數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）4-1-2 無理指數(shù)冪及其運算（分層作業(yè)）

4.1.2無理指數(shù)冪及其運算（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·河北·元氏縣第四中學(xué)高一開學(xué)考試）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴A錯誤；∵，不是同類項，∴，∴B錯誤；∵，∴C錯誤；∵，∴D正確，故選:D．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若，則＝（

）A．12 B．14 C．16 D．20【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)式的運算即可求解.【詳解】因為，所以，則，故選:B．3．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高一期末）下列各式中成立的一項（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可判斷AC選項；根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化可判斷BD選項.【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，C選項錯誤；對于D選項，，D選項正確.故選：D.4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】取，滿足，而無意義，即不能推出；若，則必有，即成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）式子的計算結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)運算法則直接計算可得結(jié)果.【詳解】.故選：D.6．（2022·北京大興·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)冪的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因為，所以，故選：B.7．（2022·北京房山·高一期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化可得結(jié)果.【詳解】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化可得.故選：A.二、多選題8．（2022·全國·高一）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】CD【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化的知識確定正確選項.【詳解】對于A選項，，所以A選項錯誤.對于B選項，，所以B選項錯誤.對于C選項，，，所以C選項正確.對于D選項，，，所以D選項正確.故選：CD9．（2022·山東棗莊·高一期末）(多選)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．)D．【答案】BD【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式確定正確選項.【詳解】A選項，由于，所以，A選項錯誤.B選項，正確，B選項正確.C選項，，C選項錯誤.D選項，，D選項正確.故選：BD10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列各組數(shù)符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，且值又相等的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】ACD【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義及運算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對于A：，故選項A正確；對于B：0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義，故選項B錯誤；對于C：，故選項C正確；對于D：，故選項D符合題意．故選：ACD．三、填空題11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡___________【答案】【分析】將根式化成指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得；【詳解】解：.故答案為：12．（2022·黑龍江·嫩江市高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知＝5，則的值為_________．【答案】23【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，利用完全平方公式即可求解.【詳解】因為＝5，所以.故答案為：2313．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，化簡：______．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的基本運算結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：，因為，，所以，所以．故答案為：.14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知,，則的值為______.【答案】47【分析】由兩邊平方得，再兩邊平方可求出結(jié)果.【詳解】由，得，即，所以，則.故答案為：.15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算：___．【答案】##0.5【分析】應(yīng)用有理指數(shù)冪的運算法則化簡求值即可.【詳解】原式.故答案為：四、解答題16．（2022·江蘇·南京市雨花臺中學(xué)高一階段練習(xí)）化簡求值：【答案】12【分析】由指數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】原式故答案為：1217．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）化簡：（1）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進(jìn)行計算；（2）先利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行化簡，再代入求值.【詳解】（1）；（2），因為，，所以.18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：（1）______；（2）______．【答案】

1

3【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可得（1）（2）計算結(jié)果.【詳解】（1）原式．（2）原式．19．（2022·江蘇·高一單元測試）（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）81；（2）6.【分析】（1）（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）原式；（2）由，而，則，故.20．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用計算器求值（結(jié)果精確到0.001）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】利用計算器，分別輸入進(jìn)行計算即可得解.(1)利用計算器得：.(2)利用計算器得：.(3)利用計算器得：.21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求得，結(jié)合平方差公式求得正確答案.（2）結(jié)合指數(shù)運算求得正確答案.（3）結(jié)合指數(shù)運算以及立方和公式求得正確答案.（1）因為，且，所以..（2）.（3）.22．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求值.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】原式.23．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】利用平方差公式先化簡目標(biāo)式，再代值計算即可.【詳解】因為，故.【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇·高一單元測試）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將已知等式條件兩邊平方可得，再將目標(biāo)式平方結(jié)合指數(shù)冪的性質(zhì)即可求值.【詳解】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選：A.2．（2022·黑龍江·高一期中）定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和等量關(guān)系，求出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：奇函數(shù)恒滿足，，即，則，即，即是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選：B．3．（2022·河南平頂山·高一期末）已知函數(shù)若，則實數(shù)的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，求出，代入即可求解.【詳解】由題意可知，，，又因為，所以，解得.故選：B.4．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】C【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個判斷即可.【詳解】A中，（），故A錯誤；B中，，故B錯誤；C中，（），故C正確；D中，（），故D錯誤．故選：C．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，則的值為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】D【分析】因為,則,可得,即可計算的值.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的轉(zhuǎn)化與化簡,屬于基礎(chǔ)題.6．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若有意義，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意得到關(guān)于x的不等式，求解不等式即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】要使有意義，需使，解得，表示為區(qū)間形式即.故選C.【點睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則，根式有意義時自變量范圍的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、多選題7．（2022·全國·高一單元測試）已知，都是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．C．為定值 D．【答案】ACD【分析】可利用奇偶性定義求出兩個解析式，A項根據(jù)奇偶性定義判斷；B項可利用解析式求解；C項利用解析式計算可求解；D項分析f(x)正負(fù)情況，化簡求解.【詳解】因為，所以，又是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，解得，.對于A，，故為偶函數(shù)，A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，所以，故D正確.故選：ACD.8．（2022·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：，故選項A正確；，故選項B錯誤；，故選項C正確；,,故選項D錯誤．故選：AC．9．（2022·全國·高一）已知函數(shù)，，對任意，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對選項A，根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)即可；對選項B，可判斷出是奇函數(shù)，即可判斷；對選項C，通過作差法比較即可；對選項D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性轉(zhuǎn)化不等式，再通過判別式即可判斷.【詳解】對選項A，，，故選項A錯誤；對選項B，，，則，故選項B正確；對選項C，不妨設(shè)，則，故，故選項C正確；對選項D，因為是奇函數(shù)，在上遞減則要使恒成立只需：只需：只需：而，故，故選項D正確故選：BCD三、填空題10．（2022·浙江溫州·高一期末）寫出同時滿足以下三個條件的一個函數(shù)＝________．①；②；③且．【答案】（答案不唯一）【分析】由題可知函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，又，∴由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)可為，函數(shù)為奇函數(shù)，，又當(dāng)時，且，，即，∴.故答案為：.【點睛】本題為開放性試題，結(jié)合奇函數(shù)的概念及冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)可為，然后證明即得.四、解答題11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)7(2)47(3)【分析】(1)將所給的等式兩邊平方，整理即可求得的值；(2)將(1)中所得的結(jié)果兩邊平方，整理即可求得的值；(3)首先利用立方差公式可得，然后結(jié)合(1)（2）的結(jié)果即可求得代數(shù)式的值.（1）將兩邊平方，得，所以．（2）將兩邊平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．12．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）已知等式兩邊同時平方即可得到的值（2）與同時平方之后，會有共同部分，整體代入即可求出的值（1），所以（2），所以；，所以13．（2022·云南臨滄·高一期中）已知函數(shù)．(1)記，已知函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)b的值；(2)求證：函數(shù)是上的減函數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)列方程去求實數(shù)b的值即可解決；（2）以減函數(shù)定義去證明函數(shù)是上的減函數(shù)即可.(1)函數(shù)的定義域為，，∵為奇函數(shù)，，所以恒成立，

即恒成立，解得，經(jīng)檢驗時，為奇函數(shù).故實數(shù)b的值為(2)設(shè)任意實數(shù)，則，

因為，所以，，即又，則

所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)．14．（2022·全國·高一課時練習(xí)）根據(jù)人教2019版必修一P87頁的13題介紹：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．題：設(shè)函數(shù)，且，(其中是常數(shù))，函數(shù)．(1)求的值，

并證明是中心對稱函數(shù);(2)是否存在點，使得過點的直線若能與函數(shù)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)代入求出的值，即可得到函數(shù)的解析式，假設(shè)存在點使函數(shù)為奇函數(shù)，即對恒成立，即可求出、的值，從而求出函數(shù)的對稱中心，即可得證；（2）設(shè)，即可得到，從而得到，即可得到的對稱中心是，從而得解；(1)∵函數(shù)，且，，∴，所以；依題假設(shè)存在點使函數(shù)為奇函數(shù)，則對恒成立，，，，，

，，對恒成立，，，∴對于存在，使函數(shù)為奇函數(shù)，∴是以為對稱中心的中心對稱函數(shù).(2)解：設(shè)，所以即，即關(guān)于對稱，又，的對稱中心是，依題意，使得過點的直線若能與函數(shù)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等，則直線必過的對稱中心，所以所求為；15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，且x，y，a均為正數(shù)，求證：.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算法則進(jìn)行化簡，即可得到結(jié)論.【詳解】，設(shè)，則，即，故成立.16．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）18；（2）.【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件及指數(shù)冪的運算法則即得；（2）由題意化簡所給的代數(shù)式，再結(jié)合條件即求.【詳解】（1）．（2）∵，，∴原式．17．（2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）計算：；（2）已知，證明：．【答案】（1）；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算即可；（2）利用作差法證明即可．【詳解】（1）原式＝．（2）證明：∵，∴，，∴，則有．18．（2022·江蘇·高一單元測試）（1）已知，化簡.（2）設(shè)，，，求的值.【答案】（1）；（2）8【分析】（1）由已知得，結(jié)合指數(shù)運算法則化簡；（2）令，，結(jié)合因式分解可得，，則，結(jié)合已知即可求值.【詳解】（1）由，得，∴.（2）令，，則，，，.∴.19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)計算；；的值；(2)結(jié)合（1）的結(jié)果，試從中歸納出函數(shù)的一般性結(jié)論，并證明這個結(jié)論；(3)求的值．【答案】(1)1；1；1；(2)；證明見解析；(3)【分析】（1）利用函數(shù)解析式代入法去求解即可解決；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，歸納出，利用函數(shù)解析式代入即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論及的值即可求得的值．（1）；；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，歸納出，證明如下：（3）由（2）可知，則20．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)解方程4x﹣2x+1﹣8＝0(2)2﹣1.【答案】(1)2(2)5【分析】（1）令，，原方程可化為，解二次方程可求，進(jìn)而可求.（2）直接由有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可.（1），令，則原方程可化為，解得，（舍去），，即.（2）.21．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）110；（2）a.【分析】結(jié)合已知條件利用指數(shù)冪的運算法則即可求解.【詳解】（1）原式．(2)原式．22．（2022·全國·高一課時練習(xí)）對于正整數(shù)a，b，c(a≤b≤c)和非零實數(shù)x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．【答案】a＝2，b＝5，c＝7.【詳解】解：∵ax＝70ω，且x，ω為非零實數(shù)，∴.同理，可得．.∴，，即，又＝＋＋，a，b，c為正整數(shù)，∴abc＝70＝2×5×7.∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝