線性變換的矩陣課件

一、線性變換與基

二、線性變換與矩陣三、相似矩陣§3線性變換的矩陣一、線性變換與基二、線性變換與矩陣三、相似矩陣§3為V的線性變換，若

則

命題1設(shè)是線性空間V的一組基，即：一個線性變換完全由它在一組基上的作用所決定.一、線性變換與基

命題2設(shè)是線性空間V的一組基，對V中都存在線性變換使

任意n個向量即：任意給定基的像都決定一個線性變換.為V的線性變換，若則命題1設(shè)是線性空間V的一由命題1和命題2即得定理1設(shè)為線性空間V的一組基，對V中任意n個向量存在唯一的線性變換使

由命題1和命題2即得定理1設(shè)為線性空間V的一組基，設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組基，

為V的線性變換.基向量的象可以被基線性表出,設(shè)用矩陣表示即為

二、線性變換與矩陣1．線性變換的矩陣設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組基，為V的線性變換.其中

②單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；

零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣.

①A的第i列是在基下的坐標，矩陣A稱為線性變換在基下的矩陣.

注：它是唯一的.故在取定一組基下的矩陣是唯一的.

其中②單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣；零變換例1.設(shè)線性空間的線性變換為

求在標準基下的矩陣.

解：

則在標準基下的矩陣為例1.設(shè)線性空間的線性變換為求在標準基例2.設(shè)為n維線性空間V的子空間W

的一組基，把它擴充為V的一組基：

并定義線性變換：

則

稱這樣的變換為對子空間W的一個投影.

例2.設(shè)為n維線性空間V的子空間W的一2．線性變換的運算與矩陣的運算定理2設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組的唯一一個矩陣對應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：基，在這組基下，V的每一個線性變換都與中①線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和；

②線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積；③線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積；④可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.2．線性變換的運算與矩陣的運算定理2設(shè)為數(shù)域P上證：設(shè)為兩個線性變換，它們在基

下的矩陣分別為A、B，即

①

∴在基下的矩陣為A＋B.

證：設(shè)為兩個線性變換，它們在基下的矩陣分別為A、B，即②∴在基下的矩陣為AB.③∴在基下的矩陣為②∴在基下的矩陣為AB.③∴④由于單位變換(恒等變換)對應(yīng)于單位矩陣E.

相對應(yīng).因此，可逆線性變換與可逆矩陣A對應(yīng)，且所以，與AB＝BA＝E逆變換對應(yīng)于逆矩陣④由于單位變換(恒等變換)對應(yīng)于單位矩陣E.相對應(yīng).定理3：設(shè)為V的一組基對任意，定義：這里A為在基下的矩陣.則就是到的一個同構(gòu)映射.證明：定理3：設(shè)為V的一組基對任意3．線性變換矩陣與向量在線性變換下的象定理4

設(shè)線性變換在基下的矩陣為A,在基下的坐標為在基下的坐標為則有

3．線性變換矩陣與向量在線性變換下的象定理4設(shè)線性變換4．同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系下的矩陣分別為A、B，且從基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的過渡矩陣矩陣是X，則(Ⅱ)(Ⅰ)定理5

設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基4．同一線性變換在不同基下矩陣之間的關(guān)系下的矩陣分別為A、B三、相似矩陣1．定義設(shè)A、B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，若存在可逆

矩陣使得

則稱矩陣A相似于B，記為

三、相似矩陣1．定義設(shè)A、B為數(shù)域P上的兩個n級矩陣，若存在相似是一個等價關(guān)系，即滿足如下三條性質(zhì)：①反身性：②對稱性：2．基本性質(zhì)③傳遞性：相似是一個等價關(guān)系，即滿足如下三條性質(zhì)：①反身性：②對稱定理6

線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作定理6線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變換在（3）相似矩陣的運算性質(zhì)若若則則（3）相似矩陣的運算性質(zhì)若若則則例2.設(shè)為線性空間V一組基，線性變換在這組基下的矩陣為

為V的另一組基，且

（1）求在下的矩陣B.（2）求例2.設(shè)為線性空間V一組基，線性變換在這組基下解：（1）由定理4，在基下的矩陣（2）由有于是解：（1）由定理4，在基下的矩陣（2）由例3.在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在標準基下的矩陣.（2）求在下的矩陣.例3.在線性空間中，線性變換定義如下：（1）求在解：（1）