抽象函數(shù)題型解題技巧全總結(jié)

抽象函數(shù)題型、解題技巧全總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學生數(shù)學思維素質(zhì)。現(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設(shè),則∴∴2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復(fù)習代換法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3．已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得∴4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.=為奇函數(shù),當>0時,,求解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關(guān)于原點對稱，故先求<0時的表達式?！?>0,∴,∵為奇函數(shù)，∴∴當<0時∴例5．一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+，求,.解：∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴,,不妨用-代換+=………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數(shù)再代入①求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達式例6：設(shè)的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域為N，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0,則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數(shù)。例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，∵為函數(shù)，∴又∵在（-1，1）內(nèi)遞減，∴3.解不定式的有關(guān)題目例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有∴=2為拋物線=的對稱軸又∵其開口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，為增函數(shù)∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，∵當，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域為［－4，2］。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。解：設(shè)，∵當，∴，則，

即，∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)?！撸帧遞（3）＝5，∴f（1）＝3?！啵?，即，解得不等式的解為－1<a<3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，則，∴。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設(shè)矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學歸納法證明如下：（1）x＝1時，∵，又∵x∈N時，f（x）＞0，∴，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時有，則x＝k＋1時，，∴x＝k＋1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。3、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：

（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。例6、設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析:由題設(shè)條件可猜測y＝f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。解：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：①當是定義域中的數(shù)時，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）；③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。分析:由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a看成進行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，∴在定義域中?！?，∴f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設(shè)2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設(shè)2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。5、冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例8、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在［0，＋∞）上是增函數(shù)。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，∴，，∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1.已知函數(shù)的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。例2.已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3.已知定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5.設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6.設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當時，，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當時，；當時，而所以又當時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7.已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8.已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。解：由，以代入，有，為奇函數(shù)且有又由故是周期為8的周期函數(shù)，例2已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時，，求在上的值域。解：設(shè)且，則，由條件當時，又為增函數(shù)，令，則又令得，故為奇函數(shù)，，上的值域為二.求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，由得。（1）當時，，不等式不成立。（2）當時，（3）當時，綜上所述，所求的取值范圍是。例4已知是定義在上的減函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：對恒成立對恒成立對恒成立，三.解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例5已知函數(shù)對任意有，當時，，，求不等式的解集。解：設(shè)且則，即，故為增函數(shù)，又因此不等式的解集為。四.證明某些問題例6設(shè)定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。證明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。例7已知對一切，滿足，且當時，，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。證明：對一切有。且，令，得，現(xiàn)設(shè)，則，，而，設(shè)且，則，即為減函數(shù)。五.綜合問題求解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”。例8設(shè)函數(shù)定義在R上，當時，，且對任意，有，當時。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數(shù)；（3）設(shè)，，若，求滿足的條件。解：（1）令得，或。若，當時，有，這與當時，矛盾，。（2）設(shè)，則，由已知得，因為，，若時，，由（3）由得由得（2）從（1）、（2）中消去得，因為，即例9定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對任意都有，（2）當時，有，（1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。解：（1）對條件中的，令，再令可得，所以是奇函數(shù)。（2）設(shè)，則，，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。（3）抽象函數(shù)問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數(shù)同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個整體，相當于中的x這一特性，問題就會迎刃而解。例1.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是___。分析：因為相當于中的x，所以，解得或。例2.已知的定義域為，則的定義域是______。分析：因為及均相當于中的x，所以(1)當時，則(2)當時，則2.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。例3.已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函數(shù)。例4.若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。證明：設(shè)圖象上任意一點為P（）與的圖象關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點的對稱點在的圖象上，又即對于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。3.判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例5.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是A.增函數(shù)且最小值為 B.增函數(shù)且最大值為C.減函數(shù)且最小值為 D.減函數(shù)且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1例6.已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下：任取因為在上是減函數(shù)，所以。又是偶函數(shù)，所以，從而，故在上是增函數(shù)。圖24.探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。分析：仔細觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數(shù)。故是周期函數(shù)，2c是它的一個周期。5.求函數(shù)值緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知的定義域為，且對一切正實數(shù)x，y都成立，若，則_______。分析：在條件中，令，得，又令，得，例9.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是，所以故是以8為周期的周期函數(shù)，從而6.比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例10.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，若，，且，則的大小關(guān)系是_______。分析：且，又時，是增函數(shù)，是偶函數(shù)，故7.討論方程根的問題例11.已知函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_______。分析：由知直線是函數(shù)圖象的對稱軸。又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關(guān)于直線對稱，所以，故。8.討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。例12.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有9.研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_______對稱。分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對稱軸是，故的對稱軸是。例14.若函數(shù)的圖象過點（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點______。分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點。10.求解析式例15.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)A. B. C. D.分析：要求的解析式，實質(zhì)上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標之間的關(guān)系。點關(guān)于直線的對稱點適合，即。又，即，選B。抽象函數(shù)的周期問題2001年高考數(shù)學（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。對任意都有。（I）設(shè)求；（II）證明是周期函數(shù)。解析：（I）解略。（II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對稱故又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期是偶函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對稱又的圖象關(guān)于對稱，可得是周期函數(shù)且2是它的一個周期由此進行一般化推廣，我們得到思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于直線對稱又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于直線對稱將上式的以代換得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。，證明：關(guān)于對稱又由是奇函數(shù)知將上式的以代換，得是上的周期函數(shù)且4是它的一個周期是奇函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于原點（0，0）中心對稱，又的圖象關(guān)于直線對稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點中心對稱，且其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱將上式中的以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數(shù)。進一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于對稱將上式中的以代換，得是周期函數(shù)且是它的一個周期抽象函數(shù)解法例談抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì),又能考查學生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進行等價轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時,一般用代換的方法,將x換成-x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時,可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的快感.已知函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1①若t為自然數(shù),(t>0)試求f(t)的表達式②滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說明理由③若t為自然數(shù)且t≥4時,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.已知函數(shù)f(x)=,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函數(shù).g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求證：①f(x)是R上的增函數(shù)②當nN,n≥3時,f(n)>解:①設(shè)x1>x2g(x)是R上的增函數(shù),且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-=1--(1-)=->0f(x1)>f(x2)f(x)是R上的增函數(shù)②g(x)滿足g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)且g(x)>0g(n)=[g(1)]n=2n當nN,n≥3時,2n>nf(n)=＝1-，＝1-2n＝（1+1）n＝1+n+…++…+n+1>2n+12n+1>2n+2<,即1->1-當nN,n≥3時,f(n)>設(shè)f1(x)f2(x)是(0,+∞)上的函數(shù),且f1(x)單增,設(shè)f(x)=f1(x)+f2(x),且對于(0,+∞)上的任意兩相異實數(shù)x1,x2恒有|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|①求證：f(x)在(0,+∞)上單增.②設(shè)F(x)=xf(x),a>0、b>0.求證：F(a+b)>F(a)+F(b).①證明:設(shè)x1>x2>0f1(x)在(0,+∞)上單增f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|=f1(x1)－f1(x2)>0|f1(x1)－f1(x2)|>|f2(x1)－f2(x2)|f1(x2)-f1(x1)<f2(x1)－f2(x2)<f1(x1)－f1(x2)f1(x1)+f2(x1)>f1(x2)+f2(x2)f(x1)>f(x2)f(x)在(0,+∞)上單增②F(x)=xf(x),a>0、b>0a+b>a>0,a+b>b>0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f(x)在(0,+∞)上單增F(a+b)>af(a)+bf(b)=F(a)+F(b)函數(shù)y＝f(x)滿足①f(a+b)＝f(a)·f(b)，②f(4)＝16,m、n為互質(zhì)整數(shù)，n≠0求f()的值f(0)=f(0+0)=f(0)·f(0)=f2(0)f(0)=0或1.若f(0)=0則f(4)=16=f(0+4)=f(0)·f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2)·f(2)=f(1)·f(1)·f(1)·f(1)=16f(1)=f2()≥0f(1)=2.仿此可證得f(a)≥0.即y=f(x)是非負函數(shù).f(0)=f(a+(-a))=f(a)·f(-a)f(-a)=n∈N*時f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(++…+)=fn()=2f()=f()=[f()]m=定義在（-1，1）上的函數(shù)f(x)滿足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f()，②x∈（-1，0）時，有f(x)>0判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由判定f(x)在（-1，0）上的單調(diào)性，并給出證明求證：f()＝f()－f()或f()+f()+…+f()>f()(n∈N*)解:1)定義在（-1，1）上的函數(shù)f(x)滿足任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)＝f(),則當y=0時,f(x)+f(0)＝f(x)f(0)=0當-x=y時,f(x)+f(-x)＝f(0)f(x)是（-1，1）上的奇函數(shù)2)設(shè)0>x1>x2>-1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=0>x1>x2>-1,x∈（-1，0）時，有f(x)>0,1-x1x2>0,x1-x2>0>0即f(x)在（-1，0）上單調(diào)遞增.3)f()=f()=f()=f()=f()-f()f()+f()+…+f()=f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f()=f()-f()=f()+f(-)x∈（-1，0）時，有f(x)>0f(-)>0,f()+f(-)>f()即f()+f()+…+f()>f()設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱,對任意x1、x2[0,eq\f(1,2)]都有f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.①求f(eq\f(1,2))及f(eq\f(1,4));②證明f(x)是周期函數(shù)③記an=f(2n+eq\f(1,2n)),求(lnan)解:①由f(x)=f(eq\f(x,2)+eq\f(x,2))=[f(x)]20,f(x)a=f(1)=f(2n·eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2n)+eq\f(1,2n)+…+eq\f(1,2n))＝[f(eq\f(1,2n))]2解得f(eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2))=,f(eq\f(1,4))=.②f(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于直線x=1對稱,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f[1+(1+x)]=f[1-(1+x)]=f(x)=f(-x).f(x)是以2為周期的周期函數(shù).③an=f(2n+eq\f(1,2n))=f(eq\f(1,2n))=(lnan)==0設(shè)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)f(y)①求f(0)，②設(shè)當x<0時，都有f(x)>f(0)證明當x>0時0<f(x)<1,③設(shè)a1=,an=f(n)（n∈N*），sn為數(shù)列｛an｝前n項和，求sn.解：①②仿前幾例，略。③an＝f(n)，a1＝f(1)＝an+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝an數(shù)列｛an｝是首項為公比為的等比數(shù)列sn＝1-sn＝1設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件：（i）（ii）對任意的（Ⅰ）證明：對任意的（Ⅱ）證明：對任意的（Ⅲ）在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由.（Ⅰ）證明：由題設(shè)條件可知，當時，有即（Ⅱ）證法一：對任意的當不妨設(shè)則所以，綜上可知，對任意的都有證法二：由（Ⅰ）可得，當所以，當因此，對任意的當時，當時，有且所以綜上可知，對任意的都有（Ⅲ）答：滿足所述條件的函數(shù)不存在.理由如下，假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由得又所以①又因為為奇數(shù)，所以由條件得②①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在.高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學生數(shù)學思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設(shè),則∴∴2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復(fù)習代換法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(||≥1)3.待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3．已知二次實函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得∴4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.=為奇函數(shù),當>0時,,求解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關(guān)于原點對稱，故先求<0時的表達式。∵->0,∴,∵為奇函數(shù)，∴∴當<0時∴例5．一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+，求,.解：∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴,,不妨用-代換+=………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數(shù)再代入①求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達式例6：設(shè)的定義域為自然數(shù)集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域為N，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0,則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數(shù)。例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，∵為函數(shù)，∴又∵在（-1，1）內(nèi)遞減，∴3.解不定式的有關(guān)題目例9：如果=對任意的有,比較的大小解：對任意有∴=2為拋物線=的對稱軸又∵其開口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，為增函數(shù)∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x＞0時，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，∵當，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域為［－4，2］。例2、已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且當x＞0時，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測：f（x）是y＝x＋2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號，從而可求得不等式的解。解：設(shè)，∵當，∴，則，

即，∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)?！?，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3?！啵?，即，解得不等式的解為－1<a<3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在，使得，對任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的正負。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，從而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。解：（1）令y＝0代入，則，∴。若f（x）＝0，則對任意，有，這與題設(shè)矛盾，∴f（x）≠0，∴f（0）＝1。（2）令y＝x≠0，則，又由（1）知f（x）≠0，∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，故對任意x，f（x）＞0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測存在函數(shù)，用數(shù)學歸納法證明如下：（1）x＝1時，∵，又∵x∈N時，f（x）＞0，∴，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時有，則x＝k＋1時，，∴x＝k＋1時，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時。3、對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：

（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，f（1）＝0，f（9）＝2。解：（1）∵，∴f（1）＝0。（2），從而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函數(shù)，故，解之得：8＜x≤9。例6、設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由。分析:由題設(shè)條件可猜測y＝f（x）是對數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又∵y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x），∴y＝g（x）必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜想g（a＋b）＝g（a）·g（b）正確。解：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，∴g（m）＝a，g（n）＝b，從而，∴g（m）·g（n）＝g（m＋n），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三條件：①當是定義域中的數(shù)時，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）；③當0＜x＜2a時，f（x）＜0。試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的單調(diào)性如何？說明理由。分析:由題設(shè)知f（x）是的抽象函數(shù)，從而由及題設(shè)條件猜想：f（x）是奇函數(shù)且在（0，4a）上是增函數(shù)（這里把a看成進行猜想）。解：（1）∵f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且是定義域中的數(shù)時有，∴在定義域中。∵，∴f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0＜x1＜x2＜2a，則0＜x2－x1＜2a，∵在（0，2a）上f（x）＜0，∴f（x1），f（x2），f（x2－x1）均小于零，進而知中的，于是f（x1）＜f（x2），∴在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，∵f（a）＝－1，∴，∴f（2a）＝0，設(shè)2a＜x＜4a，則0＜x－2a＜2a，，于是f（x）＞0，即在（2a，4a）上f（x）＞0。設(shè)2a＜x1＜x2＜4a，則0＜x2－x1＜2a，從而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2－x1）＜0，∵，∴，即f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函數(shù)。綜上所述，f（x）在（0，4a）上是增函數(shù)。5、冪函數(shù)型抽象函數(shù)冪函數(shù)型抽象函數(shù)，即由冪函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例8、已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當時，。（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在［0，＋∞）上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若，求a的取值范圍。分析：由題設(shè)可知f（x）是冪函數(shù)的抽象函數(shù)，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在［0，＋∞）上是增函數(shù)。解：（1）令y＝－1，則f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)。（2）設(shè)，∴，，∵時，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函數(shù)。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下：一、定義域問題例1.已知函數(shù)的定義域是［1，2］，求f(x)的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。例2.已知函數(shù)的定義域是，求函數(shù)的定義域。解：的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中，由此可得所以函數(shù)的定義域是評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)f(x)的定義域是A，求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當于已知的值域B，且，據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3.已知定義域為的函數(shù)f(x)，同時滿足下列條件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，總成立，且存在，使得，求函數(shù)的值域。解：令，得，即有或。若，則，對任意均成立，這與存在實數(shù)，使得成立矛盾，故，必有。由于對任意均成立，因此，對任意，有下面來證明，對任意設(shè)存在，使得，則這與上面已證的矛盾，因此，對任意所以評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5.設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6.設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當時，，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當時，；當時，而所以又當時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7.已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8.已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當x>0時，0<f(x)<1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當時，所以當時而所以又當x=0時，，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)>0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)滿足：且，求的值。解：由，以代入，有，為奇函數(shù)且有又由故是周期為8的周期函數(shù)，例2已知函數(shù)對任意實數(shù)都有，且當時，，求在上的值域。解：設(shè)且，則，由條件當時，又為增函數(shù)，令，則又令得，故為奇函數(shù)，，上的值域為二.求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3已知是定義在（）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足，試確定的取值范圍。解：是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，由得。（1）當時，，不等式不成立。（2）當時，（3）當時，綜上所述，所求的取值范圍是。例4已知是定義在上的減函數(shù)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：對恒成立對恒成立對恒成立，三.解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例5已知函數(shù)對任意有，當時，，，求不等式的解集。解：設(shè)且則，即，故為增函數(shù)，又因此不等式的解集為。四.證明某些問題例6設(shè)定義在R上且對任意的有，求證：是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給關(guān)系式進行遞推，若能得出（T為非零常數(shù)）則為周期函數(shù)，且周期為T。證明：得由（3）得由（3）和（4）得。上式對任意都成立，因此是周期函數(shù)，且周期為6。例7已知對一切，滿足，且當時，，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。證明：對一切有。且，令，得，現(xiàn)設(shè)，則，，而，設(shè)且，則，即為減函數(shù)。五.綜合問題求解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“”前的“負號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“”。例8設(shè)函數(shù)定義在R上，當時，，且對任意，有，當時。（1）證明；（2）證明：在R上是增函數(shù)；（3）設(shè)，，若，求滿足的條件。解：（1）令得，或。若，當時，有，這與當時，矛盾，。（2）設(shè)，則，由已知得，因為，，若時，，由（3）由得由得（2）從（1）、（2）中消去得，因為，即例9定義在（）上的函數(shù)滿足（1），對任意都有，（2）當時，有，（1）試判斷的奇偶性；（2）判斷的單調(diào)性；（3）求證。分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為基礎(chǔ)去研究數(shù)列求和的綜合題。解：（1）對條件中的，令，再令可得，所以是奇函數(shù)。（2）設(shè)，則，，由條件（2）知，從而有，即，故上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在（0，1）上仍是單調(diào)減函數(shù)。（3）抽象函數(shù)問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由于這類問題抽象性強，靈活性大，多數(shù)同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析，供學習參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù)中的看作一個整體，相當于中的x這一特性，問題就會迎刃而解。例1.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是___。分析：因為相當于中的x，所以，解得或。例2.已知的定義域為，則的定義域是______。分析：因為及均相當于中的x，所以(1)當時，則(2)當時，則2.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。例3.已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函數(shù)。例4.若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，求證：函數(shù)是偶函數(shù)。證明：設(shè)圖象上任意一點為P（）與的圖象關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點的對稱點在的圖象上，又即對于函數(shù)定義域上的任意x都有，所以是偶函數(shù)。3.判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例5.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那么在區(qū)間上是A.增函數(shù)且最小值為 B.增函數(shù)且最大值為C.減函數(shù)且最小值為 D.減函數(shù)且最大值為分析：畫出滿足題意的示意圖1，易知選B。圖1例6.已知偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下：任取因為在上是減函數(shù)，所以。又是偶函數(shù)，所以，從而，故在上是增函數(shù)。圖24.探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對函數(shù)原型的分析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設(shè)函數(shù)的定義域為R，且對任意的x，y有，并存在正實數(shù)c，使。試問是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。分析：仔細觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會發(fā)現(xiàn)：滿足題設(shè)條件，且，猜測是以2c為周期的周期函數(shù)。故是周期函數(shù)，2c是它的一個周期。5.求函數(shù)值緊扣已知條件進行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知的定義域為，且對一切正實數(shù)x，y都成立，若，則_______。分析：在條件中，令，得，又令，得，例9.已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足：，，求的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發(fā)現(xiàn)是周期函數(shù)，顯然，于是，所以故是以8為周期的周期函數(shù)，從而6.比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例10.已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，若，，且，則的大小關(guān)系是_______。分析：且，又時，是增函數(shù)，是偶函數(shù)，故7.討論方程根的問題例11.已知函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，并且有三個實根，則這三個實根之和是_______。分析：由知直線是函數(shù)圖象的對稱軸。又有三個實根，由對稱性知必是方程的一個根，其余兩根關(guān)于直線對稱，所以，故。8.討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。例12.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且對一切實數(shù)x，不等式恒成立，求k的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得由題意知(1)(2)兩式對一切恒成立，則有9.研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線_______對稱。分析：的圖象的圖象，而是偶函數(shù)，對稱軸是，故的對稱軸是。例14.若函數(shù)的圖象過點（0，1），則的反函數(shù)的圖象必過定點______。分析：的圖象過點（0，1），從而的圖象過點，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，的反函數(shù)的圖象必過定點。10.求解析式例15.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，與的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)A. B. C. D.分析：要求的解析式，實質(zhì)上就是求圖象上任一點的橫、縱坐標之間的關(guān)系。點關(guān)于直線的對稱點適合，即。又，即，選B。抽象函數(shù)的周期問題2001年高考數(shù)學（文科）第22題：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。對任意都有。（I）設(shè)求；（II）證明是周期函數(shù)。解析：（I）解略。（II）證明：依題設(shè)關(guān)于直線對稱故又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得這表明是上的周期函數(shù)，且2是它的一個周期是偶函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于直線對稱又的圖象關(guān)于對稱，可得是周期函數(shù)且2是它的一個周期由此進行一般化推廣，我們得到思考一：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于直線對稱又由是偶函數(shù)知將上式中以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期思考二：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于直線對稱將上式的以代換得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期若把這道高考題中的“偶函數(shù)”換成“奇函數(shù)”，還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到思考三：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。，證明：關(guān)于對稱又由是奇函數(shù)知將上式的以代換，得是上的周期函數(shù)且4是它的一個周期是奇函數(shù)的實質(zhì)是的圖象關(guān)于原點（0，0）中心對稱，又的圖象關(guān)于直線對稱，可得是周期函數(shù)，且4是它的一個周期。由此進行一般化推廣，我們得到思考四：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點中心對稱，且其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于點對稱關(guān)于直線對稱將上式中的以代換，得是上的周期函數(shù)且是它的一個周期由上我們發(fā)現(xiàn)，定義在上的函數(shù)，其圖象若有兩條對稱軸或一個對稱中心和一條對稱軸，則是上的周期函數(shù)。進一步我們想到，定義在上的函數(shù)，其圖象如果有兩個對稱中心，那么是否為周期函數(shù)呢？經(jīng)過探索，我們得到思考五：設(shè)是定義在上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點和對稱。證明是周期函數(shù)，且是它的一個周期。證明：關(guān)于對稱將上式中的以代換，得是周期函數(shù)且是它的一個周期抽象函數(shù)解法例談抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點的函數(shù)值,特定的運算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點,也是大學高等數(shù)學函數(shù)部分的一個銜接點,由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì),又能考查學生的思維能力,所以備受命題者的青睞,那么,怎樣求解抽象函數(shù)問題呢,我們可以利用特殊模型法,函數(shù)性質(zhì)法,特殊化方法,聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法,等多種方法從多角度,多層面去分析研究抽象函數(shù)問題,一:函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)(如奇偶性,單調(diào)性周期性,特殊點等)反應(yīng)出來的,抽象函數(shù)也是如此,只有充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì),靈活進行等價轉(zhuǎn)化,抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化,化難為易,常用的解題方法有:1,利用奇偶性整體思考;2,利用單調(diào)性等價轉(zhuǎn)化;3,利用周期性回歸已知4;利用對稱性數(shù)形結(jié)合;5,借助特殊點,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時,一般用代換的方法,將x換成-x或?qū)換成等2在求函數(shù)值時,可用特殊值代入3研究抽象函數(shù)的具體模型,用具體模型解選擇題,填空題,或由具體模型函數(shù)對綜合題,的解答提供思路和方法.總之,抽象函數(shù)問題求解,用常規(guī)方法一般很難湊效,但我們?nèi)绻芡ㄟ^對題目的信息分析與研究,采用特殊的方法和手段求解,往往會收到事半功倍之功效,真有些山窮水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村的快感.已知函數(shù)f(x)對任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1①若t為自然數(shù),(t>0)試求f(t)的表達式②滿足f(t)=t的所有整數(shù)t能否構(gòu)成等差數(shù)列?若能求出此數(shù)列,若不能說明理由③若t為自然數(shù)且t≥4時,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.已知函數(shù)f(x)=,且f(x),g(x)定義域都是R,且g(x)>0,g(1)=2,g(x)是增函數(shù).g(m)·g(n)=g(m+n)(m、n∈R)求證：①f(x)是R上的增函數(shù)②當nN,n≥3時,f(n)>解:①設(shè)x1>x2g(x)是R上的增函數(shù),且g(x)>0g(x1)>g(x2)>0g(x1)+1>g(x2)+1>0>>0->0f(x1)-f(x2)=-