第22章二次函數 單元綜合測試題（含解析） 2023-2024學年人教版九年級數學上冊

第第頁第22章二次函數單元綜合測試題（含解析）2023-2024學年人教版九年級數學上冊2023-2024學年人教版九年級數學上冊《第22章二次函數》單元綜合測試題（附答案）

一．選擇題（滿分30分）

1．拋物線y＝（x﹣m）2+m﹣2的對稱軸是直線x＝3，那么它的頂點坐標是（）

A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）

2．兩條拋物線y＝x2與y＝﹣x2在同一坐標系內，下列說法中不正確的是（）

A．頂點相同B．對稱軸相同

C．開口方向相反D．都有最小值

3．對于二次函數y＝2（x+1）（x﹣3），下列說法正確的是（）

A．該拋物線開口向下B．當x＞1時，y隨x的增大而減小

C．圖像的對稱軸是直線x＝﹣1D．該圖像與y軸交于點（0，﹣6）

4．小飛研究二次函數y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數）性質時得到如下結論：

①這個函數圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上；

②存在一個m的值，使得函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形；

③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2；

④當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為m≥2．

其中錯誤結論的序號是（）

A．①B．②C．③D．④

5．如果二次函數圖象的形狀與的形狀相同，且頂點坐標是（4，﹣2），那么這個函數的解析式為（）

A．B．或

C．D．或

6．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖，關于該二次函數，下列說法錯誤的是（）

A．函數有最小值B．當﹣1＜x＜3時，y＞0

C．當x＜1時，y隨x的增大而減小D．對稱軸是直線x＝1

7．關于二次函數y＝x2﹣kx+k﹣1，以下結論：①拋物線交x軸有兩個不同的交點；②不論k取何值，拋物線總是經過一個定點；③設拋物線交x軸于A、B兩點，若AB＝1，則k＝4；④拋物線的頂點在y＝﹣（x﹣1）2圖象上；⑤拋物線交y軸于C點，若△ABC是等腰三角形，則k＝﹣，0，1．其中正確的序號是（）

A．①②⑤B．②③④C．①④⑤D．②④

8．已知拋物線P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），將拋物線P繞原點旋轉180°得到拋物線P′，當1≤x≤3時，在拋物線P′上任取一點M，設點M的縱坐標為t，若t≤3，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

9．如圖，莊子大橋有一段拋物線形的拱梁，拋物線的表達式為y＝ax2+bx，小強騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面OC共需（）

A．18秒B．36秒C．38秒D．46秒

10．二次函數y＝x2+bx的對稱軸為x＝1，若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解，則t的取值范圍是（）

A．t＜8B．t＜3C．﹣1≤t＜8D．﹣1≤t＜3

二．填空題（滿分18分）

11．拋物線y＝﹣2（x+3）2﹣4有最點（填“高或低”），此點坐標為．

12．若拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A、B兩點，則A坐標是，B的坐標是．

13．已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）

（I）拋物線的對稱軸為；

（2）若當﹣2≤x≤2時，y的最大值是1，求當﹣2≤x≤2時，y的最小值是．

14．二次函數y＝x2﹣6x+c的圖象的頂點與原點的距離為5，則c＝．

15．豎直上拋物體時，物體離地而的高度h（m）與運動時間t（s）之間的關系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物體拋出時離地面的高度，v0（m/s）是物體拋出時的速度．某人將一個小球從距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為m．

16．當x≤3時，函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象記為G，將圖象G在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象G的其余部分保持不變，得到一個新圖象M，若直線y＝x+b與圖象M有且只有兩個公共點，則b的取值范圍是．

三．解答題（滿分72分）

17．已知二次函數y＝ax2+k圖象經過點（1，﹣1），（2，2）．

（1）求該函數的解析式，并寫出這個二次函數的開口方向、對稱軸及頂點坐標；

（2）判斷點（﹣3，7）是否在這個二次函數圖象上，并說明理由．

（3）請在坐標系內畫出這個函數的圖象，并根據圖象寫出函數值y為負數時，自變量x的取值范圍．

18．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線L1：y＝﹣x2+bx+c經過點A（2，2），拋物線的對稱軸是直線x＝1，頂點為點B．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）將拋物線L1平移到拋物線L2，拋物線L2的頂點記為D，它的對稱軸與x軸的交點記為E．已知點C（2，﹣1），若以A、C、D、E為頂點的四邊形為菱形，則請求出拋物線L2的頂點坐標．

19．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）當0＜x＜3時，求y的取值范圍．

20．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y＝x+k（k≠0）的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c＝0的兩個根；

（2）寫出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；

（3）寫出二次函數值y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；

（4）若方程ax2+bx+c＝m有兩個不等的實數根，求m的取值范圍；

21．手工課上，小明準備做一個形狀是菱形的風箏，這個菱形的兩條對角線長度之和恰好為60cm，菱形的面積S（單位：cm2）隨其中一條對角線的長x（單位：cm）的變化而變化．

（1）請直接寫出S與x之間的函數關系式；

（2）當x是多少時，菱形風箏面積S最大？最大面積是多少？

（3）請說明（2）中的函數S隨x的變化情況．

22．已知二次函數y＝﹣x2+2x+m．

（1）如果二次函數的圖象與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；

（2）如圖，二次函數的圖象過點A（3，0），與y軸交于點B，直線AB與這個二次函數圖象的對稱軸交于點P，求點P的坐標．

（3）在（2）的條件下，根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍．

23．在“母親節(jié)”前夕，我市某校學生積極參與“關愛貧困母親”的活動，他們購進一批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進行義賣，要求每件銷售價格不得高于27元，并將所得利潤捐給貧困母親．經試驗發(fā)現，若每件按22元的價格銷售時，每天能賣出42件；若每件按25元的價格銷售時，每天能賣出33件．假定每天銷售件數y（件）與銷售價格x（元/件）滿足一個以x為自變量的一次函數．

（1）求y與x滿足的函數關系式（不要求寫出x的取值范圍）；

（2）在不積壓且不考慮其他因素的情況下，銷售價格定為多少元時，才能使每天獲得的利潤P最大，最大利潤是多少？

24．如圖1，已知拋物線y＝ax2+（1﹣3a）x﹣3（a＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線y＝﹣x+5與拋物線交于點D、E，與直線BC交于點P．

（1）求點P的坐標；

（2）求PD×EP的值；

（3）如圖2，若二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0）、B（x2，0），定點為C，若∠CAB＝30°，則b2﹣4ac的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值．

參考答案

一．選擇題（滿分30分）

1．解：∵拋物線y＝（x﹣m）2+m﹣2的對稱軸是直線x＝3，

∴m＝3，

∴解析式y＝（x﹣3）2+1，

∴頂點坐標為：（3，1），

故選：A．

2．解：兩個函數的頂點坐標都是（0，0），二次項的系數互為相反數，說明一個開口向上，一個開口向下．

故兩條拋物線的交點為原點，兩條拋物線關于x軸對稱且兩條拋物線關于原點對稱；一個有最小值，一個有最大值．

故選：D．

3．解：二次函數y＝2（x+1）（x﹣3）可化為y＝2（x﹣1）2﹣8的形式，

∵此二次函數中a＝2＞0，

∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，

∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，

把x＝0代入y＝2（x+1）（x﹣3）得y＝﹣6，

∴該圖象與y軸交于點（0，﹣6），

故選：D．

4．解：二次函數y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數）

①∵頂點坐標為（m，﹣m+1）且當x＝m時，y＝﹣m+1

∴這個函數圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上

故結論①正確；

②假設存在一個m的值，使得函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形

令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1

解得：x1＝m﹣，x2＝m+

∵頂點坐標為（m，﹣m+1），且頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形

∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|

解得：m＝0或1，

當m＝1時，二次函數y＝﹣（x﹣1）2，此時頂點為（1，0），與x軸的交點也為（1，0），不構成三角形，舍去；

∴存在m＝0，使得函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形

故結論②正確；

③∵x1+x2＞2m

∴

∵二次函數y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數）的對稱軸為直線x＝m

∴點A離對稱軸的距離小于點B離對稱軸的距離

∵x1＜x2，且a＝﹣1＜0

∴y1＞y2

故結論③錯誤；

④當﹣1＜x＜2時，y隨x的增大而增大，且a＝﹣1＜0

∴m的取值范圍為m≥2．

故結論④正確．

故選：C．

5．解：∵二次函數圖象的形狀與的形狀相同，即二次項系數|a|相同，

∴所求函數解析式的二次項系數為，

∵頂點坐標是（4，﹣2），

∴這個函數的解析式為或，

故選：B．

6．解：A、∵拋物線開口向上，

∴函數有最小值，故本選項正確；

B、當﹣1＜x＜3時，y＜0，故本選項錯誤；

C、∵拋物線開口向上，

∴當x＜1時，y隨x的增大而減小，故本選項正確；

D、∵拋物線與x軸的交點坐標為（﹣1，0）、（3，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，故本選項正確．

故選：B．

7．解：令y＝x2﹣kx+k﹣1＝0，

△＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，

即拋物線交x軸有兩個的交點，①錯誤；

當x＝1時，y＝1﹣k+k﹣1＝0，

即拋物線總是經過一個定點（1，0），②正確；

當k＝4時，y＝x2﹣4x+3，

令y＝x2﹣4x+3＝0，

解得x＝3或1，

則AB＝3﹣1＝2，③錯誤；

y＝x2﹣kx+k﹣1＝0頂點坐標為（，），

當x＝時，y＝﹣（x﹣1）2＝﹣，

即拋物線的頂點在y＝﹣（x﹣1）2圖象上，④正確；

當k＝1時，y＝x2﹣x，此時△ABC不是等腰三角形，⑤錯誤；

正確的有②④，

故選：D．

8．解：設拋物線P'上任意一點（x，y），

則點（x，y）原點旋轉180°后對應的點為（﹣x，﹣y），

∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，

∴拋物線P'的解析式為y＝﹣x2+4ax+3，

∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，

當x＝2a時，y有最大值4a2+3，

∵1≤x≤3，

①當2a＜1時，即a＜，x＝1時y有最大值，

∴2+4a≤3，

∴a≤，

此時a≤；

②當2a＞3時，即a＞，x＝3時y有最大值，

∴﹣6+12a≤3，

∴a≤，

此時a不存在；

③當1≤2a≤3時，即≤a≤，x＝2a時y有最大值，

∴4a2+3≤3

∴a＝0，

此時a不存在；

綜上所述：0＜a≤，

故選：A．

9．解：如圖所示：

設在10秒時到達A點，在26秒時到達B，

∵10秒時和26秒時拱梁的高度相同，

∴A，B關于對稱軸對稱．則從A到B需要16秒，則從A到D需要8秒．

∴從O到D需要10+8＝18秒．

∴從O到C需要2×18＝36秒．

故選：B．

10．解：∵函數的對稱軸為x＝1，

∴b＝﹣2，

∴二次函數的解析式為y＝x2﹣2x，

當x＝﹣1時，y＝3，當x＝1時，y＝﹣1，當x＝4時，y＝8，

∵函數圖象開口向上，

∴當﹣1＜x＜4時，y的取值范圍為﹣1≤y＜8，

∵關于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解，

∴﹣1≤t＜8，

故選：C．

二．填空題（滿分18分）

11．解：∵拋物線y＝﹣2（x+3）2﹣4的a＝﹣2＜0，

∴該拋物線有最大值，

即拋物線有最高點，

此點坐標為（﹣3，﹣4），

故答案為：高，（﹣3，﹣4）．

12．解：當y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

所以A（﹣1，0），B（3，0）．

故答案為：（﹣1，0），（3，0）．

13．解：（1）拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝1，

故答案為：直線x＝1；

（2）∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），

∴該函數圖象的開口向下，對稱軸是直線x＝1，當x＝1時，取得最大值﹣a﹣1，

∵當﹣2≤x≤2時，y的最大值是1，

∴x＝1時，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，

∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，

∵﹣2≤x≤2，

∴x＝﹣2時，取得最小值，此時y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，

故答案為：﹣17．

14．解：∵二次函數y＝x2﹣6x+c的圖象的頂點坐標為（3，c﹣9），

∴32+（c﹣9）2＝52，

解得c＝13或c＝5．

故答案為：13或5．

15．解：由題意得：

h＝﹣5t2+20t+1.5

＝﹣5（t﹣2）2+21.5，

∵a＝﹣5＜0，

∴當t＝2時，h取得最大值，此時h＝21.5．

故答案為：21.5．

16．解：如圖所示：∵y＝x2﹣2x﹣3，當y＝0，則0＝x2﹣2x﹣3，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

當直線y＝x+b過（﹣1，0）時，b＝1，

當直線y＝x+b過（3，0）時，b＝﹣3，

故當﹣3＜b＜1時，直線y＝x+b與圖象M有且只有兩個公共點，

當直線y＝x+b與拋物線y＝x2﹣2x﹣3有一個交點，

則x2﹣3x﹣3﹣b＝0有兩個相等的實數根，

故Δ＝b2﹣4ac＝9+4（3+b）＝0，

解得：b＝﹣，

綜上所述：直線y＝x+b與圖象M有且只有兩個公共點，則b的取值范圍是：﹣3＜b＜1或b＝﹣．

故答案為：﹣3＜b＜1或b＝﹣．

三．解答題（滿分72分）

17．解：（1）根據題意得，

解得，

所以二次函數的解析式為y＝x2﹣2，

所以這個二次函數的開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，﹣2）；

（2）當x＝﹣3時，y＝x2﹣2＝（﹣3）2﹣2＝7，

所以點（﹣3，7）在這個二次函數圖象上．

（3）函數圖象如下圖所示：

當y＝0時，x2﹣2＝0，

解得x＝﹣或x＝，

則A（﹣，0）、B（，0），

由函數圖象知函數值y為負數時，﹣＜x＜．

18．解：（1）∵拋物線L1：y＝﹣x2+bx+c經過點A（2，2），拋物線的對稱軸是直線x＝1，

∴，

解得：，

∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+2；

（2）設拋物線L2的頂點記為D（m，n），則E（m，0），如圖，

∴DE＝|n|，DE∥y軸，

∵A（2，2），C（2，﹣1），

∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，AC∥y軸，

∴AC∥DE，

又AD＝，AE＝，

∵以A、C、D、E為頂點的四邊形為菱形，

∴DE＝AC，即|n|＝3，

∴n＝±3，

①當n＝3時，D（m，3），E（m，0），

∵AD＝AC＝3，

∴AD2＝9，即（m﹣2）2+（3﹣2）2＝9，

解得：m＝2+2或2﹣2，

∴D（2+2，3）或（2﹣2，3）；

②當n＝﹣3時，D（m，﹣3），E（m，0），

∵AE＝AC＝3，

∴AE2＝9，即（m﹣2）2+（0﹣2）2＝9，

解得：m＝2+或2﹣，

∴D（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）；

綜上所述，點D的坐標為（2+2，3）或（2﹣2，3）或（2+，﹣3）或（2﹣，﹣3）．

19．解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴，解得，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，

∴當x＜1時，y隨x的增大而減小，當x＞1時，y隨x的增大而增大，

∴當0＜x＜1時，當x＝0時，y有最大值為﹣3，當x＝1時，y有最小值為﹣4，

當1＜x＜3時，當x＝3時，y有最大值為0，當x＝1時，y有最小值為﹣4，

∴當0＜x＜3時，﹣4≤y＜0．

20．解：（1）從圖象看，方程ax2+bx+c＝0的兩個根為x＝﹣3或﹣1；

（2）從圖象看，﹣3＜x＜﹣0.5時，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；

（3）從圖象看x＜﹣2時，y隨x的增大而減??；

（4）設y＝m，當m＞﹣2時，y＝m與y＝ax2+bx+c有兩個交點，

故m＞﹣2．

21．解：（1）根據題意可得：一條對角線的長為xcm，則另一對角線長為：（60﹣x），

則S＝x（60﹣x）＝﹣x2+30x；

（2）由①得：S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣30）2+450，

故當x是30cm時，菱形風箏的面積S最大，最大的面積是450cm2．

（3）當0＜x＜30時，S隨著x的增大而增大；

當30＜x＜60時，S