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第三章平面問題的直角坐標解答3—1逆解法與半逆解法3—2矩形梁的純彎曲3—3位移分量的求出3—4簡支梁受均布荷載3—5楔形體受重力和液體壓力SolutionofPlaneProblemsinRectangularCoordinatesInverseMethodandSemi-InverseMethodPureBendingofaRectangularBeamDeterminationofDisplacmentsBendingofaSimpleBeamUnderUniformLoadsTriangularGravityWall3—4簡支梁受均布荷載作用例2.圖示矩形截面簡支梁,梁高為h,長為2,受均布荷載作用,取板厚度為1,兩端的支反力為q,體力不記,求應力函數(shù)

及應力分量(P41)。xh1yh/2h/2oqqqSimplebeamunderuniformloadConsiderasimplebeam,withlength2landdepthh,subjectedtoauniformlydistributedloadofintensityq.forconvenience,onlyaunitwidthofthebeamisconsidered,sothereactionateachendwillbeql.1、求應力分量(用半逆解法)由材料力學已知:彎曲應力

x主要由彎矩引起,剪應力

xy由剪力引起,擠壓應力

y由荷載q引起。由于q不隨x而變化,所以

y不隨x而變,可以假設:

y=f(y)而Justasthebendingstress

xandtheshearingstress

xyaremainlyproducedbythemomentandtheshearingforcerespectively,thecrushingstress

yismainlyproducedbythedirectloadonthebeam.Sincethedirectloadqdoesnotvarywithx,wemayassumethat

y

doesnotvarywithxeitherandconsequentlyitisonlyafunctionofy:f1(y)、f2(y)是待定函數(shù)wheref1(y)andf2(y)arearbitraryfunctions.考察是否滿足相容方程?Todeterminethefunctionf(y),f1(y)andf2(y),wesubstitutetheexpressionforintocompatibilityequation,obtaining代入相容方程得(1)(2)這是關于x的二次方程,要使此方程在x為任何值時恒滿足,則此方程中x前的系數(shù)和自由項必須為零,即Thisisaquadraticequationofx,butitmustbesatisfiedforallvaluesofxbetween–landl,astheconditionofcompatibilityrequires.Thisispossibleonlywhenthecoefficientsofx2andx,aswellasthetermindependentofx,arezero:(3)由(2)得:略去常數(shù)項由(1)得:Integrationof(1)and(2)yields:由(3)得:略去一次式和常數(shù)項Substitutingfinto(3)andintegrating,wehave:Theconstanttermandthetermlinearinyareneglect,becausetheywillnotaffectthestress.Th往e滋st思re嫌ss約c居om析po然ne縱nt偵s愈wi識ll銀b刃e:Th劃es盤e但ex缺pr寇es嗓si訓on掉s將sa低ti綁sf徹y懶th森e農(nóng)di咱ff找er債en怪ti鼠al狠e耀qu引at價io柱ns季o鴿f明eq傍ui榜li潮br肥iu乏m詢an吃d軋th錯e癢co赤mp叫at窗ib燦il劑it籌y堂eq租ua昨ti喝on腔.辱He全nc權e,搶i效f晌th劣e袖ar冬bi肉tr貪ar偉y懼co槐ns監(jiān)ta究nt危s拋A,耗B座,,墊K厚c摧an當b庫e奇ch救os睛en棚t醉o蟲sa灑ti桂sf后y洞al籍l爭th敞e伐bo鋼un資da蠶ry粘c遭on移di摸ti須on啞s,劑t廟he辜se槍e做xp霸re忌ss肌io喇ns陵w債il芽l雀be號t夫he疏r駐ig夜ht零s傍ol芬ut魯io正n龜of暴t量he危p跟ro偏bl警em姓.上述鞠應力說分量勁滿足霉平衡聚微分均方程禁和相率容方桶程,夠根據(jù)采邊界撕條件款確定誕積分固常述靜數(shù),扮即可白得正倡確的譯解答

x、y關于yz面正粗對稱飲(是x的偶龍函數(shù)泊)

xy關于yz面反乓對稱眠,是x的奇看函數(shù)xyh/2h/2oqqq(1)考慮對稱性considertheconditionsofsymmetrySi磨nc泄e會th兔eyzpl戀an逐e晃is沾a優(yōu)p勇la沫ne縫o怪f殖sy布mm紋et谷ry柴o途f麗th映e五be始am肯a嫂nd蒙t奮he星l耐oa諷di澤ng控,嫌th蹤蝶e緩st痕re曾ss照d和is乳tr慌ib捆ut串io特n藏mu斷st仰b瞇e飼sy優(yōu)mm賀et響ri巴c恒wi視th搜r卸es筐pe向ct煮t聽o芝th察e熟pl團an符e.Th區(qū)us爹,嘗th難e答ex桿pr木es央si熱on起s流fo姜r叛

x、ymu橋st衛(wèi)b言e祖ev漢en境f私un約ct額io打n油ofx,面wh哀il考e政th劈燕at震f址or

xymu祝st附b謝e筍od占d姿fu恒nc燥ti茄on鋤o胳fx.奧Th型is催r趕eq愿ui杰re前s于是耐得到亭:E=亞0厭F芬=0臥G=站0xyh/2h/2oqqq將應怒力表油達式期代入但邊界海條件(2)考慮邊界條件considerboundaryconditionsSu簽bs央ti祥tu純ti勿ng念t傻he能s絹tr中es誘s項co浮mp殲on嘉en尼t(yī)s緩e齒xp睡re捐ss伏io孝ns鞋i冊nt挖o深th笑es廣e龍eq梁ua附ti豪on下s麥an臂d培no鼠ti包ci脖ng盟t琴ha食tE=F=G=0個,乓we投h穩(wěn)av和e根據(jù)雁次要膜邊界沃(左塌右兩爛面,俊占很場小部肚分)銳條件攀,確以定H、裳K。若不同能完黎全滿得足,忌可用基圣維孤南原圍理No需w元in滅o楊rd買er作t夾o責de予te惡rm廈in醫(yī)e肺H梢an燭d辯K,除w約e烏ca旬n賢co棒ns止id匠er漁t窯he極b湊ou參nd芬ar枕y踏co黎nd杜it蜓io這ns笑a農(nóng)t仍th彩e訴en測ds聞o投f派th沈e植be只am宋(t狂he抖l土ef嬌t門an爬d至ri糟gh滴t鑰en革ds犬o淺f愁th渣e呆be普am系a喬re醬o佳nl購y呢sm仿al拉l照po儲rt伶io筑ns曉o柱f劈燕th回e括bo優(yōu)un小da松ry炕).If喂t計he釘b崇ou揭nd倍ar隆y衛(wèi)co萬nd掉it日io賽ns劫t素he悟re辟c星an散no腹t代be糕s謹at怎is拴fi慶ed漲e王xa創(chuàng)ct揀ly食,睬we樓m抖ay焦a賭pp冬ly頁t致he盞S番ai猾nt寺-V嘉en逮an拾t’粒s湯pr勒in蒜ci半pl鏡e字to研h醬av盼e糧th泰e智co濟nd邊it暈io配ns戚a儉pp短ro眾xi停ma河te緒ly驕s擱at跟is壞fi本ed皂.xyh/2h/2oqqq邊界條件:(1)(2)(3)Bo遣un辛da志ry襖c峰on合di拘ti介on嘆s教at櫻e雹nd皂s:From(1),wehave:K=0From(2),wehave:(3)issatisfiedNo掉w悄th姓e凍ex勤pr叮es梳si臥on障s單fo敢r舞th炊e芳st撒re寨ss承c言om烤po恰ne賓nt池s目ar輸e:最后懼求得施簡支殃梁在削均布押荷載涂作用幻玉下的辛應力織分量遍為:(3醋)式媽恒滿址足應力井分量穗沿垂貪直方怪向(覺橫截正面)蟲的變叔化規(guī)相律如儀圖:Th盆e泳st進re簽ss裁d啄is雖tr弱ib降ut權io夫n鋒on騙a逮t農(nóng)yp著ic湯al裕c詠ro鞠ss悶s外ec競ti拘on伏i縣s今ap持pr沿ox枝im宋at煩el偷y禁sh聰ow堵n困in廁F仔ig比.:

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y圖

xy圖

x不是清直線烏規(guī)律浴分布脖;擠邀壓應獨力y發(fā)生蘇在梁訪頂,稻材料凝力學稈中不瀉考慮將上偵述結(jié)雖果與測材料姿力學村中的料解答映比較Co錄mp猛ar諸e伴th鴿e慕so盾lu決ti練on龍o律bt搬ai銀ne始d樹he夾re繩a昨nd其t而ha負t龜gi凝ve箏n栽in趁m冬ec勁ha千ni冠cs史o呈f仁ma分te加ri確al盞s,對板才厚為亡1的對矩形闖截面憤梁:所以扎,應碰力分春量的丟表達時式為滑:Fo昆r餓th緣瑞e掘be腐am竭o逼f禍un彩it秤w蒸id枯th漂,康we源h匪av藍e:So總,哭th弓e土st廊re咽ss罵c繁om墾po迎ne們nt電s距ca塵b幅e喜re尾wr處it沃te粘n功as:

x中,第一項為主要項,與材力中的解答相同,第二項為修正項,當h時,修正項很小,忽略不計;剪應力的表達式與材料力學中的一樣We倒s候ee春t懷ha測t懸th秒e喘be器nd朽in花g帽st專re南ss善

xgi虧ve周n脅in侍m岔ec文ha圣ni慣cs麗o督f錘ma翠te晃ri甩al中s壤m(xù)u謊st用b外e攤su餃pp脆l(xiāng)e休me款nt得ed勉w召it招h擋a及co防rr句ec事ti插on事t酬er歲m荷wh協(xié)il海e下th蓬e帖sh斯ea僑ri廚ng您s棒tr距es傷s估

xyne杜ed鏟s劈燕no缺c朵or車re眨ct趕io思n.擠壓展應力顛在材艘料力盯學中題不考獻慮As惰t津o秘th激e籃cr器us捆hi妹ng箭s平tr驅(qū)es乎s允

y,些it但i膨s毀on拒ly霧c兵on坡si喊de橫re威d榆in辣e頓la賽st伶ic押it兵y顏an筒d廁no燥t肢in京m狹ec饞ha獵ni浴cs迎o吵f夫ma史te遵ri仿al偽s里at藍a牛ll惱.當

時,最大正應力應修正1/15當

時,最大正應力應修正1/60對的梁,材料力學中的結(jié)果足夠精確由于所以梁在左右兩邊的水平面力為而實蔬際邊術界上喂面力委的分飲布情悔況不喬清楚己,只舟知道筋其合言力為移零,漸和力瞇矩為牛零:根據(jù)躬圣維耕南原喇理,錫不管悄這些像面力五是否類存在纖,如糖何分稼布,健在離較邊界兇較遠司處,鄙應力燃與上茫述式錢子是否完全靠一樣安的3.瓜5TR悔IA岡NG失UL挑AR兼G蠅RA弟VI真TY運W換AL顯Lxyg

gyEx訊p.孔C景on烤si軋de虛r舒a率da艦m油or光a暫r片et鎮(zhèn)ai左ni隱ng盒w篇al攀l獨wi僑th杰t雷ri股an參gu悟la電r烤se蠶ct璃io什n痕su黑bj牌ec圖te渴d營to澇t戶he豎a立ct窄io直n宿of貍g挎ra槍vi乏ty鴿a抵nd憂t閑he摸p腿re念ss插ur字e治of抗i宜mp健ou色nd各ed銀l乖iq泡ui霜d.扭L較et麗t撲he龍d嫌en叛si泥ty圈o小f矛th禍e贏wa抵ll岡m嗽at曠er健ia屠l罩be

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gy圖示檔楔形搏體,烤左面防鉛直梢,右解面與袍鉛直來成

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gyBoundaryconditions:(1)theverticalsurfacex=0xyg

gy

(2)ontheinclinedsurface:Withthesevaluesofa,b,candd,thestresscomponentsbecame:Th屆e括di紫st輕ri魄bu鋒ti若on沖o踐f額st立re舉ss瓜c翅om幼po驗ne吉nt與s廢al貨on猜g襖a逢ho竹ri研zo攝nt佩al抓s當ec曲ti克on虹o色f指th醉e畏wa鵝ll專i再s設sh悄ow金n忘in巴f晌ol遺lo首wi昨ng給F狼

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