非光滑型能量泛函的交替迭代算法

非光滑型能量泛函的交替迭代算法

0圖像恢復中的拉格朗日模型圖像恢復采用系統(tǒng)和噪聲模糊的圖像來恢復理想的圖像，該圖像已廣泛應用于各行各業(yè)的評估、醫(yī)學三維重建、遙感、雷達圖像和數(shù)據(jù)處理領域。在圖像恢復模型的建立上,由擬合項和正則項組成的非光滑型能量泛函正則化模型在圖像恢復模型的求解上,主要有整體處理和分開處理兩種形式。整體處理是同時利用擬合項和正則項進行算法設計。若擬合項和正則項都是光滑函數(shù),可以設計基于梯度迭代算法,牛頓迭代算法和預條件迭代算法等本文關注的是系統(tǒng)和椒鹽噪聲退化圖像的恢復問題。為降低數(shù)據(jù)處理的規(guī)模并準確描述圖像的特征,對圖像進行緊框架變換,利用變化域的系數(shù)對圖像進行處理。在模型的建立上,提出用L1圖像恢復的正態(tài)模型1.1小框架算子緊框架變換是利用一組小框架函數(shù)作為基函數(shù)用L式中,〈·,·〉表示內積,W表示緊框架變換。對ψ={ψ式中若給定對稱尺度函數(shù)ue788Ф(x)如圖1(a)所示,由式(3)構造具有兩個生成子的小框架函數(shù),如圖1(b)(c)。利用圖1小框架函數(shù)組成緊框架算子W對理想圖像u和觀測圖像g進行緊框架變換v=Wu,f=Wg。緊框架算子滿足W1.2擬合項和正則項對成像系統(tǒng)和椒鹽噪聲模糊的圖像,用L式中,E(v)=‖Av-f‖由于式(4)的擬合項和正則項都是非光滑函數(shù),模型求解很困難。為使模型容易求解,利用增廣拉格朗日乘子技術,引入輔助變量η,且v=η,將式(4)轉化為有條件約束的最優(yōu)化問題,表達式為由增廣拉格朗日原理,將有條件約束最優(yōu)化問題式(5)轉化為容易處理的無條件約束最優(yōu)化問題,表達式為2模型分解和迭代算法2.1優(yōu)解+v,婦人v最小化目標函數(shù)式(6)無法同時獲得最優(yōu)解^v,^η。最近發(fā)展起來一種變量分裂交替迭代算法引人注目1)計算v2)計算η3)更新拉格朗日乘子,表達式為2.2拉格朗日乘子法給定η式中,C表示與v無關的常數(shù)。從式(10)可知,該能量泛函是v的非光滑函數(shù),無法直接求解。為解決此問題,將光滑與非光滑部分分離,最小化表達式為式中,E式(11)的對偶表達式為式中,-D將式(15)和式(16)代入式(14),則有利用拉格朗日乘子,將式(17)有條件約束的最優(yōu)化問題轉化為無條件約束的最優(yōu)化問題,表達式為式中,拉格朗日乘子λ式(18)的互補條件為由式(20)可知,當︱v由式(21),則有將式(22)代入式(19),則有將式(23)表示成不動點的形式,則有原始解v和對偶解v*滿足極值條件對式(25)進行整理,寫成迭代形式,則有將式(24)迭代獲得的對偶解v給定v式(18)獲得極值的條件是一階導數(shù)為零,將獲得的表達式寫成迭代的形式,則有將式(28)寫成松弛迭代的形式,表達式為2.3拉格朗日乘子更新1)設置β,α≥0,η2)計算式(24)獲得對偶變量(v4)計算式(29)獲得輔助變量η5)計算式(9)更新拉格朗日乘子λ6)若‖E(v7)循環(huán)結束,輸出恢復系數(shù)v2.4迭代算法的收斂分析定理若τ<1/8,由式(24)產生的序列對偶變量3快速迭代軟閾值算法測試所用的計算機配置為:Intel(R)Core(TM)i7-4700MQCPU@2.40GHz,使用的軟件環(huán)境為MATLABR2011a,操作系統(tǒng)為Windows8。利用模擬與真實圖像進行恢復實驗。采用本文算法,快速迭代軟閾值算法采用定性與定量兩種方法分析圖像恢復算法的有效性。在定性分析上,對合成圖像,分析圖像的3維表面,若恢復圖像的3維表面與原始合成圖像的3維表面顏色接近,說明恢復算法好。對真實圖像,由于3維表面比較復雜,不利于觀察,為有利于分析,檢測恢復圖像的邊緣并對局部進行放大。在定量指標分析上用2維可分離的高斯函數(shù)生成點擴散函數(shù)式中,σ算子D采用有限前向差分進行逼近,表達式為式中,I3.1邊緣恢復效果實驗中采用的點擴散函數(shù)為圖2(a)。圖3為合成的模擬圖像,圖4為合成圖像的3維表面。圖5和圖6為不同算法恢復結果定性對比,表1為不同算法恢復獲得的定量評價指標,表2為不同算法的執(zhí)行效率。圖5(a)的視覺效果非常差,而且圖5(e)的3維表面嚴重偏離原始圖像3維表面。從文獻[2]算法恢復的圖像5(b)可知,邊緣恢復效果較差,圖5(f)的3維表面非常不規(guī)則。用文獻[5]算法恢復的圖像好于文獻[2]算法,但3維表面圖5(g)產生“毛刺”現(xiàn)象,說明邊緣恢復效果不理想。而本文算法恢復的3維表面圖5(h)與原始圖像的3維表面接近,說明恢復性能好。從圖6(a)可知,圖像視覺效果非常不理想,圖6(e)的3維表面非常不規(guī)則。文獻[2]算法恢復的圖像6(b),邊緣模糊,在平穩(wěn)區(qū)域產生斑點,導致圖6(f)的3維表面不規(guī)則。文獻[5]算法恢復圖像的3維表面圖6(g)產生“毛刺”現(xiàn)象,視覺效果好于文獻[2]算法。而本文算法恢復的3維表面圖6(h)幾乎接近原始圖像的3維表面,說明圖像恢復性能比較理想。從表1可知,用文獻[2]算法獲得RE,MAE數(shù)值最大,PSNR,SSIM數(shù)值最小,本文算法獲得的RE,MAE數(shù)值最小,PSNR,SSIM數(shù)值最大,說明本文算法恢復性最好,文獻[2]算法恢復性能最差。從表2算法執(zhí)行時間來說,本文算法的執(zhí)行效率高于其他兩種算法。3.2局部放大法仿真圖像實驗中采用的點擴散函數(shù)為圖2(b)。圖7為真實圖像,圖8—圖11為不同算法恢復結果定性對比。表3為不同算法獲得的定量評價指標,表4為不同算法的執(zhí)行效率。從定性結果來看,對于Camera圖像,用文獻[2]算法恢復效果較差,圖像的紋理幾乎全部消失,如圖8(b)。文獻[5]算法恢復效果好于文獻[2]算法,但圖8(k)可知,產生邊緣丟失現(xiàn)象,說明算法2在某種程度上抹殺圖像的邊緣。而本文算法恢復圖像的邊緣接近原始圖像的邊緣,局部放大圖8(l)。對于rose圖像,文獻[2]算法恢復圖像效果不理想,將小幅值邊緣幾乎全部抹殺,如圖9(f)和9(j)所示。文獻[5]算法恢復性能好于文獻[2]算法,但從圖9(g)和局部放大圖9(k)可知,恢復圖像產生虛假邊緣和邊緣丟失現(xiàn)象。而本文算法產生的邊緣好于文獻[5]算法,但有少許邊緣丟失。對于toy圖像,文獻[2]算法恢復效果最差,大量邊緣被抹殺,如圖10(g)“熊手”的邊緣明顯少于圖10(g)的邊緣,且“小狗”尾巴的上方的“圈”邊緣丟失,從圖10(k)可知,恢復圖像比較模糊。而用本文算法,恢復圖像邊緣幾乎與原始圖像的邊緣一致。對于panda圖像,文獻[2]算法幾乎無法恢復出原始圖像。文獻[5]算法恢復性能好于算法1,但產生虛假邊緣,如圖11(k)所示。本文算法恢復性能好于算法2,如圖11(l)。從表3定量評價結果來看,用文獻[2]算法獲得的RE、MAE最大,PSNR和SSIM數(shù)值最小,說明恢復效果最差,這與定性視覺分析效果相吻合。用本文算法獲得的RE、MAE最小,PSNR和SSIM數(shù)值最大,說明恢復效果最好。從算法執(zhí)行時間來看,本文算法的執(zhí)行效率高于其他兩種算法。這是由于文獻[2]算法是依賴梯度的一階算法,復雜度為O(ξ),ξ是像素數(shù),而文獻[5]算法是近似Lev-enbergMarquardt算法4增廣拉格朗日方程的算法提出一種圖像恢復算法,該算法能有效地恢復系統(tǒng)和椒鹽噪聲模糊的圖像。由于能量泛函正則化模型的非光滑特性,無法直接求解,通過引入輔助變量