一道試題的講評(píng)

精品文檔-下載后可編輯一道試題的講評(píng)在2022年的高考前，我給學(xué)生進(jìn)行高考模擬卷的講評(píng).其中有一道題目的講評(píng)過(guò)程是這樣的：

老師：首先認(rèn)真審題，解題信息就在題目當(dāng)中.解題的成敗，審題是起了決定性的作用的.再看一遍題目.

題目：若對(duì)于任意角θ，都有cosθa+sinθb=1，那么下列不等式中恒成立的是（）.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1

D.1a2+1b2≥1

試題來(lái)源：本題是2022年上海普陀區(qū)模擬考試試題，是由前幾年的一道高考試題改編而成.

選題意圖（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：運(yùn)用消元的方法解決不等關(guān)系.本題可以有多種解決方法，體現(xiàn)思維的發(fā)散性和靈活性.

老師：題目當(dāng)中，條件與結(jié)論有什么異同點(diǎn)？解題的方向就是化異為同.

學(xué)生：條件與結(jié)論當(dāng)中都有字母a與b，這是共同點(diǎn)，條件是等式而結(jié)論是不等式，這是不同點(diǎn).還有條件當(dāng)中有三角函數(shù)，結(jié)論中沒(méi)有.

老師:怎么樣把三角函數(shù)消去呢？

學(xué)生：用“正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的平方和等于1”來(lái)消.（思考后，還沒(méi)有得出解決方法.）

老師：解法一：由柯西不等式(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b2+a2b2)2得：

1=(1a?cosθ+1b?sinθ)2≤(1a2+1b2)?(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2

，所以選D.

體會(huì)1：應(yīng)用“正弦與余弦平方和等于1”來(lái)消元是比較常見(jiàn)的思考，柯西不等式在上教版課本向量這一章出現(xiàn)，但是用得較少，一般同學(xué)們不熟悉.

學(xué)生：我真的就是不知道.

老師：對(duì)于課本上的知識(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清楚來(lái)龍去脈.比如柯西不等式，課本上是利用兩個(gè)向量積的模不大于模的積來(lái)證明推導(dǎo)的.

解法二：由向量模的性質(zhì)|a?b|≤|a|?｜b｜，

令a=(1a,1b)，b=(cosθ,sinθ)，那么代入上式就有

1=(1a?cosθ+1b?sinθ)2=|a?b|2≤(|a?b|)2=(1a2+1b2)?(cos2θ+sin2θ)=1a2+1b2.

體會(huì)2：向量模的性質(zhì)，是一個(gè)重要的結(jié)論，可以用來(lái)解決不等的問(wèn)題.

學(xué)生：這個(gè)看得懂，但還是不太容易想到.

老師：除了用“正弦與余弦平方和等于1”來(lái)消元外，是不是還可以用正弦函數(shù)的最大值為1來(lái)消元啊.

學(xué)生思考后，提出新的解決方案.

解法三：由三角函數(shù)輔助角公式：a?cosθ+b?sinθ=a2+b2?sin(θ+φ)，

得1a?cosθ+1b?sinθ=1a2+1b2?sin(θ+φ)≤1a2+1b2

，于是1a2+1b2≥1

，所以選D.

老師：解決得比較好.

體會(huì)3：先用三角函數(shù)輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的有界性得解.請(qǐng)繼續(xù)思考，看一看問(wèn)題的幾何背景.

解法四：由條件知：?jiǎn)挝粓A上一點(diǎn)（cosθ,sinθ）在直線1a?x+1b?y=1上，所以圓心（0，0）到直線的距離不大于1.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式也可以得出1a2+1b2≥1，所以選D.

體會(huì)4：數(shù)形結(jié)合，產(chǎn)生聯(lián)想.遇問(wèn)題要想一想它的幾何背景.

學(xué)生：還有沒(méi)有其他更加簡(jiǎn)單的方法呢？

老師：簡(jiǎn)單與不簡(jiǎn)單其實(shí)是相對(duì)的，考試的時(shí)候你能夠想到的方法就是最好的方法.

解法五：由條件知，過(guò)單位圓上一點(diǎn)(cosθ,sinθ)在兩個(gè)坐標(biāo)軸截距分別是a和b的直線是1a?x+1b?y=1

，通過(guò)作過(guò)單位圓上一點(diǎn)的切線和過(guò)接近原點(diǎn)的一點(diǎn)作與單位圓相交的直線.看兩幅圖像，觀察截距應(yīng)該滿足的條件，利用排除法，也可以得出D的結(jié)果.

體會(huì)5：作圖像，用特殊值利用排除法快速求解，是選擇題填空題常用的一種解題方法