2022-2023學年湖北省黃岡市武穴市九年級下期中抽測數(shù)學試卷含解析

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一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是()

A.B.C.且D.且

2.我國古代易經一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數(shù)量，即“結繩計數(shù)”如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是()

A.B.C.D.

3.關于的方程有兩個不等的實數(shù)根，，且，那么的取值范圍是()

A.B.C.D.

4.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸的正半軸上．頂點的坐標為，點的坐標為，點為斜邊上的一個動點，則的最小值為()

A.B.C.D.

5.如圖，平面直角坐標系中，已知直線上一點，為軸上一點，連接，線段繞點順時針旋轉至線段，過點作直線軸，垂足為，直線與直線交于點，且，連接，直線與直線交于點，則點的坐標為()

A.B.C.D.

6.如圖，已知是矩形內一點，且，，，那么的長為()

A.

B.

C.

D.

7.如圖所示，在矩形紙片中，，，點、分別是矩形的邊、上的動點，將該紙片沿直線折疊使點落在矩形邊上，對應點記為點，點落在處，連接、、，與交于點則下列結論成立的是()

；

當點與點重合時，；

的面積的取值范圍是；

當時，．

A.B.C.D.

8.對于二次函數(shù)，規(guī)定函數(shù)是它的相關函數(shù)已知點，的坐標分別為，，連接，若線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象有兩個公共點，則的取值范圍為()

A.或B.或

C.或D.或

二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）

9.一天晚上，小偉幫媽媽清洗茶杯，三個茶杯只有花色不同，其中一個無蓋如圖，突然停電了，小偉只好把杯蓋與茶杯隨機地搭配在一起，則花色完全搭配正確的概率是______．

10.已知關于的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則的取值范圍______．

11.若方程組的解是，則方程組的解為______．

12.如圖，為等邊內一點，，，，則的面積為______．

13.已知實數(shù)滿足，則的值為______．

14.如圖，在中，，，，、分別是、上的一點，且，若以為直徑的圓與斜邊相交于、，則的最大值為______．

15.已知拋物線經過點，若，兩點都在拋物線上，且，則的取值范圍為______．

16.如圖，是的直徑，是弦，的平分線交于點，于，過點作的切線交的延長線于，若，則______．

17.若，求的最小值______．

18.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列個結論：；；；；的實數(shù)，其中正確結論的序號有______．

三、解答題（本大題共5小題，共46.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

若，化簡．

20.本小題分

如果方程的兩個根是，，那么，，請根據以上結論，解決下列問題：

已知關于的方程，，求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；

已知、滿足，，求的值；

已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．

21.本小題分

某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完，該公司的年產量為千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤元與國內銷售數(shù)量千件的關系為：；若在國外銷售，平均每件產品的利潤元與國外的銷售數(shù)量千件的關系為：．

用的代數(shù)式表示為：______；當時，與的函數(shù)關系式為：______；當______時，；

求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤千元與國內的銷售數(shù)量千件的函數(shù)關系式，并指出的取值范圍；

該公司每年國內、國外的銷量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

22.本小題分

如圖，在中，，將沿翻折，點恰好與點重合，點在邊上，連接．

如圖，若點是的中點，連接，且，，求的長；

如圖，若于點，并延長交于點，當點是的中點時，連接，求證：；

在的條件下，連接，請直接寫出的度數(shù)．

23.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象經過點，，與軸交于點．

求該二次函數(shù)的表達式；

連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

如圖，直線為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交軸于點若點為軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點作直線，分別交直線于點，，在點的運動過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：依題意得：且．

解得且．

故選：．

根據被開方數(shù)大于等于，分母不等于列式計算即可得解．

本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．

2.【答案】

【解析】解：，

故選：．

類比于現(xiàn)在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數(shù)為：千位上的數(shù)百位上的數(shù)十位上的數(shù)個位上的數(shù)．

本題是以古代“結繩計數(shù)”為背景，按滿七進一計算自孩子出生后的天數(shù)，運用了類比的方法，根據圖中的數(shù)學列式計算；本題題型新穎，一方面讓學生了解了古代的數(shù)學知識，另一方面也考查了學生的思維能力．

3.【答案】

【解析】解：，

解得；，

，

，

，

解得；，

．

解得：，

，

故選：．

首先解關于的方程，求出的解，再根據，求出的取值范圍．

此題主要考查了解一元二次方程與不等式的解法，此題綜合性較強，解題的關鍵是利用求根公式求出，再求不等式的解集是解決問題的關鍵．

4.【答案】

【解析】解：作關于的對稱點，連接交于，連接，，過作于，

則此時的值最小，

，

，

，

，，，由勾股定理得：，

由三角形面積公式得：，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，由勾股定理得：，

，

，

在中，由勾股定理得：，

即的最小值是，

故選：．

作關于的對稱點，連接交于，連接，過作于，則此時的值最小，求出，求出，求出、，根據勾股定理求出，即可得出答案．

本題考查了三角形的內角和定理，軸對稱最短路線問題，勾股定理，含度角的直角三角形性質的應用，關鍵是求出點的位置，題目比較好，難度適中．

5.【答案】

【解析】解：過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，

，

，，

，

，

，，

在和中，

≌，

，，

，

設，，

，

，

則，

，即．

直線，

，

在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

則的坐標是，

設直線的解析式是，

把代入得：，

即直線的解析式是，

即方程組得：，

即的坐標是

故選：．

過作軸，交軸于，交于，過作軸，交軸于，，求出，證≌，推出，，設，求出，得出，求出，得出的坐標，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐標，設直線的解析式是，把代入求出直線的解析式，解由兩函數(shù)解析式組成的方程組，求出方程組的解即可．

本題考查了用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，全等三角形的性質和判定，解方程組，勾股定理，旋轉的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，但是有一定的難度．

6.【答案】

【解析】解：如圖，過作于，交于；過作于，交于

設，，，，

所以，

所以

即

所以

同理有

所以

又因為即

得

所以

所以

故選：．

過作于，交于；過作于，交于，設，，，，則可得，，整理得，即可解題．

本題考查了矩形的性質，勾股定理在直角三角形中的運用，本題中整理計算的長度是解題的關鍵．

7.【答案】

【解析】解：是定值，，的長是變化的，

的值也是變化的，

與不一定相等，故錯誤．

四邊形是矩形，

，

，

由翻折的性質可知，，

，

，

，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形是菱形，

，

當，重合時，設，則有，

，

，，，

，

，

，故正確，

當，重合時，的面積最大，最大值，

，故錯誤，

如圖中，當時，，

，

，故正確．

故選：．

錯誤．說明的長度是變化的即可．

正確．利用面積法求出即可．

錯誤．求出面積的最大值，即可判斷．

正確，利用勾股定理求出，可得結論．

本題考查矩形的性質，翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用面積法解決線段問題，屬于中考?？碱}型．

8.【答案】

【解析】解：如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

所以當時，，即，解得．

如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線與軸交點縱坐標為，

，解得：．

當時，線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線經過點，

．

如圖所示：線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

拋物線經過點，

，解得：．

時，線段與二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖象恰有個公共點．

綜上所述，的取值范圍是或，

故選：．

首先確定出二次函數(shù)的相關函數(shù)與線段恰好有個交點、個交點、個交點時的值，然后結合函數(shù)圖象可確定出的取值范圍．

本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數(shù)的圖象和性質、函數(shù)圖象上點的坐標與函數(shù)解析式的關系，求得二次函數(shù)的相關函數(shù)與線段恰好有個交點、個交點、個交點時的值是解題的關鍵．

9.【答案】

【解析】

【解答】

解：法一：因為三個茶杯只有花色不同，兩個蓋杯隨機地搭配在一起，共種結果，花色完全搭配正確的結果只有一種，所以其概率是．

法二：假設杯無蓋，總共有種搭配結果，依次是：第一種：杯蓋；杯蓋；杯；第二種：杯蓋；杯；杯蓋；第三種：杯蓋；杯蓋；杯；第四種：杯蓋；杯；杯蓋；第五種：杯；杯蓋；杯蓋；第六種：杯；杯蓋；杯蓋，共種搭配方式，只有第一種完全滿足顏色正確搭配，

故概率為．

【分析】

本題考查隨機事件概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結果，那么事件的概率．

列舉出所有情況，看花色完全搭配正確的情況占所有情況的多少即為所求的概率．

10.【答案】

【解析】解：，

解得：，

解得：，

方程組只有三個整數(shù)解，則整數(shù)解一定是，，．

根據題意得：，

解得：．

故答案是：．

首先解兩個不等式，根據方程組只有三個整數(shù)解，即可得到一個關于的不等式組，從而求得的范圍．

本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．

11.【答案】

【解析】解：把方程組的解代入原方程組中得：

，此式代入所求的方程得：

，

解得．

故答案為．

方法、方程組，每個方程左右兩邊同時除以，

可化為Ⅰ

設，，

方程組Ⅰ可化為Ⅱ

方程組Ⅲ的解是，

對照方程組Ⅱ和Ⅲ的特點，得

，

，

故答案為．

方法、把方程組的解是代入原方程組中可得到，再把關于的代數(shù)式代入所求的方程組即可得解．

方法、先將所求的方程組每個方程除以，得出新的方程組再和方程組對照，得出新方程組的解，即可得出結論．

本題考查了運用代入法解二元一次方程組的方法，解題時要根據方程組的特點進行有針對性的計算．

12.【答案】

【解析】解：為等邊三角形，

，，

把繞點逆時針旋轉得到，

，，，≌，

為等邊三角形，

，，，

在中，，，，

，

為直角三角形，，

而，

，，

，

，

，

，

，

為直角三角形，

，

．

故答案為．

根據等邊三角形的性質，，則把繞點逆時針旋轉得到，利用旋轉的性質有，，，≌，于是可判斷為等邊三角形，所以，，，接著利用勾股定理的逆定理證明，則，，所以，然后證明為直角三角形，則，所以．

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是勾股定理的應用和證明．

13.【答案】

【解析】解：設，則，

，

解得或，

當時，，關于的方程有實數(shù)根；

當時，，關于的方程無實數(shù)根，這種情況舍去；

；

故答案為：

設，可得，或，再檢驗可得答案．

本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是換元法的應用和檢驗．

14.【答案】

【解析】解：如圖，連接，作于，于．

，

，

，

，，

，

欲求的最大值，只要求出的最小值即可，

，

點的運動軌跡是以為圓心為半徑的圓，

在中，，，

，

，

，

當，，共線，且與重合時，的值最小，

的最小值為，

的最大值，

故答案為．

如圖，連接，作于，于由題意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．

本題考查圓，勾股定理，軌跡等知識，最值問題，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．

15.【答案】

【解析】解：由題意，將、兩點代入解析式得，，

．

拋物線的解析式為．

該拋物線的對稱軸直線．

由題意，拋物線開口向上，

當時，隨的增大而減小；當時，由隨的增大而增大．

又，

當時，有，即此時；

當時，由，

．

此時．

當時，顯然沒有．

綜上，．

故答案為：．

依據題意，首先將、兩點代入解析式然后求出解析式，再結合對稱軸，由當時，，從而分類討論可以得解．

本題主要考查二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，解題時要熟練掌握二次函數(shù)的性質并靈活運用是關鍵．

16.【答案】

【解析】解：連接，

是的直徑，

，

，

與相切于點，

，

，

，

，

于，

，

，

的平分線交于點，

，

，

，

，

≌，

，

，

設，，則，

解關于的方程得，不符合題意，舍去，

，

故答案為：．

連接，由是的直徑，得，則，由與相切于點，證明，則，所以，再證明≌，得，則，設，，則，求得符合題意的值為，即可求得，于是得到問題的答案．

此題重點考查同角的余角相等、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、切線的性質定理、全等三角形的判定與性質、一元二次方程的解法等知識，正確地作出所需要的輔助線并且推導出是解題的關鍵．

17.【答案】

【解析】解：，

，

將代入得，

，

由得，，

可理解為到和的距離的最小值．

作關于軸的對稱點，連接，與軸交點即為．

在中，．

故答案為：．

如圖：

將變形后代入，再轉化為軸對稱最短路徑問題解答即可．

此題考查了利用兩點間距離公式的幾何意義解答最值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的重要作用．

18.【答案】

【解析】解：由圖象可知：，，，，故此選項正確；

當時，，即，錯誤；

由對稱知，當時，函數(shù)值大于，即，故此選項正確；

當時函數(shù)值小于，，且，

即，代入得，得，故此選項正確；

當時，的值最大．此時，，

而當時，，

所以，

故，即，故此選項錯誤．

故正確．

故答案為：．

由拋物線的開口方向判斷的符號，由拋物線與軸的交點判斷的符號，然后根據對稱軸及拋物線與軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與軸的交點、拋物線與軸交點的個數(shù)確定．

19.【答案】解：設，

兩側同時平方得：

又，

，

為正數(shù)，

，

所以．

【解析】用換元法簡化復合二次根式，根據的取值范圍進行二次根式化簡即可．

本題考查了二次根式的加減，二次根式的加減先要將每個二次根式化簡成最簡二次根式后再進行加減運算．

20.【答案】解：設方程，的兩個根分別是，，

則：，

，

若一個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，

則這個一元二次方程是：；

、滿足，，

，是的解，

當時，，，

．

當時，原式；

，，

，，

、是方程的解，

，

，

是正數(shù)，

，

，

，

正數(shù)的最小值是．

【解析】先設方程，的兩個根分別是，，得出，，再根據這個一元二次方程的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案．

根據、滿足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值．

根據，，得出，，、是方程的解，再根據，即可求出的最小值．

本題考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．

21.【答案】；；

【解析】解：由題意，得，

；

，

當時，，即，

此時與的函數(shù)關系為：；

當時，，即，

此時．

故答案為：；；，；

分三種情況：

當時，；

當時，；

當時，；

綜上可知，；

當時，，此時時，；

當時，，此時時，；

當時，，時，；

，

當時，隨的增大而減小，

時，．

故該公司每年國內、國外的銷售量各為千件、千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為萬元．

由該公司的年產量為千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量國外銷售量千件，即，變形即為；

根據平均每件產品的利潤元與國外的銷售數(shù)量千件的關系及即可求出與的函數(shù)關系：

當時，；當時，；

根據總利潤國內銷售的利潤國外銷售的利潤，結合函數(shù)解析式，分三種情況討論：；；；

先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數(shù)的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可．

本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，有一定難度．涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質，分段函數(shù)等知識，進行分類討論是解題的關鍵．

22.【答案】解：將沿翻折，點恰好與點重合，

，，，且，

是等腰直角三角形，

點是的中點，，，

，

，

，

，

，，

，

如圖，過點作交的延長線于點，

，，，

，

，，

，且，，

≌

，，，

，

，

，，

，且，，

≌

，

，

；

如圖，連接，

，

，

，，，

≌

，

，

，

，

點，點，點，點四點共圓，

．

【解析】由折疊的性質可得，，，由勾股定理可求，由三角形中位線定理可求解；

過點作交的延長線于點，通過證明≌，可得，，，由“”可證≌，可得，即可得結論；

由“”可證≌，可得，可得，可求，通過證明點，點，點，點四點共圓，可得．

本題是幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關