蒙特卡洛方法在高分子材料中的應(yīng)用課件

第六章高分子科學(xué)中的MonteCarlo方法

MonteCarlo方法——一個十分獨特的名字Monte-Carlo,MonacoMonteCarlo原為地中海沿岸Monaco的一個城市的地名，氣候溫和，景色怡人，人口不到一萬，是世界聞名的大賭場。將MonteCarlo作為一種計算方法的命名固然已經(jīng)賦予了新的內(nèi)容。然而，顧名思義，MonteCarlo方法的隨機抽樣特征在它的命名上得到了反映。第六章高分子科學(xué)中的MonteCarlo方法Mon1MC方法的發(fā)展歸功于核武器早期工作期間LosAlamos（美國國家實驗室中子散射研究中心）的一批科學(xué)家。vonNeumann,Metropolis,Ulam和Kahn等人在電子計算機上對中子行為進行隨機抽樣模擬，通過對大量中子行為的觀察推斷出所要求算的參數(shù)。LosAlamos小組的基礎(chǔ)工作刺激了一次巨大的學(xué)科文化的迸發(fā)，并鼓勵了MC在各種問題中的應(yīng)用。學(xué)術(shù)界一般將Metropolis和Ulam在1949年發(fā)表的論文作為MonteCarlo方法誕生的標(biāo)志。MC方法的發(fā)展歸功于核武器早期工作期間LosAlamos（26.1MonteCarlo方法的基本思想MonteCarlo方法在數(shù)學(xué)上稱其為隨機模擬(randomsimulation)方法、隨機抽樣(randomsampling)技術(shù)或統(tǒng)計試驗(statisticaltesting)方法．它的最基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理及化學(xué)等問題，建立一個概率模型或隨機過程，使它的參數(shù)等于問題的解；當(dāng)所解的問題本身屬隨機性問題時，則可采用直接模擬法，即根據(jù)實際物理情況的概率法則來構(gòu)造MonteCarlo模型；然后通過對模型或過程的觀察抽樣試驗來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征，最后給出所求解的近似值。在高分子科學(xué)中的MonteCarlo模擬主要采用直接模擬方法。6.1MonteCarlo方法的基本思想MonteC3MonteCarlo方法的突出特點是，它的解是由試驗得到的，而不是計算出來的。其程序結(jié)構(gòu)簡單，解題時受問題條件限制的影響較小，具有廣泛的適應(yīng)性。但不能解決精確度要求很高的問題。蒙特卡洛方法需要大量的隨機數(shù)，計算量很大，人工計算需耗費大量的時間，利用計算機可大大減少計算時間，增加試驗次數(shù)以提高計算精度，因此，蒙特卡洛方法的廣泛應(yīng)用與計算機技術(shù)的發(fā)展是不可分割的。MonteCarlo方法的突出特點是，它的解是由試驗得到的4設(shè)所要求的量x是隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)，那么用MonteCarlo方法來近似確定x的方法是對ξ進行N次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生相互獨立的ξ值的序列ξl，ξ2，…，ξN，并計算其算術(shù)平均值：根據(jù)Kolmogorov的大數(shù)定理則有：即當(dāng)N充分大時，成立的概率等于1，亦即可以用作為所求量x的估算值。設(shè)所要求的量x是隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)，那么用Mont5例6-1用統(tǒng)計試驗方法求圓周率π考慮邊長為1的正方形，以其一角為圓心和邊長為半徑，在正方形內(nèi)畫一條1／4圓弧，如圖所示。在正方形內(nèi)等概率地產(chǎn)生n個隨機點(xi，yi)，i=l，2，3…，n，設(shè)n個隨機點中有k個點落在四分之一圓弧內(nèi)，顯然，當(dāng)n→∞時有以下關(guān)系成立：因而，圓周率π的估值為：例6-1用統(tǒng)計試驗方法求圓周率π在正方形內(nèi)等概率地產(chǎn)生n6判斷隨機點(xi，yi)是否位于圓內(nèi)的判別式為：用一對(0，1)隨機數(shù)Ul，U2分別模擬隨機變量的取值xi和yi，當(dāng)時，則計數(shù)器k值增1。這個判別式就是蒙特卡洛方法的概率模型。當(dāng)試驗次數(shù)n足夠大時，所得的估值的精度也隨之提高。判斷隨機點(xi，yi)是否位于圓內(nèi)的判別式為：用一對(0，7例6-2.蒲豐氏問題ComtedeBuffon(1707-1788)FrenchNeedleexperiment,1777例6-2.蒲豐氏問題ComtedeBuffon(178Buffon投針問題：平面上畫很多平行線，間距為a。向此平面投擲長為l（

l＜a）的針,求此針與任一平行線相交的概率p?？梢宰C明求出π值其中Ｎ為投計次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。Buffon投針問題：平面上畫很多平行線，間距為a。向此平面9一些人進行了實驗，其結(jié)果列于下表：一些人進行了實驗，其結(jié)果列于下表：106.2MonteCarlo方法與高分子科學(xué)MonteCarlo模擬與高分子科學(xué)結(jié)下了不解之緣是由于高分子科學(xué)本身的特點所決定的，因為在高分子科學(xué)中存在著大量可供進行MonteCarlo直接模擬的隨機性問題。如：由于聚合反應(yīng)本身的隨機性特點，高分子系綜內(nèi)各個成員之間存在著與其生成機理密切相關(guān)的特定分布，即體系中所生成的高分子鏈并非具有相同的分子量，而是存在著所謂的分子量分布問題；在多元聚合中，多元共聚物不僅具有分子量分布，而且導(dǎo)致了不同種單元在高分子鏈上的排列問題，即所謂的序列分布；在多官能團的聚合反應(yīng)中的支化和凝膠化問題；高分子鏈的熱降解和輻射降解等等，無一不是隨機性問題。6.2MonteCarlo方法與高分子科學(xué)Monte11MonteCarlo方法在現(xiàn)代高分子科學(xué)中的應(yīng)用主要具有以下特征:由于高分子凝聚態(tài)物理的發(fā)展，高分子體系的MonteCarlo研究從對單鏈的研究轉(zhuǎn)向?qū)Ω邼舛榷噫滙w系的研究。由靜態(tài)平衡態(tài)問題向動態(tài)和非平衡態(tài)問題發(fā)展也是當(dāng)前高分子MonteCarlo模擬的重要特征。高分子鏈的分子運動學(xué)，尤其是高濃度多鏈體系的分子運動問題是當(dāng)前研究的重要方面。人們對共混和嵌段共聚物的界面、高分子和液晶的界面、高分子鏈的吸附、晶態(tài)和非晶態(tài)的界面性質(zhì)和相互擴散問題開展了MonteCarlo模擬研究。高分子MonteCarlo方法的新算法也是值得研究的。MonteCarlo方法在現(xiàn)代高分子科學(xué)中的應(yīng)用主要具有以126.3隨機數(shù)與偽隨機數(shù)產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的方法可以采用物理方法和數(shù)學(xué)方法。最簡單的產(chǎn)生隨機數(shù)的物理方法是擲骰子游戲；采用電學(xué)噪聲的變化也可產(chǎn)生隨機數(shù)。但物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)的“費用”很高，且速度慢。因此，實際應(yīng)用的隨機數(shù)一般均在計算機上采用數(shù)學(xué)方法來產(chǎn)生。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的隨機數(shù)一般均采用某種確定性的表達式來實現(xiàn)，因此其并非真正的隨機，故通常稱其為“偽隨機數(shù)”。用數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生偽隨機數(shù)的優(yōu)點是因為它借助于迭代公式，所以特別適合于計算機。而且其產(chǎn)生的速度快、費用低。目前，多數(shù)的計算機均附帶有“隨機數(shù)發(fā)生器”。6.3隨機數(shù)與偽隨機數(shù)產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的方法可以采用物13用數(shù)學(xué)迭代方法產(chǎn)生的隨機數(shù)存在兩個問題：1、遞推公式和初始值a1、a2、…、ak確定后，整個隨機數(shù)序列便被唯一確定下來。即任意一個隨機數(shù)被前面的隨機數(shù)唯一確定了，不滿足隨機數(shù)相互獨立的要求。2、既然隨機數(shù)序列是用遞推公式確定的，而在計算機上所能表示的[0，1]上的數(shù)又是有限多的，因此這樣的隨機數(shù)序列就不可能不出現(xiàn)重復(fù)地?zé)o限繼續(xù)下去。這種隨機數(shù)序列出現(xiàn)周期性的循環(huán)現(xiàn)象是與隨機數(shù)的要求相矛盾的。對第一個問題不能從本質(zhì)上改變，但只要遞推公式選得好隨機數(shù)的相互獨立性是可近似滿足；第二個問題，則不是本質(zhì)的，因為用MonteCarlo方法解任何問題時，所用隨機數(shù)個數(shù)總是有限的，只要保證不超過偽隨機數(shù)序列出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的長度即可。用數(shù)學(xué)迭代方法產(chǎn)生的隨機數(shù)存在兩個問題：1、遞推公式和初始值14用數(shù)學(xué)迭代方法產(chǎn)生隨機數(shù)均存在周期現(xiàn)象，隨著迭代過程的不同，其效果也各不相同。一般滿足下列要求的產(chǎn)生方法才可被認(rèn)為是好的：(1)隨機性和統(tǒng)計獨立性要好；(2)容易在計算機上實現(xiàn)；(3)省時，存貯量?。?4)偽隨機數(shù)的周期長。用數(shù)學(xué)迭代方法產(chǎn)生隨機數(shù)均存在周期現(xiàn)象，隨著迭代過程的不同，15乘同余法乘同余法由Lehmer首先提出。由于采用乘同余法具有在計算機上容易實現(xiàn)、快速等優(yōu)點，因此乘同余法已被廣泛采用。乘同余法的迭代公式為，作為[0，1]區(qū)間上均勻分布的偽隨機數(shù)序列。（給出初始值x0及參數(shù)λ、M）當(dāng)周期很大時，可用乘同余法乘同余法由Lehmer首先提出。由于采用乘同余法具有16一個簡單的例子一個簡單的例子17上面的例子中，第一個隨機數(shù)生成器的周期長度是10，而后兩個的周期長度只有它的一半。我們自然希望隨機數(shù)的周期越長越好，這樣得到的分布就更接近于真實的均勻分布。上面的例子中，第一個隨機數(shù)生成器的周期長度是10，而后兩個18表：乘同余法的參數(shù)及周期

表：乘同余法的參數(shù)及周期19MonteCarlo方法的核心就是隨機數(shù)的使用，因此計算機模擬結(jié)果的優(yōu)劣將強烈地依賴于偽隨機數(shù)的質(zhì)量。

偽隨機數(shù)的均勻性偽隨機數(shù)的獨立性對于已經(jīng)產(chǎn)生的隨機數(shù)質(zhì)量的檢驗主要是：MonteCarlo方法的核心就是隨機數(shù)的使用，因此計算機20

偽隨機數(shù)的均勻性檢驗可用xn的矩來判別，均勻性好的隨機數(shù)序列在N→∞時應(yīng)滿足下列要求：一階矩二階矩三階矩四階矩偽隨機數(shù)獨立性檢驗一般采用χ2檢驗。

偽隨機數(shù)的均勻性檢驗可用xn的矩來判別，均勻性好的隨機數(shù)序21隨機變量的抽樣：前面討論了[0，1]均勻分布的偽隨機數(shù)的產(chǎn)生，然而在實際應(yīng)用中概率分布的形式是多種多樣的。并滿足：產(chǎn)生[0，1]隨機數(shù)r，如果條件滿足，則認(rèn)為事件Ai發(fā)生。一、從隨機事件中抽樣：假設(shè)隨機事件的出現(xiàn)概率分別為Pi

(i＝1，2，…n)。為了對隨機事件Ai進行抽樣，首先需構(gòu)造累積概率：隨機變量的抽樣：并滿足：產(chǎn)生[0，1]隨機數(shù)r，如果條件一、22例6-3.擲骰子點數(shù)的抽樣擲骰子點數(shù)X=n的概率為：選取隨機數(shù)ξ，如則在等概率的情況下，可使用如下更簡單的方法：其中［］表示取整數(shù)。例6-3.擲骰子點數(shù)的抽樣擲骰子點數(shù)X=n的概率為：23二、連續(xù)型分布的抽樣：連續(xù)型分布的一般形式如下：這里f(t)為分布的概率密度函數(shù)。如果分布函數(shù)的反函數(shù)存在，則連續(xù)型分布的一般抽樣方法是通過其反函數(shù)直接抽樣：這里r是[0，1]均勻分布的隨機數(shù)，F(xiàn)-1為F(x)的反函數(shù)。二、連續(xù)型分布的抽樣：這里r是[0，1]均勻分布的隨機數(shù)，F(xiàn)24在［a,b］上均勻分布的分布函數(shù)為：例6-4.在［a,b］上均勻分布的抽樣在［a,b］上均勻分布的分布函數(shù)為：例6-4.在［a,b25其抽樣方法為：這里r是[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)。其抽樣方法為：這里r是[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)。26MonteCarlo方法的估值精度ε與試驗次數(shù)N的平方根成反比，若精度提高10倍，則試驗次數(shù)N要增加100倍。收斂速度慢是蒙特卡洛方法的主要缺點。蒙特卡洛方法的精度估算有概率性質(zhì)，它并不斷言精度一定好于ε，而只是表明，所算精度以接近于1的概率不超過某一界限，這是蒙特卡洛方法與其它確定性誤差計算的根本區(qū)別之處。

MonteCarlo方法的估值精度ε與試驗次數(shù)N的平方根成27例6-5：中子擴散問題原子核反應(yīng)堆的壁是鉛制的，對中子起屏蔽作用。中子從反應(yīng)堆內(nèi)側(cè)進入壁內(nèi)與鉛原子發(fā)生碰撞。求出穿透鉛壁中子數(shù)的百分比，被吸收入鉛壁中子數(shù)的百分比，以及重新返回反應(yīng)堆中子數(shù)的百分比。入口鉛墻（長為3d）d例6-5：中子擴散問題原子核反應(yīng)堆的壁是鉛制的，對中子起屏蔽28解：設(shè)壁厚為常量3d，中子是垂直進入壁內(nèi)的，并設(shè)每個中子在壁內(nèi)每次走過d（平均自由程）才與鉛原子碰撞，碰撞后以隨機的方向彈射，再走過d的距離，和第二個鉛原子碰撞，如此繼續(xù)下去。最后，有三種情況（1）中子穿透鉛壁；（2）被鉛壁吸收（假定經(jīng)過8次碰撞后，沒有穿透或返回，則認(rèn)為被吸收；（3）重新返回反應(yīng)堆。解：設(shè)壁厚為常量3d，中子是垂直進入壁內(nèi)的，并設(shè)每個中子在壁29現(xiàn)在研究對中子運動的模擬：假設(shè)一個中子在壁內(nèi)處于與壁內(nèi)側(cè)距離為x的位置上與鉛原子碰撞，然后以θ角的方向彈射，那么θ是[0，2π]之間的均勻分布的隨機數(shù)。中子經(jīng)過彈射后，與壁內(nèi)側(cè)的距離x變?yōu)椋簒+dcos(2πy)若（1）x>3d

則中子穿透鉛壁（2）x<0則中子返回反應(yīng)堆（3）0≤x≤3d

則繼續(xù)下一次碰撞，重復(fù)這個過程直至中子脫離鉛壁或8次碰撞后被吸收為止。對5000個中子進行模擬的結(jié)果為：穿透26.3%；吸收22%；返回51.7%現(xiàn)在研究對中子運動的模擬：對5000個中子進行模擬的結(jié)果為：306.4MonteCarlo方法在聚合物研究中的應(yīng)用示例聚乙烯分子結(jié)構(gòu)的模擬共聚物序列分布的MonteCarlo算法高分子無規(guī)行走(randomwalks)鏈的模擬研究高濃度多鏈體系動力學(xué)的“空格擴散算法”6.4MonteCarlo方法在聚合物研究中的應(yīng)用示31聚乙烯分子結(jié)構(gòu)的模擬聚乙烯分子是由重復(fù)的(—CH2

—)單體組成的長分子鏈，由于碳原子有四個共價鍵，其空間構(gòu)型如圖所示。Flory根據(jù)統(tǒng)計力學(xué)理論，導(dǎo)出柔性分子鏈的非晶態(tài)結(jié)構(gòu)取無規(guī)線團的構(gòu)象，各高分子鏈之間可以相互貫通，它們可以纏結(jié)。該無規(guī)線團模型在70年代利用中子小角散射技術(shù)得到了證實。聚乙烯分子結(jié)構(gòu)的模擬聚乙烯分子是由重復(fù)的(—CH2—32聚乙烯分子的空間構(gòu)型在平面上的投影，可以近似地看成如圖所示的結(jié)構(gòu)。模擬程序先定義八個方向，并給出每個方向?qū)?yīng)的數(shù)值，如圖。當(dāng)分子鏈段方向為3時，其后面分子鏈的可能取向方向為2、3或4，它們在聚乙烯中是等概率的。至于下面分子鏈向哪個方向運動，可由計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)來決定。這樣就可模擬出聚乙烯的無規(guī)線團狀分子結(jié)構(gòu)。聚乙烯分子的空間構(gòu)型在平面上的投影，可以近似地看成如圖所示的33共聚物序列分布的MonteCarlo算法共聚反應(yīng)的MonteCarlo研究開展得較早，所涉及的主要問題是組成和序列分布問題，其主要目的是通過共聚產(chǎn)物的序列分布來獲得單體的活性比和鑒別不同的反應(yīng)機理。共聚反應(yīng)的MonteCarlo算法比較簡單，因此我們只是簡要地介紹其基本算法。共聚物序列分布的MonteCarlo算法共聚反應(yīng)的Mont34具有末端效應(yīng)兩元共聚反應(yīng)：末端效應(yīng)是指只有端點上的單體單元對聚合反應(yīng)的速率常數(shù)有影響。對于兩元共聚反應(yīng)的四種增長反應(yīng)可記為：由此還可定義活性比，具有末端效應(yīng)兩元共聚反應(yīng)：由此還可定義活性比，35假定，各速率常數(shù)與鏈長無關(guān)，而且引發(fā)和終止過程可忽略(一般當(dāng)高分子的鏈長很長時均可認(rèn)為引發(fā)和終止過程的影響可忽略)，則由—M1*到—M1*的轉(zhuǎn)變概率為：這里[M1]表示投料濃度，而由—M1*轉(zhuǎn)變?yōu)椤狹2*的轉(zhuǎn)變概率為：相應(yīng)地有：假定，各速率常數(shù)與鏈長無關(guān)，而且引發(fā)和終止過程可忽略(一般當(dāng)36MonteCarlo模擬程序可由如下步驟構(gòu)成:(1)設(shè)增長鏈的第一個單元為—Mi(i＝1，2)，根據(jù)[M1]、[M2]、[—M1*]、[—M2*]的濃度可計算活性比r1，r2和轉(zhuǎn)變概率pij；(2)產(chǎn)生一個單位區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)ξ。(3)因pi1+pi2＝l，故若ξ<pi1則在增長鏈上加上一個Ml單體，并認(rèn)為其生成了—M1*

。若認(rèn)為單體Ml和M2的濃度在增長過程中一直保持恒定，則轉(zhuǎn)回步驟(2)繼續(xù)進行模擬。但若認(rèn)為單體濃度是可變的，則由于Mi單體消耗了一個分子故必須重新計算濃度[Mi](i＝l，2)，然后再回到步驟(1)繼續(xù)進行模擬。MonteCarlo模擬程序可由如下步驟構(gòu)成:(1)設(shè)增37(4)若上式不滿足，即ξ＞pi1，則表明發(fā)生—M1*到—M2*的增長反應(yīng)。因此，在增長鏈上加上一個M2單體，并認(rèn)為增長鏈的端基己轉(zhuǎn)變?yōu)椤狹2*

。對于恒定濃度的情況，轉(zhuǎn)回步驟(2)，而對于非恒定濃度的情況，則計算變化后的濃度再轉(zhuǎn)回步驟(1)；(5)上述步驟一直重復(fù)，直至達到所需的鏈長或所需的單體轉(zhuǎn)化率。在模擬過程中可統(tǒng)計各感興趣的量，如鏈上Ml和M2單體的組成和序列分布等。必須指出，上述過程只模擬了一根鏈的情況。為了獲得較高的統(tǒng)計精度，可重復(fù)多條鏈后進行平均。(4)若上式不滿足，即ξ＞pi1，則表明發(fā)生—M1*到—M38采用上述MonteCarlo算法，Motoc等模擬了丙烯酸甲酯(M1)和氯丙烯(M2)的共聚反應(yīng)。他們設(shè)r1=0.08，r2=5.1，模擬所得的共聚物組成和三元組的百分?jǐn)?shù)與實驗值的比較見表。結(jié)果表明，對于該體系可近似地認(rèn)為只存在末端效應(yīng)。采用上述MonteCarlo算法，Motoc等模擬了丙烯酸39MonteCarlo模擬結(jié)果與實驗結(jié)果的比較

MonteCarlo模擬結(jié)果與實驗結(jié)果的比較40高分子無規(guī)行走(randomwalks)鏈的模擬無規(guī)行走(randomwalks，簡稱RW)鏈模型用來研究柔性高分子鏈在稀溶液中的大尺度性質(zhì)。RW鏈即所謂的自由連接鏈(freelyjointedchain，簡稱FJC)。其基本特征是：鏈中兩相鄰鍵的夾角(鍵角)可任意選擇，每個鍵的內(nèi)旋轉(zhuǎn)角也可任意取值，鏈中非直接鍵接的鏈單元與鏈單元之間不存在任何相互作用。高分子無規(guī)行走(randomwalks)鏈的模擬無規(guī)行走(41蒙特卡洛方法在高分子材料中的應(yīng)用ppt課件42以計算均方末端距＜R2＞為例，RW鏈的簡單抽樣法計算過程如下：(1)鍵向量r1的起點放在坐標(biāo)原點，并令k＝1；(2)對于其后的鍵向量通過產(chǎn)生在半徑為a(通常令a＝1)的球面上均勻分布的隨機點，并以其作為rk向量的終點以及rk+1向量的起點；(3)計算末端距向量Rk＝Rk-1+rk；(4)如果k=n，則將令Rk=R，并求R2，如果k＜n，則將k+l替代k，并返回到(2)。對于RW鏈的最基本特征是：<R2>RW∝n高分子物理：<R2>RW=n

l2以計算均方末端距＜R2＞為例，RW鏈的簡單抽樣法計算過程如下43格子鏈模型格子鏈(latticechain)模型的基本做法是將空間離散化，即鏈單元只能取空間中某些人為規(guī)定的格點(latticesite)。顯然，格子鏈在細節(jié)上與真實鏈有較大的差別，但高分子鏈的許多統(tǒng)計性質(zhì)(大尺度行為)并不依賴于鏈模型的細節(jié)。格子鏈模型格子鏈(latticechain)模型的基本做法44方格子模型是把空間離散化為一個立方點陣，即鏈單元的空間坐標(biāo)只能在這個點陣空間所定義的格點上取值。為了便于計算，通常格子的邊長取為1。因其空間維數(shù)的不同，人們給予方格子鏈以不同的名稱。在兩維空間里，人們一般稱其為方格子鏈(squarelatticechain)；在三維空間中，稱其為立方格子鏈(cubiclatticechain)。方格子模型是把空間離散化為一個立方點陣，即鏈單元的空間坐標(biāo)只45一、RW鏈的抽樣：采用直接抽樣法生成RW鏈的方法十分簡單，以兩維方格子鏈為例，可由如下幾個步驟構(gòu)成：(1)將第一個鏈節(jié)固定在坐標(biāo)原點上，并設(shè)格子的邊長為1；

(2)產(chǎn)生(0，3)整數(shù)序列的隨機數(shù)；(3)由隨機數(shù)的數(shù)值按預(yù)先規(guī)定的規(guī)則，決定下一個鏈節(jié)所達的格點。設(shè)有一鏈單元的坐標(biāo)為(x，y)，則由偽隨機數(shù)的具體數(shù)值來決定下一個鏈單元的坐標(biāo)位置；一、RW鏈的抽樣：采用直接抽樣法生成RW鏈的方法十分簡單，以46當(dāng)隨機數(shù)為0時，x+1→x；當(dāng)隨機數(shù)為l時，y+1→y；當(dāng)隨機數(shù)為2時，x-1→x；當(dāng)隨機數(shù)為3時，y-1→y；當(dāng)隨機數(shù)為0時，x+1→x；47(4)重復(fù)(2)，(3)直至所需鏈長n，記錄所需的結(jié)果，諸如最后一個鏈單元的坐標(biāo)位置rn等；(5)重復(fù)(1)~(4)直至達到所需的高分子鏈的分子數(shù)(樣本容量)M，由所生成的鏈的樣本，可計算鏈構(gòu)象統(tǒng)計的特征量，如均方末端距。這里，為樣本中第l條鏈的末端距平方，(4)重復(fù)(2)，(3)直至所需鏈長n，記錄所需的結(jié)果，諸48研究高濃度多鏈體系動力學(xué)的“空格擴散算法”為了使得格子鏈模型能更為有效地推廣到研究高濃度直至‘熔體”的高分子體系的動力學(xué)問題，陸建明和楊玉良在Larson等提出的鍵長漲落模型的基礎(chǔ)上提出了適合于研究高濃度多鏈體系動力學(xué)的“空格擴散算法”。按照鍵長漲落模型，模型鏈的鍵長允許取兩個數(shù)值，即方格子的邊長(一般取為1)和格子的對角線(邊長的√2倍)。由于鍵長的可漲落性，因此每個格點的配位數(shù)分別為8(兩維)和18(三維)。研究高濃度多鏈體系動力學(xué)的“空格擴散算法”為了使得格子鏈模型49下圖給出了典型的微松弛模式和禁阻運動模式。考慮到主要想模擬高濃度多鏈體系，因此采用空格作為算法的運動主體，具體算法可歸結(jié)為以下幾個步驟。下圖給出了典型的微松弛模式和禁阻運動模式?？紤]到主要想模擬高50在具有周期邊界條件的元胞中規(guī)則地按所需濃度排入所需鏈長的鏈，設(shè)鏈長為n，鏈的總數(shù)為N條，而少量的空格在排布中盡可能分布均勻。本文元胞大小取為LX×LY=44×44，高分子鏈長取為n=21，高分子數(shù)為N=88。鏈所占的格子分?jǐn)?shù)