數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-5-2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（分層作業(yè)）

5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高一期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式，即得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）已知函數(shù)，則的（

）A．最小正周期為，最小值為 B．最小正周期為，最小值為C．最小正周期為，最小值為 D．最小正周期為，最小值為【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合周期公式求解周期，根據(jù)解析式求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以最小正周期?最小值為.故選：B.3．（2022·四川省成都市新都一中高一期末（文））若，則（

）A． B． C．4 D．－4【答案】A【分析】直接由正切倍角公式求解即可.【詳解】.故選：A.4．（2022·四川成都·高一期末（文））已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)平方后，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系及正弦的二倍角公式進(jìn)行求解.【詳解】平方得：，即，解得：故選：A5．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)任意的銳角，下列不等關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)值的范圍結(jié)合兩角和差公式判斷A、B；令，結(jié)合倍角公式檢驗(yàn)判斷C；根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】若為銳角，則，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；令，則，即∵，則∴且，則，C錯(cuò)誤；令∵，則在上單調(diào)遞減，則∴又∵，則，D正確；故選：D.6．（2022·江蘇南通·高一期末）函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由整體法令，即可求解.【詳解】，令，即，故函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為．故選：C7．（2022·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）若，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得和的值，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，因?yàn)?，，可得，，則.故選：C.二、多選題8．（2022·福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末）在內(nèi)，使成立的x取值范圍不是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由，得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的范圍，從而可求出在內(nèi)的范圍，進(jìn)而可得答案.【詳解】由，得，所以，即，所以，即因?yàn)?，所以，所以在?nèi)，能使成立的x取值范圍為，故選：ABD三、填空題9．（2022·西藏·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）____．【答案】【分析】利用兩角差的正弦公式即可得到化簡(jiǎn)結(jié)果【詳解】又故答案為：或10．（2022·廣東·深圳市華美外國(guó)語(yǔ)（國(guó)際）學(xué)校高一期中）若，則__.【答案】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式先化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解即可.【詳解】解：若，則，故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一期中）設(shè)凼數(shù)（a為實(shí)數(shù)）在區(qū)間上最小值為-4，則a的值等于____________.【答案】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用換元法和函數(shù)單調(diào)性得到最小值，即可求出.【詳解】，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以.故答案為：-4.12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知都是銳角，，則___________.【答案】##【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，故答案為：13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，，則的值為_______．【答案】【分析】根據(jù)余弦倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及角的范圍求出，，，再利用湊角法，正弦的差角公式求出答案.【詳解】，即又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以，而，所以故答案為?4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知為銳角，且，則___________.【答案】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可由余弦求出正弦，然后由二倍角公式以及兩角和的正弦即可求解.【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以.所以.故答案為：四、解答題15．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)高一期末）化簡(jiǎn)(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】三角換元之后，逆用和差角公式即可化簡(jiǎn)【詳解】（1）（2）16．（2022·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期及其圖像的對(duì)稱中心；(2)若且，求的值.【答案】(1)，對(duì)稱中心為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由的取值范圍，求出的范圍，即可求出，最后根據(jù)及兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，即，所以的最小正周期為．令，解得，，所以函?shù)的對(duì)稱中心為．（2）解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?7．（2022·江西九江·高一期末）已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再使用正弦的和角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；（2）先使用二倍角公式求出的值，再使用余弦的差角公式進(jìn)行求值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?（2）由二倍角公式得：，，所以．18．（2022·安徽·渦陽(yáng)縣第九中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【答案】(1)4；(2)，.【分析】（1）根據(jù)降冪公式，結(jié)合余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)余弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）∴當(dāng)時(shí)取得最大值4；（2）因?yàn)榘训膱D象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，所以，令，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．19．（2022·陜西·延安市第一中學(xué)高一期中）在①函數(shù)；②函數(shù)；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．已知______（只需填序號(hào)），函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及其在上的最值．【答案】(1)；(2)，最小值為，最大值為2.【分析】（1）選條件①：根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可；選條件②：根據(jù)兩角和的正弦公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合整體思想進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）選條件①：，又由函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，可知函數(shù)最小正周期，∴，∴．選條件②：，又函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，，所以可得最小正周期，∴，∴；（2）由（1）知，由，解得，∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為．由，從而,故在區(qū)間上的最小值為，最大值為2．.20．（2022·福建福州·高一期末）已知函數(shù).(1)求其最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】(1)最小正周期為(2)【分析】（1）先用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，利用求出最小正周期；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，使用整體法求解三角函數(shù)的值域.（1）依題意，，則所以，函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，因，則，，，所以函數(shù)的值域?yàn)?21．（2022·江蘇蘇州·高一期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換整理化簡(jiǎn)，根據(jù)題意代入整理得，結(jié)合角的范圍求解；（2）根據(jù)題意代入整理，以為整體運(yùn)算求解，注意根據(jù)角的范圍判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．【詳解】（1）因?yàn)?所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所以，解?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?所以，又，所以.因?yàn)椋?，所?22．（2022·北京師大附中高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間［0，］上的最值.【答案】(1)（kZ）(2)最大值為1，最小值為-.【分析】（1）由三角函數(shù)降冪公式與二倍角公式，根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為單角三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；（2）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）=.因?yàn)閥＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ），令（kZ），得（kZ）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（kZ）.（2）因?yàn)閤∈［0，］，所以2x＋.當(dāng)2x＋=，即x＝時(shí)，最大值為1，當(dāng)2x＋=，即x＝時(shí)，最小值為-.【能力提升】一、單選題1．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式求解即可.【詳解】，則，故選：D.2．（2022·浙江·杭十四中高一期末）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由題意，利用換元思想，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】令，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取的最大值，且最大值是.故選：D.3．（2022·江蘇南通·高一期末）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二倍角公式、誘導(dǎo)公式，由即可轉(zhuǎn)化求值【詳解】．故選：A4．（2022·陜西師大附中高一期中）已知函數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)并比較a,b的表達(dá)式，可得答案.【詳解】由題意得，故，，故，故選：C5．（2022·湖北黃石·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將化為，利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)求值，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.二、多選題6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變，再把所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】先化簡(jiǎn)，再經(jīng)過圖象變化得到，得到周期和最大值，再結(jié)合即可得到答案【詳解】解：，先將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，再將所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，故其最小正周期，，要使，則，結(jié)合選項(xiàng)知，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n＝2時(shí)，，故選：AD．7．（2022·湖北黃石·高一期末）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為2 B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABC【分析】將解析式經(jīng)過恒等變換后化為，再對(duì)其性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以的最大值?，故A正確.最小正周期是，故B正確.將代入，可得，則其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確.當(dāng)時(shí)，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．故D錯(cuò)誤.故選:ABC.8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．圖象的對(duì)稱中心為B．圖象的對(duì)稱軸方程為C．的增區(qū)間為D．的最大值是，最小值是【答案】ACD【分析】利用輔助角公式可化簡(jiǎn)得到；利用整體代換法可求得的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸和單調(diào)增區(qū)間，對(duì)比選項(xiàng)可知ABC正誤；根據(jù)正弦型函數(shù)值域可求得值域，可知D正確.【詳解】；對(duì)于A，令，解得：，此時(shí)，的對(duì)稱中心為，A正確；對(duì)于B，令，解得：，的對(duì)稱軸為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，解得：，的增區(qū)間為，C正確；對(duì)于D，，，最大值是，最小值是，D正確.故選：ACD.三、填空題9．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是___________．①函數(shù)的最小正周期為

②時(shí)，取得最大值③在上單調(diào)遞增

④的對(duì)稱中心坐標(biāo)是【答案】①③【分析】利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期、最值點(diǎn)、單調(diào)性和對(duì)稱中心的求法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】；對(duì)于①，的最小正周期，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不取最大值，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，③正確；對(duì)于④，令，解得：，此時(shí)，的對(duì)稱中心為，④錯(cuò)誤.故答案為：①③.10．（2022·山東臨沂·高一期末）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則______.【答案】【分析】根據(jù)，，求得，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，所以，故答案為?11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】利用換元令，整理得，分類討論和數(shù)形結(jié)合分析處理.【詳解】設(shè)，所以．所以對(duì)任意，不等式恒成立，所以對(duì)任意，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式不是恒成立；當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾，所以舍去；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，如圖所示：所以．綜合得．故答案為：.12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則___________.【答案】-1【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式化簡(jiǎn)可得到或，然后結(jié)合角的范圍分兩種情況求解,即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即?當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，故不符合題意，應(yīng)舍去，綜合以上，故答案為：-113．（2022·山東東營(yíng)·高一期末）已知圓心角為的扇形的半徑為，是弧上一點(diǎn)，作矩形，如圖所示這個(gè)矩形的面積最大值為__________．【答案】【分析】本題考查解三角在平面幾何的應(yīng)用，由三角形的知識(shí)易得，由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)的最值可得答案．【詳解】解：設(shè)，扇形的半徑為，圓心角為，所以，，所以矩形面積，，；當(dāng)即即為弧的中點(diǎn)時(shí)，取最大值.故答案為：.四、解答題14．（2022·貴州六盤水·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)圖象依次求得的值.（2）根據(jù)圖象變換的知識(shí)求得，化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得正確答案.【詳解】（1）由圖可知，，，，，所以，所以.（2）函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，，，，所以，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.15．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，(1)化簡(jiǎn)；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)的解析式.（2）利用平方的方法求得正確答案.【詳解】（1），，，，所以，.（2），，兩邊平方得，.16．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再由周期公式可得周期，由可解得遞增區(qū)間；（2）由可得，進(jìn)而得，則，即可求解【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期為，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.17．（2022·天津南開·高一期末）已知函數(shù)(1)求的最小正周期和對(duì)稱中心;(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值【答案】(1)，；(2)；(3)當(dāng)時(shí)，最大值為．【分析】（1）利用二倍角降冪公式、輔助角公式可得出，利用周期公式可計(jì)算出函數(shù)的最小正周期，解方程可得出函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）由，計(jì)算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為.由，可得，函數(shù)的對(duì)稱中心為；（2）解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為．18．（2022·天津南開·高一期末）已知.(1)求的值(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（2）由平方關(guān)系求得，再根據(jù)二倍角得余弦公式即可得解；（2）由（1）求得，再根據(jù)兩角差得正切公式即可得解.（1）解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以；?）解：由（1）得，所以，所以.19．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函數(shù).設(shè)，.(1)求的最小正周期；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到答案；（2）利用得到，結(jié)合的范圍求出，由即可求得答案（1），所以的最小正周期為；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?0．（2022·江蘇南通·高一期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。敬鸢浮?1)，；(2)【分析】（1）結(jié)合二倍角公式，商數(shù)關(guān)系