安徽省“江南十校”高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題及答案

2015年安徽省“江南十?！备呷?lián)考數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部為（）A．B．C．D．2、設(shè)集合，集合，則（）A．B．C．D．3、設(shè)命題，，且；命題關(guān)于的函數(shù)（且）是指數(shù)函數(shù)，則命題是命題的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4、運(yùn)行如圖所示的程序框圖后，輸出的結(jié)果是（）A．B．C．D．5、設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則的值是（）A．B．C．D．6、若函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則直線的斜率為（）A．或B．或C．或D．或7、已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為（）A．B．C．D．8、已知函數(shù)，將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若對(duì)任意，都有成立，則的值為（）A．B．C．D．9、已知函數(shù)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)相異零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．10、在正方體中，=1\*GB3①經(jīng)過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線也垂直于平面；=2\*GB3②設(shè)為和的交點(diǎn)，則異面直線與所成的角是；=3\*GB3③若正方體的棱長(zhǎng)為，則經(jīng)過(guò)棱、、中點(diǎn)的正方體的截面面積為；=4\*GB3④若點(diǎn)是正方形內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且滿足，，則點(diǎn)的軌跡是線段．以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11、命題：“存在，使得”的否定是．12、．13、若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍為．14、在坐標(biāo)平面內(nèi)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．現(xiàn)有一只螞蟻從坐標(biāo)平面的原點(diǎn)出發(fā)，按如下線路沿順時(shí)針?lè)较蚺肋^(guò)格點(diǎn)：，則螞蟻在爬行過(guò)程中經(jīng)過(guò)的第個(gè)格點(diǎn)坐標(biāo)為．15、若曲線上任意一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的距離都大于，則稱曲線“遠(yuǎn)離”直線．在下列曲線中，“遠(yuǎn)離”直線的曲線有．（寫出所有符合條件的曲線的編號(hào)）=1\*GB3①曲線；=2\*GB3②曲線；=3\*GB3③曲線；=4\*GB3④曲線；=5\*GB3⑤曲線．三、解答題（本大題共6小題，滿分75分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）16、（本小題滿分12分）已知函數(shù)．求函數(shù)的最小正周期；在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，求的值．17、（本小題滿分12分）某校高三文科（1）班學(xué)生參加“江南十?！甭?lián)考，其數(shù)學(xué)成績(jī)（已折合成百分制）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分布區(qū)間為，，，，，，現(xiàn)已知成績(jī)落在的有人．求該校高三文科（1）班參加“江南十?！甭?lián)考的總?cè)藬?shù)；根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該班此次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分（可用中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；現(xiàn)要從成績(jī)?cè)诤偷膶W(xué)生中共選人參加某項(xiàng)座談會(huì)，求人來(lái)自于同一分?jǐn)?shù)段的概率．18、（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（），且，．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；設(shè)，的前項(xiàng)和為，求證：．19、（本小題滿分13分）如圖，圓柱的底面圓半徑為，為經(jīng)過(guò)圓柱軸的截面，點(diǎn)在上且，為上任意一點(diǎn)．求證：；若直線與面所成的角為，求圓柱的體積．20、（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中．當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；討論在其定義域上的單調(diào)性．21、（本小題滿分13分）已知橢圓（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．求橢圓的方程；若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線、，、分別為切點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．（注：經(jīng)過(guò)橢圓（）上一點(diǎn)的橢圓的切線方程為）

參考答案1.．，故選2.．，故選3.．命題；命題，故選4.．由程序框圖可知，最后輸出的，故選5.．由等比數(shù)列性質(zhì)可知也成等比，易求出,故選6.．,設(shè)，圓C：，圓心到的距離，故選7.．在方向上的投影為,故選8.．=，由題意得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，故選9．，當(dāng)時(shí)，，，故把圖象在上的部分向左平移1個(gè)單位得到在上的圖象，再把在上的圖象每次向左平移1個(gè)單位連續(xù)平移就得到在上的圖象，再作出的圖象，由圖象可得，，故選10.．易證面選，①正確；，就是異面直線與所成的角．，面，，又，，②正確；設(shè)棱的中點(diǎn)分別為，則過(guò)點(diǎn)的正方形截面就是正六邊形，，③正確；連結(jié)，易證，又，，，為上定點(diǎn)，又，點(diǎn)在線段的中垂面上，點(diǎn)在的中垂面與正方形的交線上，④正確；故選，都有．12.原式．13.可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率的2倍，畫(huà)出可行域，由得,由得,的取值范圍為．14.以為中心，邊長(zhǎng)為2的正方形上共有格點(diǎn)個(gè)，且螞蟻在其上爬過(guò)的最后一個(gè)格點(diǎn)為以為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形上共有格點(diǎn)個(gè)，且螞蟻在其上爬過(guò)的最后一個(gè)格點(diǎn)為以為中心，邊長(zhǎng)為6的正方形上共有格點(diǎn)個(gè)，且螞蟻在其上爬過(guò)的最后一個(gè)格點(diǎn)為………以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形上共有格點(diǎn)個(gè)，且螞蟻在其上爬過(guò)的最后一個(gè)格點(diǎn)為，由前個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)……得．當(dāng)時(shí)，前個(gè)正方形上格點(diǎn)的總數(shù)，且螞蟻在第9個(gè)正方形（邊長(zhǎng)為）上爬過(guò)的最后一個(gè)格點(diǎn)為，故螞蟻在爬行過(guò)程中經(jīng)過(guò)的第350個(gè)格點(diǎn)坐標(biāo)為．15.②③⑤對(duì)①：，不合題意；對(duì)②：設(shè)直線與曲線相切，把代入得，由，得，此時(shí)直線與的距離，符合題意；對(duì)③：圓心到直線的距離，圓上的點(diǎn)到距離的最小值為，符合題意；對(duì)④：設(shè)曲線上斜率為2的切線的切點(diǎn)為，，，，切線：，即：，切線與的距離，，，而，不合題意；對(duì)⑤：設(shè)切點(diǎn)為，，，符合題意。16.解：（=1\*ROMANI）==…………3分…………5分（=2\*ROMANII）,又…………7分…………9分又，…………12分17.解：（=1\*ROMANI）該校高三文科（1）班參加“江南十校”聯(lián)考的總?cè)藬?shù)為（人）……3分（=2\*ROMANII）平均分（分）…………7分(Ⅲ)成績(jī)?cè)谥泄灿校ㄈ耍?，記為………?分成績(jī)?cè)谥泄灿校ㄈ耍?，記?，2，3，4，5總的基本事件有共28個(gè)，其中2人來(lái)自同一分?jǐn)?shù)段的基本事件有共13個(gè)…………11分故概率…………12分18.（Ⅰ）且…………3分是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得…………7分……9分…ABPCDOABPCDOQ第19題圖圖19.證明：（=1\*ROMANI）連接，為的直徑，…1分又，……2分又…………4分O1E又，…………5分O1E（=2\*ROMANII）過(guò)點(diǎn)作，為垂足，連結(jié)，…………6分就是直線與所成的角，…………8分又，，又……11分…………13分20.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，……，又切線方程為即……（Ⅱ）的定義域?yàn)?，…?1\*GB3①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減……=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，設(shè)（）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增…………（）當(dāng)即時(shí)，由得

當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為…………綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為…………13分21.（Ⅰ）由題意得：…………又橢圓C過(guò)點(diǎn)，……橢圓C的方程為