2019年全國高考II卷理科數(shù)學試題及答案

2019年全國高考II卷理科數(shù)學試題及答案2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學注意事項：1.在答題卡上填寫姓名和準考證號。2.答案必須寫在答題卡上，本試卷和草稿紙上的答案無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題：1.根據(jù)復數(shù)除法法則，化簡復數(shù)，得到答案D。2.根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù)，得到答案A。3.通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像，得到答案B。4.根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果，得到答案B。5.根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得到答案A。6.先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB，得到答案A。點睛：解空間幾何問題，需要熟練掌握向量的基本概念和運算，能夠靈活運用向量的數(shù)量積、叉積、模長等性質(zhì)求解空間幾何問題，同時還需要掌握空間圖形的投影、截面等概念和方法，能夠通過建立坐標系、利用向量夾角等方法解決空間幾何問題。}為等差數(shù)列，首項為a，公差為d，則有a1=a，an=a+(n-1)d.由已知得a1+a2=5，a2+a3=7，a3+a4=9，解得a=1，d=2.所以an=2n-9，代入等差數(shù)列前n項和公式得Sn=n(2n-7).（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得Sn=n2-8n，化簡得Sn=(n-4)2-16，所以Sn的最小值為-16，當n=4時取得.點睛：在解決等差數(shù)列問題時，需要掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及二次函數(shù)的對稱軸和最值的求法.18.已知函數(shù)f(x)=2x3+3x2-36x+1，g(x)=ax2+bx+c，滿足g(2)=f(2)，g(3)=f(3)，g(4)=f(4)，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=2x2-5x+7.【解析】分析：由已知條件列出方程組，解出a，b，c，代入g(x)的一般式中即可得到解析式.詳解：由g(2)=f(2)得4a+2b+c=3，由g(3)=f(3)得9a+3b+c=34，由g(4)=f(4)得16a+4b+c=117.解得a=2，b=-5，c=7，代入g(x)的一般式g(x)=ax2+bx+c，得到g(x)=2x2-5x+7.點睛：在解決函數(shù)的解析式問題時，需要掌握函數(shù)值相等的條件，以及列方程組解未知數(shù)的方法.19.在平面直角坐標系中，已知點A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，點P(x,y)滿足條件PA2+PB2+PC2+PD2=8，求點P的軌跡方程.【答案】x2+y2=2.【解析】分析：根據(jù)點到四個定點的距離平方和的條件，列出方程，化簡得到點P的軌跡方程.詳解：設(shè)點P的坐標為(x,y)，則有PA2=(x-1)2+y2，PB2=x2+(y-1)2，PC2=(x+1)2+y2，PD2=x2+(y+1)2.代入條件PA2+PB2+PC2+PD2=8，化簡得到x2+y2=2.點睛：在解決軌跡方程問題時，需要掌握點到定點的距離公式，以及化簡方程的技巧.20.已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=f(x)+x，h(x)=f(x)-x，求證：對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x).【答案】證明：將g(x)h(x)-f2(x)化簡得到x2(x-1)ln2x≥0，由于x>0，所以x-1<0或x>1，當x-1<0時，x<1，此時x2<1，ln2x<0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立；當x>1時，x2>1，ln2x>0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立.所以對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x)成立.【解析】分析：將g(x)h(x)-f2(x)進行化簡，然后分情況討論x的取值范圍，證明不等式成立.詳解：將g(x)h(x)-f2(x)進行化簡得到x2(x-1)ln2x≥0，由于x>0，所以x-1<0或x>1，當x-1<0時，x<1，此時x2<1，ln2x<0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立；當x>1時，x2>1，ln2x>0，所以x2(x-1)ln2x≥0成立.所以對于任意x>0，都有g(shù)(x)h(x)≥f2(x)成立.點睛：在證明不等式問題時，需要掌握化簡式子的技巧，以及分情況討論的方法.21.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+5，g(x)為f(x)的反函數(shù)，求g(1)+g(3)+g(5)的值.【答案】6.【解析】分析：由f(x)的定義可得其反函數(shù)為g(x)=2±√(x-1)，代入g(1)+g(3)+g(5)的式子中計算得到結(jié)果.詳解：由f(x)=x2-4x+5得到其對稱軸為x=2，所以f(x)的反函數(shù)為g(x)=2±√(x-1).代入g(1)+g(3)+g(5)的式子中得到g(1)+g(3)+g(5)=2-√2+2+√2+2+3=6.點睛：在解決函數(shù)反函數(shù)問題時，需要掌握對稱軸的求法，以及函數(shù)反函數(shù)的定義和計算方法.（二）選考題：共10分。22.已知函數(shù)f(x)=2x3+3x2-36x+1，g(x)=ax+b，滿足g(2)=f(2)，g(3)=f(3)，g(4)=f(4)，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=x-1.【解析】分析：由已知條件列出方程組，解出a，b，代入g(x)的一般式中即可得到解析式.詳解：由g(2)=f(2)得2a+b=-25，由g(3)=f(3)得3a+b=-10，由g(4)=f(4)得4a+b=25.解得a=1，b=-3，代入g(x)的一般式g(x)=ax+b，得到g(x)=x-1.點睛：在解決函數(shù)的解析式問題時，需要掌握函數(shù)值相等的條件，以及列方程組解未知數(shù)的方法.23.已知函數(shù)f(x)=x2+3x，g(x)=f(f(x))，求g(x)的解析式.【答案】g(x)=x4+6x3+9x2.【解析】分析：將f(x)代入g(x)的式子中計算，得到g(x)的解析式.詳解：由f(x)=x2+3x得到f(f(x))=(x2+3x)2+3(x2+3x)=(x4+6x3+9x2)，所以g(x)=x4+6x3+9x2.點睛：在解決函數(shù)復合問題時，需要掌握將函數(shù)代入式子中計算的方法，以及函數(shù)的基本性質(zhì).首先，根據(jù)折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出逐年遞增的趨勢，而且在2010年之后增幅更大，更加明顯。因此，模型②建立的時間范圍更加接近于未來的情況，更加符合實際情況。其次，根據(jù)模型①和模型②的預測值計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)模型②得到的預測值更高，更加符合目前的趨勢和實際情況。因此，可以認為用模型②得到的預測值更可靠。20.如圖所示，有一個三棱錐，要證明：（1）點P到平面ABC的距離等于點P到平面OAB的距離；（2）若點M在棱BC中點D上，則角AMB與平面ABC的夾角的正弦值為1/√2。解析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，可以得到PO垂直AC，再通過勾股定理可以得到PO垂直O(jiān)B。因為PO垂直于平面ABC和平面OAB，所以根據(jù)線面垂直判定定理可以得到結(jié)論。（2）建立空間直角坐標系，以O(shè)為坐標原點，設(shè)各點坐標。根據(jù)已知條件可以列出平面PAM的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補的關(guān)系列方程，解得M的坐標。最后利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，根據(jù)線面角與向量夾角互余得到結(jié)果。21.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x-1，要證明：（1）當x∈(0,1)時，f(x)單調(diào)遞減；（2）f(x)只有一個零點，求該零點的值。解析：（1）對f(x)求導數(shù)可以得到f'(x)=3x^2-6x+2，當x∈(0,1)時，f'(x)的值恒小于0，所以f(x)單調(diào)遞減。（2）求f(x)的零點，即令f(x)=0，得到x^3-3x^2+2x-1=0。根據(jù)因式定理可以得到(x-1)是該方程的一個解，所以可以將方程化為(x-1)(x^2-2x+1)=0。因為x^2-2x+1可以寫成(x-1)^2的形式，所以f(x)只有一個零點，即x=1。只有一個零點時，可以利用函數(shù)零點的情況來求參數(shù)值或取值范圍。具體方法有三種：利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解，轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解。在第22、23題中任選一題作答。22題為坐標系與參數(shù)方程，要求求解直線和曲線的交點坐標以及曲線截直線所得線段的中點坐標；23題為不等式選講，要求求解一個函數(shù)的絕對值不等式的解集以及一個二次函數(shù)的取值范圍。對于22題，可以根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程。注意要分別考慮直線和曲線的兩種情況。然后可以利用直線的參數(shù)方程的標準形式來求解交