中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：折疊問(wèn)題

WORD格式/2012年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題）專題31：折疊問(wèn)題一、選擇題1.（2012XXXX3分）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一X△ABC紙片，點(diǎn)、E分別是邊ABABC沿著DE折疊壓平，A與′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=【】．°．°．°．°【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥俊摺鳌銬E是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠′ED，∠ADE=∠′DE，∠A=∠′=75°?！唷螦ED+∠ADE=∠′ED+∠′DE=180°﹣°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣×°=150°。故選。2.（2012XXXX2分）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60，將紙片折疊，點(diǎn)、D分別落在’、’處，且’’經(jīng)過(guò)，EF為折痕，當(dāng)’F時(shí)，CFFD的值為【】A.312B.36C.2316D.318【答案】。第1頁(yè)共50頁(yè)【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱L(zhǎng)DC與′′，交于點(diǎn)，∵在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。∴∠D=180°-∠A=120°。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得∠′′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠′′F=60°?！摺洹虲D，∴∠′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°?！摺螧CM=180-∠0，∴∠CBM=180-∠∠M=30°?！唷螩BM=?！郙設(shè)CF=x，′F=DF=y，則BC=CM=CD=CF+DF=x+y∴FM=CM+CF=2x+y在Rt△′FM中，tan∠M=tan30°=DFy3FM2xy3，∴3-1xy2?！郈Fx3-1FDy2。故選。3.（2012XXXX3分）小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn)，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處，還原后，再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，這樣就可以求出67.5°角的正切值是【】．3＋1B．2＋1C．2.5D．5【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥俊邔⑷鐖D所示的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)E處，第2頁(yè)共50頁(yè)∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝°，∵還原后，再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝0452＝22.5°?！唷螰AB＝67.5°。設(shè)AB＝x，則AE＝EF＝2x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝tFB2x+xABx21。故選。4.（2012XXXX3分）如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一X△ABC紙片，點(diǎn)、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與′重合．若∠＝，則∠＋∠＝【】．150oB．210oC．105oD．75o【答案】。【考點(diǎn)】折疊的性質(zhì)，平角的定義，多邊形內(nèi)角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，∠′＝∠＝。根據(jù)平角的定義和多邊形內(nèi)角和定理，得000∠＋∠＝180－∠ADA′＋180－∠AEA′＝360ADA′＋∠AEA′）＝∠′0＋∠＝150。故選。5.（2012XXXX4分）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)、F分別在邊BC、CD上，將AB、AD分別和AE、AF折疊，點(diǎn)、D恰好都將在點(diǎn)G處，已知BE=1，則EF的長(zhǎng)為【】第3頁(yè)共50頁(yè)．32B．52C．94D．3【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理。【分析】∵正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為，∴∠C=90°，3根據(jù)折疊的性質(zhì)得：1GF=DF。設(shè)DF=x，則EF=EG＋GF=1＋x，F(xiàn)C=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－。222在Rt△EFC中，EF=EC＋FC，即（x＋1）222=2＋（－x），解得：x32。32∴DF=，EF=1＋35=22。故選。6.（2012XXXX3分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處．若AE＝5，BF＝3，則CD的長(zhǎng)是【】．7B．8C．9D．10【答案】?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥扛鶕?jù)折疊的性質(zhì)，EF=AE＝5；根據(jù)矩形的性質(zhì)，∠B=900。0在Rt△BEF中，∠B=90，EF＝5，BF＝3，∴根據(jù)勾股定理，得2222BEEFBF534?！郈D=AB=AEBE=5＋4=9。故選。7.（2012XXXX3分）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF長(zhǎng)為【】第4頁(yè)共50頁(yè)A.258cmB.254cmC.252cmD.8cm【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥吭O(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF=D′，2在Rt△AD′F中，∵AF=AD′2＋′F2222，即x=6＋（－），解得：x=254cm。故選。8.（2012XXXX3分）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為【】．8B．4．8D．6【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理。ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為22BD=22A=90°AB=ADABD=45°，∴AB=BD?cosABD=BD?cos45=222=22?！郃B=BC=CD=AD=2由折疊的性質(zhì)：′M=AM，′N(xiāo)=DN，′′=AD，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為′M+BM+BC+CN′′。故選。第5頁(yè)共50頁(yè)9.（2012XX內(nèi)江3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5點(diǎn)、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)、D分別落在矩形ABCD外部的點(diǎn)、1處，則陰影部分圖形的周長(zhǎng)【】A.15B.20C.25D.30【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形和折疊的性質(zhì)?！痉治觥扛鶕?jù)矩形和折疊的性質(zhì)，1E=AE，=AD，1F=DF，則陰影部分的周長(zhǎng)即矩形的周長(zhǎng)，2（）=30。故。10.（2012XX資3分）如圖，在△ABC中，∠＝°，將△ABC沿直MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已MN∥AB，MC＝6，NC＝23，則四邊形MABN的面積是【】．63B．123．183．243【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的【分析】連CD，交MN于，∵將△ABC沿直MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，∴MN⊥CD，且CE=DE?！??！進(jìn)N∥AB，∴CD⊥AB。∴△CMN∽△CAB?！?SCE1CMNSCD4CAB。第6共50頁(yè)∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=23，11∴SCMNCMCN6236322∴SCAB4SCMN463243?！嗨倪呅蜯ABNSCABSCMN24363183。故選。11.（2012XX黔東南4分）如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB=6，△ABF的面積是24，則FC等于【】．1B．2C．3D．4【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥坑伤倪呅蜛BCD是矩形與AB=6，△ABF的面積是24，易求得BF的長(zhǎng)，然后由勾股定理，求得AF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求得AD，的長(zhǎng)，從而求得答案：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC?！逜B=6，∴S△=121AB?BF=2××BF=24?！郆F=8。∴2222AFABBF6810。由折疊的性質(zhì)：AD=AF=10，∴BC=AD=10∴FC=BC﹣BF=10﹣。故選。12.（2012XXXX3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交于F點(diǎn)，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長(zhǎng)為【】．32．26．25．23【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)和判定，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定第7頁(yè)共50頁(yè)和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于，交BF于?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90，∴四邊形ABME是矩形?！郃E=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，∠=A=90°，∴M∵∠=BNM，∴△ENG≌△BNM（AASNG=NM∵E是AD的中點(diǎn)，E∴AE=ED=BM=CM∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM?！郌∴NM=1212CF=12?！郚G=。15∵F=3BN=BGNG=3﹣22?！郆F=2BN=5∴BCBF2CF252226。故。13.（2012XXXX3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△′DG的面積之比【】．9：4．：2．4：3．16：9【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】BF=x，則由BC=3得：CF=3，由折疊對(duì)稱的性質(zhì)得：′F=x?！唿c(diǎn)′的中點(diǎn)，2∴′C=1。在Rt△′CF中，′F2=B′C+CF，即x21(3x)2，解得：x53，即可得CF=35433。∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′∠CB′。∴Rt△DB′∽R(shí)t△CFB′。根據(jù)面積比等于相似比的平方可得：2SFC4162PCB()SBD39BDG。故。14.（2012XX3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)，沿AE將ΔABE向第8共50頁(yè)上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=【A．512B．5+12C.3D．2【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)?！痉治觥俊呔匦蜛BCD中，AF由AB折疊而得，∴是正方形。又∵AB=1，∴AF=1設(shè)AD=x，則FD=x－。∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，∴EFADFDAB，即1xx11。解得1x=15?2，2x=152（負(fù)值舍去）。經(jīng)檢驗(yàn)x1152是原方程的解。故選。15.（2012XXXX3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN．若△的面積與△CMN的面積比為1︰4，則MNBM的值為【】．2．4C．25．26【答案】?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于，由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形CDNG是矩形，又由折疊的性質(zhì)，可得四邊形AMCN是菱形，由△CDN的面積與△CMN的面積比為：4，根據(jù)等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，可得DN：CM=1：4，然后設(shè)DN=x，由勾股定理可求得MN第9頁(yè)共50頁(yè)的長(zhǎng)，從而求得答案：過(guò)點(diǎn)N作NG⊥BC于，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CDNG是矩形，AD∥BC。∴CD=NGN∠ANM=CMN。由折疊的性質(zhì)可得：AM=CM，∠AMN=CMN，∴∠ANM=AMN?！郃M=AN∴AM=CM∴四邊形AMCN是平行四邊形。∵AM=CM∴四邊形AMCN是菱形。∵△的面積與△CMN的面積比為1：4，∴DN：CM=1：。設(shè)DN=x，則AN=AM=CM=CN=xCG=x?！郆M=x，GM=3x。在Rt△CGN中，2222NGCNCG4xx15x，在Rt△MNG中，2222MNGMNG3x15x=26x，∴MN26x==26BMx。故選。16.（2012XX省3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=70°，將平行四邊形折疊，使點(diǎn)C分別落在點(diǎn)EE都在AB所在的直線上）MNAMF】．°B．°C．°D．°【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的定義?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴AB∥CD?！吒鶕?jù)折疊的性質(zhì)可得：MN∥AE，∠=DMN，∴AB∥CD∥MN。∵∠A=70°，∴∠=DMN=A=70°。∴∠0－∠DMN－∠FMN=180－°－°=40°。故選。17.（2012XXXX3分）折紙是一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，也是每一個(gè)人從小就經(jīng)歷的事，它是一種培養(yǎng)手第10頁(yè)共50頁(yè)指靈活性、協(xié)調(diào)能力的游戲，更是培養(yǎng)智力的一種手段．在折紙中，蘊(yùn)涵許多數(shù)學(xué)知識(shí)，我們還可以通過(guò)折紙驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想．把一X直角三角形紙片按照?qǐng)D①～④的過(guò)程折疊后展開(kāi)，請(qǐng)選擇所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論【】．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）?！痉治觥咳鐖D②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴D如圖③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴D12∴AD=BD=CD點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。∴CD=AB的一半。故選。二、填空題1.（2012XX市4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D在AC上，將△ADB沿直線BDA落在點(diǎn)EAD⊥ED的長(zhǎng)為▲．第11頁(yè)共50頁(yè)【答案】31。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊咴赗t△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴BC1AC30tanAtan30?！邔ⅰ鰽DB沿直線翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD。∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，0036090∴∠EDB=∠ADB=20=135?！唷螩DB=∠EDB﹣∠5－°=45°。∵∠C=90°，∴∠CBD=∠5?！郈D=BC=1∴DE=AD=ACCD=31。2.（2012XXXX、XX4分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝°．∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是▲．【答案】°。【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)。OBC＝°，以及∠OBC＝∠OCB＝°，再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，進(jìn)而求出即可：第12頁(yè)共50頁(yè)連BO，∵AB＝AC，是∠BAC的平分線，∴AO是BC的中垂線?！郆O＝CO?！摺螧AC＝°，∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)，∴∠OAB＝∠OAC＝°?！叩妊鰽BC中，＝AC，∠BAC＝°，∴∠ABC＝∠ACB＝°?！唷螼BC＝°－°＝°。∴∠OBC＝∠OCB＝°?！唿c(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO?！唷螩EF＝∠FEO＝（180－×40－×400）÷＝°。3.（2012XX5分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)，F(xiàn)分別在BC，上，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)′處，又將△CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB′與的交點(diǎn)′處BC：AB的為▲?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)?！痉治觥窟BCC′，∵將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)′處，又將△CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB′與AD的交點(diǎn)′處,∴EC=EC′，∴∠EC′C=∠ECC′，∵∠DC′C=∠ECC′，∴∠EC′C=∠DC′C.∴CC′是∠EC'D的平分線。∵∠CB′′∠D=90°，′C=C′，∴△CB′′≌△CDC′（AASCB′=CD。又∵AB′=AB，∴′是對(duì)角線AC中點(diǎn)，即AC=2AB?！唷螦CB=30°。∴tan∠ACB=tan30°=AB1BC3?！郆CAB=3。第13共50頁(yè)4.（2012XXXX5分）如圖，將正方形ABCD沿BE對(duì)折，使點(diǎn)A落在對(duì)角BD上的′處，′，則∠BA′C=▲度．【答案】67.5。【考點(diǎn)】折疊問(wèn)題，折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角定?！痉治觥坑烧郫B的對(duì)稱和正方形的性質(zhì)，△ABE≌△′BE，∴∠BEA′=67.50，△′DE是等腰直角三角形。AE=A′E=A′D=x，則ED=2x。CD=y，則BD=2y?！郋D2xBD2y==，==2?！郃DxCDyEDBD=ADCD。又∵∠EDA′∠′DC=450，∴△EDA′∽△′DC?！唷螪A′C=∠DEA′=67.50＋450=112.50=112.5?！唷螧A′C=1800－112.50－112.50=67.5。5.（2012XX宿3分）如圖，將一X矩形片ABCD沿EF折疊，使頂點(diǎn)，D分別落在點(diǎn)’，’處，’E交AF于點(diǎn)G.若∠CEF=70°，則∠GFD’=▲°.【答案】40。【考點(diǎn)】折疊問(wèn)題矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠DFE=∠’FE。∵ABCD是矩形，∴AD∥BC?！唷螱FE=∠CEF=70°，∠DFE=180－∠CEF=110°?！唷螱FD’∠’FE－∠0－°=40°。6.（2012XX3分）如圖,在△ABC中，D,、E分別是AB、AC的中點(diǎn),∠B=50°o.第14共50頁(yè)現(xiàn)將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在平面內(nèi)的點(diǎn)為1,則∠BDA1的度數(shù)為▲°.【答案】80?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行的性質(zhì)?！痉治觥俊摺分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC（三角形中位線定理）?！唷螦DE=∠B=50°（兩直線平行，同位角相等）。又∵∠ADE=∠ADE（折疊對(duì)稱的性質(zhì)），∴∠A1DA=2∠。∴∠BDA=180°－∠B=80°。7.（2012XXXX3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果AB2BC3，那么tan∠DCF的值是▲．【答案】52。【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AB＝CD，∠＝°，∵將矩形ABCD沿折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，∴CF＝BC，∵AB2BC3，∴CD2CF3?！嘣O(shè)CD＝2x，CF＝3x，∴DF5x522DF=CFCD5x?！鄑an∠DCF＝=CD2x2。8.（2012XX荊州3分）如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為▲第15頁(yè)共50頁(yè)【答案】。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的對(duì)稱性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理。ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為22BD=22A=90°AB=ADABD=45°，∴AB=BD?cosABD=BD?cos45=222=22?！郃B=BC=CD=AD=2由折疊的性質(zhì)：′M=AM，′N(xiāo)=DN，′′=AD，∴圖中陰影部分的周長(zhǎng)為′M+BM+BC+CN′′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=89.（2012XXXX3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿折疊，使點(diǎn)B落在斜邊AC上，若AB=3，BC=4，則BD=▲．【答案】32?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）。1052629【分析】如圖，點(diǎn)E是沿AD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，∴2222AC=AB+BC3+45?！郋C=AC﹣AE=5﹣3=2。設(shè)x則CD=BC﹣BD=4﹣x，在Rt△CDE中，CD4﹣x）=EC2+ED=EC2+ED2=x2+4，解得：x=3232?！郆D=。10.（2012XX達(dá)州3分）將矩形紙片ABCD，按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)、點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線BD第16頁(yè)共50頁(yè)上，得到菱形BEDF.若BC=6，則AB的長(zhǎng)為▲.【答案】23?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊的性質(zhì)，菱形和矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)BD與EF交于點(diǎn)。1∵四邊形BEDF是菱形，∴OB=OD=2BD?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠C=90°。設(shè)CD=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：OB=OD=CD=x即BD=2x，在Rt△中，BC+CD2=BD，即2+x2（2x）+CD2=BD，即2+x2（2x），解得：x=23。∴AB=CD=23。11.（2012XX黔西南3分）把一X矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EFAB＝3cmBC＝5cmDEF的面積為▲cm2?！敬鸢浮?110?！究键c(diǎn)】折疊問(wèn)題，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】設(shè)ED=x，則根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，得′E=AE=5－x，′3根據(jù)勾股定理，得222EDAEAD，即222x5x3，解得x175。11751∴DEFS3=2510（cm20012.（2012XX省5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，BC=3，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、CD作DE⊥BC交AB邊于點(diǎn)，將∠B沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在射線BC上的點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為▲第17頁(yè)共50頁(yè)【答案】1或2。13.（2012XXXX3ABC紙片的一角沿DE向下翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′點(diǎn)處，且DE∥BC，下列結(jié)論：①∠AED＝∠；②ADAEDBEC；③BC=2DE；④四邊形ADAESBDASEAC。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是▲個(gè)。第18頁(yè)共50頁(yè)【答案】?！究键c(diǎn)】折疊問(wèn)題，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，三角形中位線定理，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥竣佟逥E∥BC，∴根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠AED＝∠?！啖僬_。②∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A′D=AD，A′E=AE?！逥E∥BC，∴根據(jù)兩直線分線段成比例定理，得ADAEDBEC?！郃DAEDBEC。∴②正確。③連AA′，∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，A，A′關(guān)于DE對(duì)稱?！郃A′⊥DE。∵DE∥BC，∴AA′⊥BC?！逜′D=AD，∴∠DAA′＝∠DA′。∴∠DBA′＝∠DA′?！郆D=A′?！郆D=AD?！郉E是△ABC的中位線?！郆C=2DE?！啖壅_。④∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE。1∵由③BC=2DE，∴SADESABC4。1∵根據(jù)折疊對(duì)稱的性質(zhì)，△ADE≌△′DE?！嗨倪呅蜛DAESABC。2∴1SS=SBDAEACABC2，即四邊形ADAESBDASEAC。∴④正確。綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)是4個(gè)。14.（2012XX3分）長(zhǎng)為20，寬為a的矩形紙片（10＜a＜20），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作停止當(dāng)n=3時(shí)，a的為▲.【答案】12或15。第19共50頁(yè)【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），正方形和矩形的性質(zhì)，剪紙問(wèn)題，分類歸納（圖形的變化【分析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬。當(dāng)＜＜20時(shí)，矩形的長(zhǎng)為，寬為，所以，第一次操作時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為20－，。第二次操作時(shí)，由20－a＜a可知所得正方形的邊長(zhǎng)為20－，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為－，a－（20－）=2a－20。∵（－）－（2a－20）=40－3a，∴－a與2a－20的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論。第三次操作時(shí)，①當(dāng)20－a＞－20時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為2a－20，此時(shí)，20－a－（2a－20）=40－3a，∵此時(shí)剩下的矩形為正方形，∴由40－－20得a=12。①當(dāng)2a－＞20－a時(shí)，所得正方形的邊長(zhǎng)為20－2a－2020－）=3a－40，∵此時(shí)剩下的矩形為正方形，∴由3a－－a得a=15。故答案為12或15。15.（2012XXXX、XX、大興安嶺、雞西3分）如圖所示，沿DE折疊長(zhǎng)方形ABCD的一邊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F處，若AD=8，且△AFD的面積為60DEC的面積為▲【答案】2898?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理。【分析】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，8CD=AB?！摺鰽FD的面積為，即12AD?AF=60解得：AF=15。第20頁(yè)共50頁(yè)∴DFAD2AF28215217。由折疊的性質(zhì)，得：CD=CF=17?！郃B=17?！郆F=AB－AF=17－15=2。CE=x，EF=CE=x，BE=BC－CE=8－x，在Rt△BEF中，EF=BF2＋BE，即2＋（8－）=BF2＋BE，即2＋（8－），解得：x=17417，即CE=4，∴△的面積：121CD?CE=2××17289=48。三、解答題1.（2012XX市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（11，0（，6PBC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)、C點(diǎn)、P折疊該紙片，得點(diǎn)′和折痕OP．BP=t．0（Ⅰ）如圖①，當(dāng)∠BOP=30時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，經(jīng)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直P(pán)B′上，得點(diǎn)′和折痕PQ，若AQ=m，試用含t的式子表示；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)′恰好落在邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)即【答案】0，OB=6。在Rt△中，由∠0，BP=t，得OP=2t?！逴P=OB+BP，即（2t）=OB+BP，即（2t）2+t，解得：t1=23，t2－23∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（23，6（Ⅱ）∵△OB′、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，∴△OB′≌△OBP，△QC′≌△QCP。∴∠OPB′∠OPB，∠QPC′∠QPC。∵∠OPB′∠OPB+∠QPC′∠QPC=180，∴∠OPB+∠QPC=90?！摺螧OP+∠0，∴∠BOP=∠CPQ。第21共50頁(yè)又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OBBPPCCQ。由題意BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，PC=11－t，CQ=6－．∴6t11t6m?！鄊1t211t666（＜t＜11（Ⅲ）點(diǎn)P的坐標(biāo)（11133，）或（11+133，6【考點(diǎn)】翻折變換（折疊題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。0，OB=6，在Rt△OBP中，由∠0，BP=t，得，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，可知△OB′≌△OBP，△QC′≌△QCP，易證得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成即可求得答案。P作PE⊥于PC′∽△′QA，由勾股定理可求得′Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成1112mtt666，即可求得t的值：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于，∴∠PEA=∠QAC′=90°?！唷螾C′E+∠EPC′=90°。∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′∠QC′?！唷鱌C′∽△′QA?！郟EPCACCQ。∵PC′=PC=11－t，6AQ=m，′Q=CQ=6，∴ACCQ2AQ23612m。611t∴。3612m6m∵6t11t6m，即611tt6m，∴6=6t3612m，即3612m=t2。將m1t211t666代入，并化，得23t22t360得：111311+13t，t。1233∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（11133，6）或（11+133，2.（2012XX省11分）如圖（ABCD中，把∠、∠D分別翻折，使點(diǎn)、D分別落在對(duì)角BC上的點(diǎn)、F處，折痕分別CM、AN.第22共50頁(yè)（）求證：△AND≌△CBM.（）請(qǐng)MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？（Q是矩形的邊CDAB上的兩點(diǎn)，PQCQMN（若PQ=CQPQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長(zhǎng).【答案】（）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠，AD=BC，AD∥BC。∴∠DAC=∠BCA。又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=BCM，∴∠DAN=∠BCM?！唷鰽ND≌△CBM（ASA（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴M又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，M∴FN=EM。又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠=MEC，∴FN∥EM?！嗨倪呅蜯FNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=B=90，∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM?！郌M＞EM?！嗨倪呅蜯FNE不是菱形。（）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。DN=x，則由△ADC=S△AND＋S△NAC得3x＋5x=12，解得x=323，即DN=BM=2。過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于，則HM=4－。在△NHM中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得NM=10。∵PQ∥MN，DC∥AB，第23共50頁(yè)∴四邊形NMQP是平行四邊形?！郚P=MQPQ=NM=10。又∵PQ=CQ∴CQ=10。在△CBQ中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。1∴NP=MQ=2?！郟C=4－32－12?！究键c(diǎn)】翻折問(wèn)題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。1）由矩形和翻折對(duì)稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AND≌△CBM。（2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。3（3）DN=x，則由△ADC=S△AND＋△NAC可得DN=BM=2。過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于，則由勾股定理可得NM=10，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和知PQ=CQ，即可求得CQ=10。因此，在△CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。3.（2012XX9分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．把△沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在′處，BC′交AD于點(diǎn)；、F分別是′D和BD上的點(diǎn)，線EF交AD于點(diǎn)，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在′處，點(diǎn)′恰好與點(diǎn)A重合．（1）求證：△ABG≌△′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的長(zhǎng)．1）證明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠0，′D=AB=CD∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。在△ABG≌△′DG中，∵∠BAG=∠，AB=′，∠ABG=∠AD′，∴△ABG≌△′DG（ASA（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△′DG，∴GD=GB∴AG+GB=ADAG=x，則GB=8x，第24共50頁(yè)+AG=BG2+x=（﹣x）22在Rt△中，∵AB，即6，解得x=74。7∴tanABGAG47AB624。12（）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=AD=4?！遲an∠ABG=tan∠ADE=724?！郉724=4×77=246。∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，∴HF是△ABD的中位線。∴HF=1212AB=×6=3。725∴EF=EH+HF=+3=66?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理。1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠0，′D=AB=CD∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論。（2）由（）可知GD=GB故AG+GB=AD設(shè)AG=x，則，在Rt△中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)，從而得出tan∠ABG的值。12（3AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分ADHD=AD=4tan∠ABG的值即可得出EH的長(zhǎng)，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長(zhǎng)，由EF=EH+HF即可得出結(jié)果。4.（2012XXXX8分）如圖，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)、交BC于點(diǎn)，連接AF、CE.(1)求證：四邊形AFCE為菱形；(2)設(shè)AE=a，ED=b，DC=c.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。由折疊的性質(zhì)，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。第25頁(yè)共50頁(yè)∴CF=CE。∴AF=CF=CE=A∴四邊形AFCE為菱形。222（2）解：、b、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a=b+c。理由如下：由折疊的性質(zhì)，得：CE=AE?！咚倪呅蜛BCD是矩形，∴∠D=90°?！逜E=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a在Rt△中，CE2=CD2+DE2，∴、、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式可寫(xiě)為：a2=b2?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平等的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理。1）由矩形ABCD與折疊的性質(zhì)，易證得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可證得AF=CF=CE=AE即可得四邊形為菱形。（2）由折疊的性質(zhì)，可得CE=AE=a，在Rt△中，利用勾股定理即可求得：、、c三者之間的數(shù)量關(guān)系式為：a=b+c25.（2012XXXX9分）已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在弧ABAOP沿對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)點(diǎn)C恰好落在⊙O上．（1）當(dāng)、C都在AB上方時(shí)（如1與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如2）中結(jié)論還成立嗎？證明的結(jié)論；（3）當(dāng)、C都在AB上方時(shí)（如3C點(diǎn)作CD⊥直線AP于，且是⊙O的切線，證明：AB=4PD．【答案】）與BC的位置關(guān)系是PO∥BC。（1）中的結(jié)論P(yáng)O∥BC成立。理由為：由折疊可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。第26共50頁(yè)又∵OA=OP∴∠A=∠APO?！唷螦=∠CPO。又∵∠A與∠PCB都為PB所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠PCB。∴∠=PCB。∴PO∥BC。（）證明：∵CD為圓O的切線，∴OC⊥CD。又∵AD⊥CD，∴OC∥AD?！唷螦PO=∠COP。由折疊可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。又∵OA=OP∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP?！唷鰽PO為等邊三角形。∴∠0。又∵OP∥BC，∴∠=0。又∵OC=OB∴△BC為等邊三角形?！唷螩OB=60。∴∠POC=180﹣（∠AOP+∠COB）=60°。又∵OP=OC∴△POC也為等邊三角形?！唷螾CO=60，PC=OP=OC又∵∠OCD=90，∴∠0。1在Rt△中，PD=2PC，1又∵PC=OP=214AB，∴PD=AB，即AB=4PD?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，平行的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。第27頁(yè)共50頁(yè)6.（2012XXXX12分）如圖1，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A作高AD，將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)（如圖2EF為折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再將△BED和△CFD沿它們各自的對(duì)稱軸EH、FG折疊，使、C兩點(diǎn)都與點(diǎn)D重合，得到一個(gè)矩形EFGH（如圖形EFGH為△ABC的邊BC上的折合矩形．（）若△ABC的面積為，則折合矩形EFGH的面積為；（）如圖4，已知△ABC，在圖4中畫(huà)出△ABC的邊上的折合矩形EFGH；（）如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC邊上的高AD=，正方形EFGH的對(duì)角線長(zhǎng)為．【答案】）。第28頁(yè)共50頁(yè)（2）作出的折合矩形EFGH：（3）2a；2a。【考點(diǎn)】新定義，折疊問(wèn)題，矩形和正方形的性質(zhì)，勾股定理。1）由折疊對(duì)稱的性質(zhì)，知折合矩形EFGH的面積為△ABC的面積的一半，（2）按題意，作出圖形即可。（3）由如果△ABC的邊BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，正方形邊長(zhǎng)為a，BC邊上的高AD為EFGH邊長(zhǎng)的兩倍。根據(jù)勾股定理可得正方形EFGH的對(duì)角線長(zhǎng)為2a。7.（2012XXXX13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)′落在線段上，再打開(kāi)得到折痕EF．（1）當(dāng)′與B重合時(shí)（如圖EF=；當(dāng)折痕EF過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖2段EF的長(zhǎng)；（2）觀察圖3和圖，設(shè)BA′，①當(dāng)x的取值X圍是時(shí)，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．【答案】解：(1)5。由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知′5∠A=∠EA′D=900。在Rt△′DC中，2∴22AC534。第29頁(yè)共50頁(yè)∴′B=BC－′C=5－4=1。∵∠EA′＋∠BEA′∠EA′＋∠FA′C=900，∴∠BEA′∠FA′。0又∵∠B=∠C=90，∴Rt△EBA′∽R(shí)t△′CF?！郃EABAFFC，即AE153∴AE53。在Rt△′EF中，2225510EFAEAD2593。（2）①3x5。②證明：由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)∠AEF=∠FEA′，AE=A′，AF=A′。又∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEA′?！唷螦EF=∠AFE?！郃E=AF?！郃E=A′E=AF=A′?！嗨倪呅蜛EA′F是菱形?！究键c(diǎn)】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥?1)根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，當(dāng)′與B重合時(shí)（如圖EF=AD=5。根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，以及勾股定理求出′、′F和FC的長(zhǎng)，由Rt△EBA′∽R(shí)t△′CF求得AE53，在Rt△′EF中，由勾股定理求得EF的長(zhǎng)。（）①由圖3和圖4可得，當(dāng)3x5時(shí)，四邊形AEA′F是菱形。②由折疊和矩形的性質(zhì)，可得AE=A′，AF=A′。由平行和等腰三角形的性質(zhì)可得AE=AF。從而AE=A′E=AF=A′。根據(jù)菱形的判定得四邊形AEA′F是菱形。8.（2012XXXX8分）如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一X正的紙ABCD，先折出BC的中點(diǎn)，再折出線AEEB落到線EAB的新位置EB′=EB似地，在AB上折出點(diǎn)″使AB″=AB′．這是″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請(qǐng)你證明這結(jié)論．第30共50頁(yè)【答案】證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，E為的中點(diǎn)，∴BE=1?！郃EAB2BE25。又′E=BE=1，∴AB′=AE﹣′E=5﹣。又∵AB″=AB′，∴AB″=5﹣1?！郃B：AB512?！帱c(diǎn)″是線段AB的黃金分割點(diǎn)?！究键c(diǎn)】翻折（折疊）問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊對(duì)稱的性質(zhì)，黃金分割?！痉治觥吭O(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)E為BC的中點(diǎn)和翻折不變性，求出AB″的長(zhǎng)，二者相比即可得到黃金比。9.（2012XX天門(mén)、仙桃、潛江、江漢油田12分）如圖，拋物線y=ax+bx+2交x軸于A（﹣，0（4，）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）點(diǎn)E在x軸上，若以，，，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)P作直線CD的垂線，垂足為，若將△沿翻折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為′．是否存在點(diǎn)，使′恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)（﹣，0（4，0）兩點(diǎn)，∴ab+2=016a+4b+2=0，解得：a=b=3212?！鄴佄锞€解析式為y1x23x222。當(dāng)y=2時(shí)，132xx2222，解得：x，x∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，第31頁(yè)共50頁(yè)（2），E兩點(diǎn)都在x軸上，AE有兩種可能：①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，∴P（，2②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE（即x軸）的距離相等，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣。代入拋物線的解析式：132xx2222，解得：3+41341xx，。1222∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+412，﹣232，﹣綜上所述：1（，2（3+412，﹣（3412，﹣2（3）存在滿足條件的點(diǎn)，顯然點(diǎn)P在直線下方。設(shè)直線PQ交x軸，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a1a23a2，22①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)（CQ=a，131322PQ=2aa2=aa2222。又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′∠′FP=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△′FP，∴QC=QP''COFQ'，即132aaa=222，解得F′=a﹣3∴OQ′=OF﹣F′=a﹣（a﹣），2222CQ=CQ'=CO+OQ'=3+2=13。此時(shí)a=13，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9+31313，2②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)（）此時(shí)＜132aa222＜，CQ=﹣a，PQ=21a23a2=1a23a2222。又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′∠′FP=90°?！唷鰿OQ′∽△′FP。第32共50頁(yè)∴Q'CQ'P=COFQ'，即132aaa22=2，解得F′=3a。∴OQ′=3，22CQ=CQ'=3+2=13。此時(shí)a=13，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（931313，2綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（9+31313，2（931313，2【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，y=2可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)。（2）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相，求解點(diǎn)P坐標(biāo)。（3P在直線下方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a1a23a2，22分情況討論，①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左時(shí)，運(yùn)用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可。10.（2012XXXX11分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點(diǎn)E為底AD上一點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A落在梯形對(duì)角線BD上的G處，EG的延長(zhǎng)線直線BC于點(diǎn)．（）點(diǎn)E可以是AD的中點(diǎn)嗎？為什？（）求證：△ABG∽△BFE；（）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，求a，，c應(yīng)滿足的關(guān)系；②在①的條件下，當(dāng)b=2時(shí)，a的值是唯一的，求∠的度數(shù)．【答案】）不可以。理由如下：根據(jù)題意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED。第33共50頁(yè)∴AE＜ED?！帱c(diǎn)E不可以是AD的中點(diǎn)。（2）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，∵由折疊知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG?！唷螮BF=∠BEF?！郌E=FB，∴△FEB為等腰三角形?！摺螦BG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（°﹣∠ABG）÷，∠FBE=（°﹣∠EFB）÷，∴∠BAG=∠FBE?！唷鰽BG∽△BFE。（）①∵四邊形EFCD為平行四邊形，∴EF∥DC?！哂烧郫B知，∠DAB=∠0，∴∠DAB=∠0。又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC。∴△ABD∽△DCB?！郃DDBDBCB?！逜D=a，AB=b，BC=c，∴BD=a2+b2∴22aa+b22a+bc=ac。，即a②由①和b=2得關(guān)于a的一元二次方程a﹣ac+4=0，由題意，a的值是唯一的，即方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0，即c﹣16=0。∵c＞，∴?！嘤蒩﹣，得。由①△ABD∽△DCB和a=b=2ABD和△DCB都是等腰直角三角形，∴∠C=45°?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊題），直角梯形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直線平行的性質(zhì)，等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式。1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞EG，從而判斷點(diǎn)E不可能是的中點(diǎn)。第34共50頁(yè)（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。（BD的長(zhǎng)度，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解。②把b=2代入、b、c的關(guān)系式，根據(jù)a是唯一的，可以判定△=c216=0，然后求出c=4，再代入方程求出，然后由①△ABD∽△DCB和a=b=2，得△ABD和△都是等腰直角三角形，得出∠C=45°。11.（2012XX株洲6分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對(duì)折，、C重合，直線MN交AC于．（1）求證：△COM∽△CBA；（2）求線OM的長(zhǎng)度．【答案】）證明：∵與C關(guān)于直線MN對(duì)稱，∴AC⊥MN?！唷螩OM=90。在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=。又∵∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA。（2）∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10。∴OC=5?！摺鰿OM∽△CBA，∴OCOMBCAB，即5OM8615。∴OM=4。【考點(diǎn)】折疊問(wèn)題，對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱得到AC⊥MN，進(jìn)一步得到∠COM=90，從而得到在矩形ABCD中∠COM=，最后證得△COM∽△CBA；（2）利用（）的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長(zhǎng)。12.（2012XXXX10分）已知：如圖，拋物線y=a（x1）+c與x軸交于點(diǎn)A1，0和點(diǎn)，將拋物線沿x軸向上翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'（，）處．第35共50頁(yè)（1）求原拋物線的解析式；（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過(guò)點(diǎn)P'作x軸的平行線交拋物線于、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“”型的班徽，“”的拼音開(kāi)頭字母為，“”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過(guò)計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比512（約等于0.618”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：52.236，62.449，結(jié)果可保留根號(hào)）【答案】）∵P與′（，）關(guān)于x軸對(duì)稱，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣∵拋物線y=a（x﹣）2+c頂點(diǎn)是（1，﹣32∴拋物線解析式為（x﹣1）﹣3?！邟佄锞€y=a（x﹣）2﹣3過(guò)點(diǎn)A1，0，2∴（13﹣1）﹣3=0，解得a=1?！鄴佄锞€解析式為（x﹣）﹣，即y=x﹣2x﹣。（2）∵CD平行x軸，′（1，3）在CD上，∴、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為。2由（x﹣1）﹣3=3，解得：x1=1，x2=1+6。∴、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為13，1+，3?！郈D=26?！唷啊眻D案的高與寬（CD）的比=36=426（或約等于0.6124【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。1）利用P與′（，）關(guān)于x軸對(duì)稱，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可。第36頁(yè)共50頁(yè)（2）根據(jù)已知求出，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出”圖案的高與（CD）的比。13.（2012XXXX12分）如圖所示，現(xiàn)一邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交于，折痕為EF，連BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明的（3）AP為x，四邊形EFGP的面為，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)明由．【答案】）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH。（）△PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)橹?。證明如下：如圖2，B作BQ⊥PH，垂足為。由（）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠0，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AASPAB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HLCH=QH∴△的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8（3）如圖3，F(xiàn)作FM⊥AB，垂足為，F(xiàn)M=BC=AB又∵EF為折痕，∴EF⊥BP?！唷螮FM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°?！唷螮FM=∠ABP。第37共50頁(yè)又∵∠A=∠0，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA∴EM=AP=x222+x=BE，即BE2+2x8∴在Rt△APE4BE）?！?xCFBEEM2+x8。又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，∴211x1122SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422?！?0<<4，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值。2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值。PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案。（）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得H因此，△PDH的周=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+C=8值。（）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE4BE）+x=BE，利用二次函數(shù)的最值求出即可。14.（2012XX6分）如圖，OABC是一X放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點(diǎn)，將紙片AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】依題意可知，折AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，2222BEADAB1086，∴CE=4，∴（4，8在Rt△DCE中，DC+CE2=DE，又∵DE=OD∴（8OD）=OD。∴OD=5?！啵?，第38共50頁(yè)【考點(diǎn)】翻折變換（折疊，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥肯雀鶕?jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，從而可得出CE的長(zhǎng)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)。在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的長(zhǎng)，從而得出D點(diǎn)坐標(biāo)。15.（2012XX威10分）（1）如圖①，ABCD的對(duì)角AC、BD交于點(diǎn)。直EF過(guò)點(diǎn)，分別交AD、BC于點(diǎn)、F求證AE=CF。（2）如圖②，ABCD（紙片）沿過(guò)對(duì)角交點(diǎn)O的直EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)1處。FB1交CD于點(diǎn)，1分別交CD、DE于點(diǎn)、I。求證?！敬鸢浮孔C明（1ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC?！唷螮AO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC∴△AOE≌△COF（AASAE=CF。（2）由（1）得，AE=CF。∵由折疊性質(zhì)，得AE=A1，∴AE=CF。∵∠A∠A=∠，∠B1∠B=∠，0－∠D－∠DHI=1800－∠B∴∠EIA1∠DIH=1801－∠BHG=∠BGH=∠FGC。在△EIA1和△中，∵∠A∠，∠EIA1∠FGC，E=CF，∴△EIA1≌△FGC（AASEI=FG?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)。第39共50頁(yè)1）要證AE=CF，只要△AOE和△COF全等即可。一方面由平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)和平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO；另一方面由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，可得C從而根據(jù)可證。（）要證EI=FG，只要△EIA1和△FGC全等即可。一方面由（）可得AE=CF；另一方面由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等的性質(zhì)，可得∠A∠EIA1∠FGC。從而根據(jù)可證。16.（2012XXXX10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，交于點(diǎn)，，AE與FG交于點(diǎn)．（1）如圖，求證：，，，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)；（3）如圖，在（）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！唷螮FG=∠EGF?！郋F=EG=AG∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG又∵AG=GE∴四邊形AGEF是菱形。（）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△的外接圓與相切于點(diǎn)，∴ON⊥BC?！唿c(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱c(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2∴AE=AB=4在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。第40頁(yè)共50頁(yè)在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴OF233。∴FG=2OF433。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。（3AE=ABRt△ADEAED為°Rt△EFO中求出FO，從而可得出的長(zhǎng)度。17.（2012XXXX10分）如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，交于點(diǎn)，，AE與FG交于點(diǎn)．（1）如圖，求證：，，，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)；（3）如圖，在（）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．【答案】）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GE∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF?！唷螮FG=∠EGF?！郋F=EG=AG∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG又∵AG=GE∴四邊形AGEF是菱形。（）連接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，△的外接圓與相切于點(diǎn)，∴ON⊥BC。第41頁(yè)共50頁(yè)∵點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，∴ON是梯形ABCE的中位線?！帱c(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（）∵OE、ON均是△AED的外接圓的半徑，∴OE=OA=ON=2∴AE=AB=4在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴OF233?！郌G=2OF433。【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題），折疊對(duì)稱的性質(zhì)，菱形的判定，梯形中位線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。1）根據(jù)折疊的性質(zhì)判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，從而結(jié)合AG=GE可得出結(jié)論。（2）連接ON，則ON⊥BC，從而判斷出ON是梯形ABCE的中位線，從而可得出結(jié)論。（3AE=ABRt△ADEAED為°Rt△EFO中求出FO，從而可得出的長(zhǎng)度。18.（2012XXXX12分）已知，紙片⊙O的半徑為，如圖1，沿弦AB折疊操作．（1）①折疊后的AB所在圓的圓心為′時(shí)，求′A的長(zhǎng)度；②如圖，當(dāng)折疊后的AB經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求AOB的長(zhǎng)度；③如圖，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．的距離之和為，求d的值；②如圖5，當(dāng)AB與不平行，折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．第42頁(yè)共50頁(yè)【答案】）①折疊后的AB所在圓′與⊙O是等圓，∴′2②當(dāng)AB經(jīng)過(guò)圓O時(shí)，折疊后的AB所在圓′在⊙O上，如圖2所示，連接′．OA．′，OB，OO′?！摺鱋O′，△OO′B為等邊三角形，∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°?！郃OB的長(zhǎng)度120241803。③如圖3所示，連接OA，OB，∵=2∴△AOB為等邊三角形。過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)，∴OE=OA?sin60°=3?！鄨A心O到弦AB的距離為3。（2）①如圖，當(dāng)折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)、交AEB于點(diǎn)，交CD于點(diǎn)、交CFD于點(diǎn)，即點(diǎn)、、、、、F在直徑EF上。∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。1根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=212PE，PG=PF。又∵EF=4，∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為：1d=PH+PG=212PE+PF=12（PE+PF）。②如圖AB與CD不平行時(shí)，四邊形是OMPN平行四邊形。證明如下：第43頁(yè)共50頁(yè)設(shè)′，″為APB和CPD所在圓的圓心，∵點(diǎn)′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)″于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱，∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)?！哒郫B后的APB與CPD所在圓外切，∴連心線′″必過(guò)切點(diǎn)?！哒郫B后的APB與CPD所在圓與⊙O是等圓，∴′P=O″P=2，∴PM=121OO″=ON，PN=2OO′=OM，∴四邊形OMPN是平行四邊形?！究键c(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，解直角三角形，三角形中位線定理。1）①折疊后的AB所在圓′與⊙O是等圓，可得′A的長(zhǎng)度。②如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到AOB的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。③如圖，連接OA．OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)，可得△AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后