第六章 平面向量及其應(yīng)用 單元通關(guān)卷-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2023必修第二冊(cè)含解析

第第頁第六章平面向量及其應(yīng)用單元通關(guān)卷-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第二冊(cè)（含解析）第六章平面向量及其應(yīng)用單元通關(guān)卷

學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題

1．已知，，，則（）

A．2B．C．1D．

2．的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，已知，，則（）

A．B．C．D．

3．已知，，，則為（）

A．3B．24C．21D．4

4．已知的內(nèi)角，，對(duì)邊分別為，，，，，.則（）

A．B．C．D．

5．已知，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A．(－2，3)B．(2，－3)

C．(－2，1)D．(2，－1)

6．在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，，，則()

A．，B．，

C．，D．，

7．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（）

A．B．C．D．

8．已知向量，，則與．

A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向

9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)，且△ABC的面積為．則（）

A．2B．C．－2D．

10．圭表（如圖）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖是一個(gè)根據(jù)南京市的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知南京市冬至正午太陽高度角（即）約為，夏至正午太陽高度角（即）約為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為，則表高（即的長）為（）

A．B．

C．D．

二、多選題

11．下列說法正確的是（）

A．若兩個(gè)非零向量共線，則必在同一直線上

B．若向量與平行，與平行，則，方向相同或相反

C．若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°

D．平行向量就是共線向量，共線向量就是平行向量

12．已知向量在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A．

B．向量在向量方向上的投影向量為

C．

D．若，則

三、填空題

13．已知向量，，若向量，則實(shí)數(shù)為______．

14．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它由四個(gè)全等的直角三角形圍成，其中，現(xiàn)將每個(gè)直角三角形的較長的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2的數(shù)學(xué)風(fēng)車，則圖2“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為_______________．

15．已知為圓上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為_______．

16．設(shè)銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則面積的取值范圍為______.

四、解答題

17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.

(1)求角B的大小；

(2)若，，解這個(gè)三角形．

18．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且的外接圓半徑為2.若，

(1)求角的大?。?/p>

(2)求面積的最大值.

19．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答問題.

在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且_________.

(1)求角的大??；

(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.

20．已知在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.D是AB的中點(diǎn)，，.

(1)求∠A的大??；

(2)求a的值.

21．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足．

（1）求角的大?。?/p>

（2）若，的面積，求的值；

（3）若函數(shù)，求的取值范圍．

22．分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.

(1)若的周長為，求；

(2)若，證明：.

參考答案：

1．B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，進(jìn)而根據(jù)模長公式求解.

【詳解】，，解得，.

故選：B.

2．D

【分析】利用正弦定理、余弦定理列方程來求得.

【詳解】，，即，

，

，則

故選：D

3．B

【分析】先求出的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

故選：B

4．B

【分析】利用余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意由余弦定理，

即，所以；

故選：B

5．D

【分析】設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出，再根據(jù)，列出方程組可求出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】解：設(shè)，則，，

根據(jù)，得，

即，解得：，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

故選：D.

6．B

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系和向量的線性運(yùn)算即可求出m和n的值．

【詳解】，

故，﹒

故選：B﹒

7．A

【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.

【詳解】由，得，

所以．

故選：A.

8．D

【詳解】∵，，

∴，

∴與平行且反向．故選D．

9．C

【分析】由正弦定理可以求得，利用面積公式可求得，再根據(jù)向量的運(yùn)算法則和向量的數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】依題知，

因?yàn)椋?/p>

所以由正弦定理得：，

因?yàn)椋裕?/p>

所以，

所以或（舍），

解得：，所以的夾角為：.

由面積公式，

解得：，即

因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以,

所以，

.

故選：C.

10．A

【分析】先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.

【詳解】解：由題意可知，，

在中，由正弦定理可知：

，即.

則.

在中，，

所以.

故選：A.

11．CD

【分析】根據(jù)平面向量平行的概念和夾角的概念依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，若兩個(gè)非零向量共線，則與平行或在一條直線上，故A錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)B，若，與不平行，則滿足向量與平行，與平行，故B錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)C，若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°，故C正確.

對(duì)選項(xiàng)D，平行向量就是共線向量，共線向量就是平行向量，故D正確.

故選：CD

12．ABD

【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算，投影向量和向量平行公式即可判斷每個(gè)選項(xiàng)

【詳解】由圖可得，

對(duì)于A，，故A正確；

對(duì)于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正確；

對(duì)于C，，

所以，故C不正確；

對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，故，故D正確.

故選：ABD

13．

【分析】根據(jù)平面向量共線向量的坐標(biāo)表示，列關(guān)于的方程，解出即可.

【詳解】，，且，則有，解得.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】考查向量坐標(biāo)的概念，平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示列方程求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14．24:25

【分析】設(shè)三角形三邊的邊長分別為，分別求出陰影部分面積和大正方形面積即可求解.

【詳解】解：由題意，“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形圍成，其中，

設(shè)三角形三邊的邊長分別為，則大正方形的邊長為5，所以大正方形的面積，

如圖，將延長到，則，所以，又到的距離即為到的距離，

所以三角形的面積等于三角形的面積，即，

所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積，

所以“趙爽弦圖”外面（圖中陰影部分）的面積與大正方形面積之比為.

故答案為：24:25.

15．

【分析】根據(jù)條件,可知BC為圓O的直徑,因而由直徑所對(duì)圓心角為可知,.

【詳解】由，故三點(diǎn)共線，且是線段中點(diǎn)，

故是圓的直徑，從而，

因此與的夾角為

所以答案為

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理及圓的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

16．

【分析】由利用三角函數(shù)恒等變換公式結(jié)合已知條件可求得，然后畫出圖形，由于為銳角三角形，從而可C在線段上，且不包含，，進(jìn)而可求出面積的取值范圍

【詳解】由題，即，，

因?yàn)殇J角，故，.

故由，，畫圖，如圖所示，，.

因?yàn)殇J角，故C在線段上，且不包含，，

又，，，

故，即，

故，

故答案為：

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)換成邊的關(guān)系，代入余弦定理中求得cosB的值，進(jìn)而求得B．

（2）由（1）可求出C，利用兩角和正弦公式先求得sinA的值，進(jìn)而利用正弦定理分別求得a和c．

【詳解】（1）由正弦定理，得

由余弦定理，得.

故，又，因此；

（2）由（1）知，，

，

由正弦定理，得，

.

18．(1)

(2)

【分析】（1）邊角互換結(jié)合余弦定理可得；

（2）由外接圓半徑和正弦定理求出c，再由余弦定理和重要不等式可得ab的最大值，然后可解.

(1)

由正弦定理可知，即

所以，由，所以.

(2)

由于三角形外接圓的半徑為2

則，

∴（時(shí)取等）

∴

.

19．(1)條件選擇見解析，

(2)

【分析】（1）選①，由正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；選③，利用正弦定理以及余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；

（2）求出角的取值范圍，根據(jù)正弦定理可求得的取值范圍，結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果.

(1)

解：選①，由及正弦定理可得，

、，則，所以，，故；

選②，由及正弦定理可得，

因?yàn)?，則，所以，，故；

選③，由及正弦定理可得，

由余弦定理可得，因?yàn)椋?

(2)

解：因?yàn)闉殇J角三角形，且，則，可得，，

由正弦定理，則，

所以，.

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理得，進(jìn)而求得A；

（2）在和中分別使用余弦定理，計(jì)算a的值.

【詳解】（1）因?yàn)椋?/p>

由正弦定理得：，因?yàn)?，所以?/p>

得，因?yàn)?，所?

（2）在中，由余弦定理得：，

即，解得：(負(fù)值舍去)，則，

在中，由余弦定理得：，所以.

所以.

21．（1）；（2）；（3）.

【分析】(1)由題意結(jié)合正弦定理可得；

(2)由題意得到關(guān)于b+c的方程，解方程可得的值為7；

(3)化簡三角函數(shù)式，結(jié)合角的范圍可得的取值范圍是.

【詳解】（1）根據(jù)正弦定理得：