Sn是等差數(shù)列{an}(n?N*)的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題，假命題的是(

)(A)公差d<0

(B)在所有Sn<0中，S13最大

(C)滿足Sn>0的n的個數(shù)有11個

(D)a6>a7參考答案：C4.若冪函數(shù)與在第一象限的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D在第一象限作出冪函數(shù)的圖象，在內(nèi)取同一值，

作直線，與各圖象有交點，則由“指大圖高”，可知

如圖，

故選D．

5.已知，則向量在方向上的投影為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

向量在方向上的投影為，故選擇A．6.函數(shù)f（x）=（）cosx的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的零點排除選項，然后通過特殊點的位置判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=（）cosx，當x=時，是函數(shù)的一個零點，屬于排除A，B，當x∈（0，1）時，cosx＞0，＜0，函數(shù)f（x）=（）cosx＜0，函數(shù)的圖象在x軸下方．排除D．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的零點以及特殊值的計算，是中檔題．7.設(shè)復數(shù)z滿足（1﹣i）z=2i，則z=(

) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i參考答案：A考點：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．專題：計算題．分析：根據(jù)所給的等式兩邊同時除以1﹣i，得到z的表示式，進行復數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復數(shù)，整理成最簡形式，得到結(jié)果．解答： 解：∵復數(shù)z滿足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故選A．點評：本題考查代數(shù)形式的除法運算，是一個基礎(chǔ)題，這種題目若出現(xiàn)一定是一個送分題目，注意數(shù)字的運算．8.長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為a的正方形，若在側(cè)棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，則側(cè)棱AA1的長的最小值為(

)A．a(chǎn) B．2a C．3a D．4a參考答案：B【考點】點、線、面間的距離計算．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，由已知得t2﹣xt+a2=0，由此利用根的判別式能求出側(cè)棱AA1的長的最小值．【解答】解：設(shè)側(cè)棱AA1的長為x，A1E=t，則AE=x﹣t，∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為a的正方形，∠C1EB=90°，∴，∴2a2+t2+a2+（x﹣t）2=a2+x2，整理，得：t2﹣xt+a2=0，∵在側(cè)棱AA1上至少存在一點E，使得∠C1EB=90°，∴△=（﹣x）2﹣4a2≥0，解得x≥2a．∴側(cè)棱AA1的長的最小值為2a．故選：B．【點評】本題考查長方體的側(cè)棱長的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意根的判別式的合理運用．9.設(shè)向量的模分別為6和5，夾角為等于（

） A． B． C． D．參考答案：C10.已知則“”是“”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A解析：，注意不能推出。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標系中，直線與曲線相交于、兩點，若，則實數(shù)的值為

.參考答案：-1或-512.（﹣）dx=ln2﹣．參考答案：【考點】定積分．【分析】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后分別代入積分上限和下限作差得答案．【解答】解：（﹣）dx==．故答案為：．13.等差數(shù)列中，已知，則．參考答案：【答案解析】1007

解析：由得：.【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：當，且時，求解.14.設(shè)點滿足且，則的最大值為

.參考答案：515.設(shè)是單位向量，且，則向量的夾角等于____________參考答案：略16.設(shè)，向量，若，則_______.

參考答案：知識點：平面向量數(shù)量積的運算解析：∵=sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0，，∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，故答案為：．【思路點撥】由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得2sinθcosθ﹣cos2θ=0，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ。

17.某程序框圖如上（右）圖所示，該程序運行后輸出的的值是

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗．

晉級成功晉級失敗合計男16

女

50合計

（Ⅰ）求圖中a的值；（Ⅱ）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？（Ⅲ）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望E（X）．（參考公式：，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025k00.7801.3232.0722.7063.8415.024參考答案：【考點】BO：獨立性檢驗的應(yīng)用；CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由頻率和為1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量X服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望；【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25，所以晉級成功的人數(shù)為100×0.25=25（人），填表如下：

晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；（Ⅲ）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1﹣0.25=0.75，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以X可視為服從二項分布，即，，故，，，，，所以X的分布列為X01234P（X=k）數(shù)學期望為，或（）．19.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．參考答案：（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則即，因此可取=（，1，）設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣．考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量求平面間的夾角．專題：計算題；證明題；綜合題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；（Ⅱ）建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，P的坐標，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個向量的夾角的余弦值即可．解答：（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，從而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D﹣xyz，則A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），設(shè)平面PAB的法向量為=（x，y，z），則即，因此可取=（，1，）設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），則，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：﹣．點評：此題是個中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及應(yīng)用空間向量求空間角問題，查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．20.（本小題滿分10分）選修4—1，幾何證明選講如圖所示，圓的兩弦和交于點，∥，交的延長線于點，切圓于點.

(1)求證：△∽△；(2)如果，求的長．參考答案：【知識點】相似三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定．N1（1）見解析；（2）1解析：（1）

∽

（2）∽又因為為切線，則所以，.

【思路點撥】（1）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圓中同弧所對圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，結(jié)合公共角∠EFD=∠EFD，證出△DEF∽△EFA（2）由（1）得EF2=FA?FD，再由圓的切線長定理FG2=FD?FA，所以EF=FG=1。21.若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且，.（Ⅰ）求a1，a2;

（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和.判斷,,是否為等差數(shù)列，并說明理由.參考答案：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，則

…………………2分

解得，

……3分

……4分

……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

則

………7分

數(shù)列,,是等差數(shù)列，證明如下：

………8分

，

,,成等差數(shù)列

……10分22.已知函數(shù)