三角形輔助線的作法之中線倍長法課件

八年級(jí)全等三角形輔助線的作法紅安縣馬井中學(xué)楊勇系列微課八年級(jí)全等三角形輔助線的作法紅安縣馬井中學(xué)楊勇系1八年級(jí)全等三角形輔助線的作法

第一講截長補(bǔ)短法紅安縣馬井中學(xué)楊勇八年級(jí)全等三角形輔助線的作法第一講截長補(bǔ)短法紅安縣馬井2一、截長補(bǔ)短

一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等．分析：要證AB=AC+CD，此三條線段都不在同一直線上．

可以有截長和補(bǔ)短兩條思路。一、截長補(bǔ)短分析：要證AB=AC+CD，此三條線段都不在同3E

E

4E證法1：延長AC到點(diǎn)E使得CE=CD,則∠E=∠CDE

∴

∠ACB=2∠E,又∵∠ACB=2∠B

∴

∠B=∠E,又∵AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2在△ABD和△AED中∠B=∠E（已證）∠1=∠2（已知）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△AED（AAS）∴AB=AE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵AE=AC+CE,CE=CD∴AB=AE=AC+CD,即AB=AC+CDE證法1：延長AC到點(diǎn)E使得CE=CD,則∠E=∠CDE5F

F

6F證法2：在AB上截取AF=AC

由SAS易證△AFD≌△ACD

則CD=FD,∠C=∠AFD,又∵∠ACB=2∠B則∠AFD=2∠B又∵∠AFD=∠B+∠BDF∴∠BDF=∠B∴FD=FB∵AC=AF,FD=FB,FD=CD,∴AB=AF+FB=AC+CD,

即AB=AC+CD

F證法2：在AB上截取AF=AC7練習(xí)1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．

分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上．故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD．練習(xí)1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分8練習(xí)1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．

證明：在AC上截取AF=AE，連接OF．

∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°

∴∠BAC+∠ACB+∠B=180°（三角形內(nèi)角和定理）則∠1+∠2=60°（角平分線性質(zhì)），∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°（三角形外角性質(zhì)）．

顯然，△AEO≌△AFO（SAS），∴∠5=∠4=60°(全等三角形性質(zhì))，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°（平角性質(zhì)）

在△DOC與△FOC中，∠6=∠7=60°（已證），

∠2=∠3(已證)，OC=OC（公共邊）

∴△DOC≌△FOC（ASA），

∴

CF=CD（全等三角形性質(zhì)）

∴AC=AF+CF=AE+CD．（等量代換）練習(xí)1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分9注意：截長補(bǔ)短不僅適用于線段之間，也適用于角之間。一般地，當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系，且這兩個(gè)角不在同一個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在大角上截取一部分使之與一個(gè)小角相等；或?qū)⑿〗菙U(kuò)大使其與大角相等．

注意：截長補(bǔ)短不僅適用于線段之間，也適用于角之間。一般地，當(dāng)10

11

？？

？？12

PE=PD（已證）CD=AE（已證）

PE=PD（已證）CD=AE（已證）

13謝謝觀賞

第一講截長補(bǔ)短法紅安縣馬井中學(xué)楊勇謝謝觀賞第一講截長補(bǔ)短法紅安縣馬井中學(xué)楊勇14八年級(jí)全等三角形輔助線的作法

第二講中線倍長法紅安縣馬井中學(xué)楊勇八年級(jí)全等三角形輔助線的作法第二講中線倍長法紅安縣馬井15二、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路．

例3．已知△ABC中，AD是其BC邊上的中線。(1)求證：|AB-AC|<2AD<AB+AC(2)已知三角形的兩邊長分別為7和5，求第三邊上

的中線的取值范圍.分析：從此不等式可以看出非常像三角形的三邊關(guān)系，因此我們需要構(gòu)造一個(gè)以AB、AC及2AD為邊的三角形，所以我們就要加倍延長中線AD到點(diǎn)E使得AE=2AD,連接BE，若證得BE=AC,則問題得證。第（2）問則根據(jù)第一問的

關(guān)系可以直接寫出AD的范圍。二、中線倍長

分析：從此不等式可以看出非常像三角形的三邊關(guān)系16（1）證明：如圖所示，延長AD至E，使DE=AD．∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD

又∵∠ADC=∠EDB（對(duì)頂角相等）∴△ADC≌△EDB（SAS）

∴BE=AC(全等三角形性質(zhì))

∴在△ABE中|AB-AC|<AE<AB+AC（三角形三邊關(guān)系性質(zhì)定理）

即|AB-AC|<2AD<AB+AC

(2)解：由（1）知7-5＜2AD＜7+5

∴1＜AD＜6

例3．已知△ABC中，AD是其BC邊上的中線。(1)求證：|AB-AC|<2AD<AB+AC

(2)已知三角形的兩邊長分別為7和5，求第三邊上

的中線的取值范圍.（1）證明：如圖所示，延長AD至E，使DE=AD．

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練習(xí)3.已知:如圖△ABC中，CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是其BD邊上的中線。求證：AC=2AE

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例4．已知：如圖點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠BAE=∠CDE.

求證：AB=CDDE后，

DE后，19證明：如圖所示，延長DE至F，使DE=EF．

則易證△DEC≌△FEB(SAS)

∴DC=BF,∠D=∠F(全等三角形性質(zhì))

又∵∠D=∠BAE∴∠BAE=∠F∴AB=BF

又∵DC=BF∴AB=CD

例4．已知：如圖點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠BAE=∠CDE.

求證：AB=CD證明：如圖所示，延長DE至F，使DE=EF．

20

21小結(jié)：在證明三角形全等時(shí)，有時(shí)需添加輔助線，證明全等時(shí)常見的兩種輔助線1.截長補(bǔ)短：當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法；當(dāng)所證結(jié)論為角的和、差關(guān)系，且這兩個(gè)角不在同一個(gè)頂點(diǎn)處時(shí)，通常可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法：或在大角上截