數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）4-3-2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算（分層作業(yè)）

4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）計(jì)算：（

）A．10 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值即可.【詳解】.故選：B2．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由換底公式對(duì)原式變型即可求解.【詳解】∵,∴，∴．故選：A．二、多選題3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，由，得，所以，且，即，．故選：AB三、填空題4．（2022·廣西賀州·高一期末）___．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：；故答案為：5．（2022·云南紅河·高一期末）方程的解是_________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，可得，解得．故答案為：.6．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：________.【答案】【分析】利用換底公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：.7．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）計(jì)算：____________.【答案】1【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及換底公式運(yùn)算即可【詳解】，故答案為：18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)），則___________.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求出x即可計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，解得，所以.故答案為：四、解答題9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）利用換底公式求值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】應(yīng)用換底公式，將（1）換為，（2）換為的形式，即可求值.(1)由.(2)由.10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求證:.【答案】見解析【解析】利用換底公式，證得等式成立.【詳解】∵左邊,右邊,∴左邊=右邊,得證.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求證:.【答案】見解析【解析】利用換底公式，證得等式成立.【詳解】左邊右邊,得證.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）計(jì)算(1)(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解.（1）；（2）原式＝.13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，（，且）．(1)求的值；(2)若，，且，求的值．【答案】(1)12(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出，再根據(jù)乘法公式求出，即可得解.（1）解：由，得，，因此．（2）解：∵，∴，即，因此，于是，由知，從而，∴．14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)0(2)3(3)1【分析】（1）利用對(duì)數(shù)相加相減的運(yùn)算法則求解即可；（2）提公因式，逐步化簡(jiǎn)即可求解；（3）逐步將原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接運(yùn)算）原式．方法二：（拆項(xiàng)后運(yùn)算）原式．（2）原式．（3）原式．15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若，求的值.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化公式得到，解方程求出答案.【詳解】設(shè)，，，則，，，∴，整理得，又，，∴.故答案為：【能力提升】一、單選題1．（2022·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）空間復(fù)雜度是指一個(gè)算法運(yùn)行過程所占用的空間，根據(jù)相關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為，而中國(guó)象棋空間復(fù)雜度的上限約為（參考數(shù)據(jù)：，則下列各數(shù)中與最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求出結(jié)果．【詳解】，，，，，．故選：B二、多選題2．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，則的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的公式計(jì)算即可.【詳解】由換底公式得：，，，其中，，故故選：ABD.三、填空題3．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則的最小值為________．【答案】16【分析】由題得，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為：164．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）化簡(jiǎn)____________【答案】2【分析】結(jié)合、換底公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可【詳解】原式.故答案為：2.5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則的值為________．【答案】2022【分析】化簡(jiǎn)計(jì)算得，即得解.【詳解】解：..所以故答案為：20226．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知二次函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)______，的值為______．【答案】

【分析】對(duì)于題空①，根據(jù)開口向上的二次函數(shù)，自變量取對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的值達(dá)到最小值，解得的值；對(duì)于題空②，把的值代入表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，，即，所以，解得或（舍去），所以，故．故答案為：①；②.7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）心理學(xué)家有時(shí)用函數(shù)測(cè)定在時(shí)間t（單位：min）內(nèi)能夠記憶的量L，其中A表示需要記憶的量，k表示記憶率．假設(shè)一個(gè)學(xué)生需要記憶的量為200個(gè)單詞，此時(shí)L表示在時(shí)間t內(nèi)該生能夠記憶的單詞個(gè)數(shù)．已知該生在5min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，則k的值約為（，）______．【答案】0.021【分析】該生在5min內(nèi)能夠記憶20個(gè)單詞，將，帶入即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，所以，，所以，解得．故答案為：0.021.8．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）已知，若，則___________.【答案】8【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解．【詳解】解：由，且所以是方程的兩根，解得或，又，所以，即，又從而，且，則，．所以.故答案為：8.9．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)且，已知函數(shù)，則__________．【答案】1【分析】根據(jù)題意計(jì)算，進(jìn)而根據(jù)求解即可【詳解】，而，則；故答案為：1四、解答題10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，即可求得答案;（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合完全平方公式化簡(jiǎn)，即可求得答案;（1）;（2）.11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）、（2）結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得不等式的解集.（1）由題且，且，得且，，則，由，，化簡(jiǎn)得，則或，解得或，故不等式解集為.（2）由題，則或，解得.故不等式解集為.12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算．(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)降低了運(yùn)算的級(jí)別，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是偉大的成就．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)有很多方法．請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)如下的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果，且，，那么；(2)計(jì)算的值；(3)因?yàn)?，所以的位?shù)為4（一個(gè)自然數(shù)數(shù)位的個(gè)數(shù)，叫作位數(shù)）．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)過的對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)，判斷的位數(shù)．（注：）【答案】(1)答案見解析(2)(3)位數(shù)為6689．【分析】(1)根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的轉(zhuǎn)換證明即可；(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將真數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪的形式再化簡(jiǎn)求值，亦可通過換底公式化簡(jiǎn)求值；(3)通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式分析的值的