【解析】山西省呂梁市孝義市2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

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山西省呂梁市孝義市2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·孝義期中）若二次根式在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

2．（2023八下·孝義期中）下列二次根式中，可以與合并的是（）

A．B．C．D．

3．（2023八下·孝義期中）下列計算正確的是（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·孝義期中）下列各組數中不能作為直角三角形三邊長的是（）

A．，，B．，，C．，，D．，，

5．（2023八下·孝義期中）如圖，在中，，在數軸上，點所表示的數為1，以點為圓心，長為半徑畫弧，在點左側交數軸于點，則點表示的數是（）

A．B．C．D．

6．（2023八下·孝義期中）如圖，在中，對角線相交于點，過點作交于點，連接．若的周長為20，則的周長為（）

A．5B．10C．15D．20

7．（2023八下·孝義期中）在學習平行四邊形時，我們先學行四邊形的性質定理、判定定理，再通過平行四邊形邊、角的特殊化，獲得了特殊的平行四邊形——矩形、菱形和正方形，了解了它們之間的關系，并根據它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的性質定理和判定定理．在學習這些知識的過程中，主要體現的數學思想是（）

A．方程思想B．數形結合思想

C．從特殊到一般思想D．從一般到特殊思想

8．（2023八下·孝義期中）如圖，在矩形中，對角線相交于點，，，，若四邊形的周長為12，則的長為（）

A．3B．6C．D．

9．（2023八下·孝義期中）如圖，依次連接周長為1的小等邊三角形各邊的中點，得到第二個小等邊三角形，再依次連接第二個小等邊三角形各邊的中點，得到第三個小等邊三角形……按這樣的規(guī)律，第2023個小等邊三角形的周長為（）

A．B．C．D．

10．（2023八下·孝義期中）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，我們可以折疊出一個黃金矩形．第一步，在一張矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，折痕是；第三步，折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，折痕為；第四步，如圖4，展平紙片，按照所得的點折出，使．則下列是黃金矩形的是（）

A．矩形B．矩形C．矩形D．矩形

二、填空題

11．（2023八下·孝義期中）如圖，菱形的對角線與交于點，請你添加一個條件使它是正方形，你添加的條件是

12．（2023八下·北京期末）在沒有直角工具之前，聰明的古埃及人用如圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中5這條邊所對的角便是直角．依據是．

13．（2023八下·孝義期中）電流通過導線時會產生熱量，電流I（單位：A）、導線電阻R（單位：）、通電時間t（單位：s）與產生的熱量Q（單位：J）滿足．已知導線的電阻為9，1s時間導線產生72J的熱量，則電流的值是A．

14．（2023八下·封開期末）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若OM=3，BC=8，則OB的長為。

15．（2023八下·孝義期中）如圖，菱形的邊長為4，，點是邊的中點，點是對角線上一動點，則周長的最小值是．

三、解答題

16．（2023八下·孝義期中）計算

（1）

（2）

17．（2023八下·孝義期中）已知，，求的值．

18．（2023八下·孝義期中）如圖，在邊長均為1的小正方形網格中，線段的端點都在格點上．（小正方形的頂點叫格點．）

實踐與操作：

以為一邊作正方形；（點C，D畫在格點上）

推理與計算：

線段的長為▲，正方形的面積為▲．

19．（2023八下·孝義期中）如圖，的對角線交于點，點分別是的中點，依次連接．求證：四邊形是平行四邊形．

20．（2023八下·孝義期中）某?！熬C合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量，測量結果如下表（不完整）．

課題測量學校旗桿的高度

成員組長：組員：，，

工具皮尺等

測量示意圖說明：線段AB表示學校旗桿，垂直地面于點B，如圖1，第一次將系在旗桿頂端的繩子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺測出的長度；如圖2，第二次將繩子拉直，繩子末端落在地面的點D處，用皮尺測出的距離．

測量數據測量項目數值

圖1中的長度1米

圖2中的長度米

……

（1）根據以上測量結果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學校旗桿的高度．

（2）該小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表的項目外，你認為還需要補充哪些項目（寫出一個即可）．

21．（2023八下·孝義期中）請閱讀下列材料，并完成相應任務．

勾股定理的證明

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間的數量關系，是數學中最重要的定理之一．勾股定理的證明過程多數采用的方法是“用兩種不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一個圖形的面積”，由于同一個圖形的面積相等，從而得到含a，b，c的恒等式，通過化簡即可完成勾股定理的證明．借助于圖形的面積研究相關的數量關系，是我國古代數學研究中經常采用的重要方法，它充分顯示了古人的卓越智慧．

下面是證明勾股定理的一種思路：

如圖，用一個等腰直角三角形（），和兩個全等的直角三角形（）可以拼成一個直角梯形．其中；，用兩種不同的方法和含有a，b，c的式子表示梯形的面積，就能完成勾股定理的證明．

提示：梯形的面積（上底＋下底）高

任務：

（1）請你根據上述材料中的思路證明勾股定理；

（2）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，則之間的距離為．

22．（2023八下·孝義期中）綜合與實踐

實踐操作：如圖1，已知矩形紙片．

第一步：如圖2，將紙片沿折疊，使點B的對應點正好落在上，然后展平紙片，得到折痕；

第二步：如圖3，在圖2的基礎上，沿折疊紙片，點C的對應點落在處，與交于點F．

問題解決：

（1）如圖2，判斷四邊形的形狀，并證明；

（2）如圖3，證明；

（3）若，則的周長為（直接寫出答案即可）．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，

∴2-a≥0，

解得：a≤2，

故答案為：D.

【分析】根據二次根式有意義的條件求出2-a≥0，再計算求解即可。

2．【答案】B

【知識點】二次根式的性質與化簡；同類二次根式

【解析】【解答】解：A：，不能與合并，不符合題意；

B：，能與合并，符合題意；

C：，不能與合并，不符合題意；

D：，不能與合并，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】先化簡二次根式，再利用同類二次根式的定義判斷求解即可。

3．【答案】C

【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A：，計算錯誤；

B：，計算錯誤；

C：，計算正確；

D：，計算錯誤；

故答案為：C.

【分析】利用同類二次根式，二次根式的乘除法則計算求解即可。

4．【答案】A

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，不能構成直角三角形，符合題意；

B.，能構成直角三角形，不符合題意；

C.，能構成直角三角形，不符合題意；

D.，能構成直角三角形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理的逆定理判斷求解即可。

5．【答案】C

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：∵在中，，

∴，

∴點D表示的數是：，

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出AB的值，再計算求解即可。

6．【答案】B

【知識點】平行四邊形的性質

【解析】【解答】解：∵在中，對角線相交于點，

∴點O是BD中點，

∵OE⊥BD，

∴OE是線段BD的中垂線，

∴EB=ED，

∴△ABE的周長為：AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD，

∵的周長為20，

∴AB+AD=10，

即△ABE的周長為10，

故答案為：B.

【分析】根據平行四邊形的性質求出點O是BD中點，再求出EB=ED，最后計算求解即可。

7．【答案】D

【知識點】數學思想

【解析】【解答】解：由題意可得：在學習這些知識的過程中，主要體現的數學思想是從一般到特殊的思想，

故答案為：D.

【分析】先讀題，再理解題意，對每個選項一一判斷即可。

8．【答案】D

【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質

【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠BOC=120°，

∴AC=BD，∠AOB=60°，

∵矩形對角線相互平分，

∴OA=OB=OC=OD，△AOB是等邊三角形，

∴AB=OA=OB=OC=OD，

∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC=AB，

∵AM//BD，DM//AC，

∴四邊形AODM是平行四邊形，

∵OA=OD，

∴四邊形AODM是菱形，

∴OA=OD=DM=AM，

∵菱形AODM的周長為12，

∴AB=3，

∴BC=AB=，

故答案為：D.

【分析】根據矩形的性質求出AC=BD，∠AOB=60°，再利用菱形的判定方法求出四邊形AODM是菱形，最后計算求解即可。

9．【答案】B

【知識點】等邊三角形的性質；探索圖形規(guī)律；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：如圖所示：

∵D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，

∴DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，

∴DE=AC，DF=BC，BF=AB，

∴△DEF的周長=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=，

∴第二個三角形的周長為，

同理可得，第三個三角形的周長是，

……

∴第2023個小等邊三角形的周長為，

故答案為：B.

【分析】根據三角形中位線定理求出DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，再求出第三個三角形的周長是，最后找出規(guī)律計算求解即可。

10．【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質；正方形的性質

【解析】【解答】解：根據題意可得：四邊形NCBM為正方形、四邊形MNAH、HACB、BCDF、ADFH為長方

形，且MN=AH=BC=DF=BM=NC，AB=AD，

令正方形NCBM邊長為2，則MN=BC=DF=AH=2，

∵點H、A分別為MB、NC的中點，

∴MH=BH=NA=AC=1，

∴，

∴CD=BF=AD-AC=，

∵，，，，

∴矩形BCDF為黃金矩形，

故答案為：C.

【分析】根據題意先求出MH=BH=NA=AC=1，再利用勾股定理求出AD的值，最后計算求解即可。

11．【答案】（答案不唯一）

【知識點】正方形的判定

【解析】【解答】解：根據一個內角為90°的菱形是正方形，可知添加的條件是∠ABC=90°，

故答案為：（答案不唯一）.

【分析】根據正方形的判定方法，結合圖形求解即可。

12．【答案】如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：設相鄰兩個結點的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，

∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，

∴以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形．（如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）

故答案為：如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷求解即可。

13．【答案】2

【知識點】一元二次方程的其他應用

【解析】【解答】解：由題意可得：，

解得：，

即電流的值是A，

故答案為：.

【分析】根據題意先求出，再計算求解即可。

14．【答案】5

【知識點】勾股定理；矩形的性質；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，點M為AD的中點

∴點O為AC的中點，BC=AD=8，AC=BD

∴MO為三角形ACD的中位線

∴MO=CD，即CD=6

∴在直角三角形ACD中，由勾股定理得，AC==10。

∴OB=BD=AC=5.

【分析】根據矩形的性質以及中位線定理，求出CD的長度，在直角三角形ACD中，根據勾股定理計算AC的長度即為BD的長度，即可得到OB的長度。

15．【答案】

【知識點】勾股定理；菱形的性質；四邊形-動點問題

【解析】【解答】解：如圖所示，連接AC，作點M關于BD的對稱點為M'，連接AM交BD于N'，連接MN'，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∵點M是邊AD的中點，點M關于BD的對稱點為M'，

∴M'為CD的中點，

∴AM=AD=2，DM'=CD=2，MN'=M'N'.

∴AM'⊥CD，此時AN'+N'M'最小，

即△AMN周長的最小，

∴，

∴△AMN周長的最小值是AM+AN'+N'M=AM+AN'+N'M'=AM+AM'=2+，

故答案為：2+.

【分析】根據菱形的性質求出∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，再根據線段的中點求出AM=AD=2，DM'=CD=2，MN'=M'N'，最后利用勾股定理計算求解即可。

16．【答案】（1）解：原式

．

（2）解：原式

．

【知識點】二次根式的加減法；二次根式的混合運算

【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減法則計算求解即可；

（2）利用二次根式的加減乘除法則計算求解即可。

17．【答案】解：

當時，

原式

．

【知識點】利用整式的混合運算化簡求值

【解析】【分析】先化簡代數式，再將a和b的值代入計算求解即可。

18．【答案】解：如圖，正方形即為所求；

，

【知識點】勾股定理；正方形的性質

【解析】【分析】先作圖，再結合圖形，利用勾股定理和正方形的面積公式計算求解即可。

19．【答案】證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∵點分別是的中點，

∴由中位線性質可知，，

∵點分別是的中點，

∴由中位線性質可知，，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形．

【知識點】平行四邊形的判定與性質

【解析】【分析】利用平行四邊形的性質求出，再求出，，最后利用平行四邊形的判定方法證明求解即可。

20．【答案】（1）解：由圖1可得繩子的長度比旗桿的高度多1米，

設旗桿的高度為米，則繩子的長度為米

由圖2可得，在中，，

，

解得，，

答：旗桿的高度為米．

（2）解：旗桿的高度．（不唯一，合理即可）．

【知識點】勾股定理的應用

【解析】【分析】（1）根據題意先求出，再利用勾股定理計算求解即可；

（2）根據題意作答求解即可。

21．【答案】（1）解：由梯形的面積公式可得

∵兩種方法表示梯形的面積相等，

∴

∴．

（2）9.6

【知識點】三角形的面積；勾股定理；菱形的性質

【解析】【解答】解：（2）∵在菱形中，對角線相交于點O，，

∴，AC⊥BD，OB=8，OC=6，

∴，

∴之間的距離為96÷10=9.6，

故答案為：9.6.

【分析】（1）結合圖形，利用梯形和三角形的面積公式計算求解即可；

（2）利用菱形的面積公式和勾股定理計算求解即可。

22．【答案】（1）解：四邊形正方形

證明：∵四邊形是矩形，

∴，

又∵△是由折疊得到的，

∴，

∴四邊形是正方形；

（2）解：∵四邊形是矩形，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，

∴，

∴，

由折疊可得，，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（3）

【知識點】三角形全等及其性質；矩形的判定與性質；正方形的判定與性質

【解析】【解答】（3）解：∵矩形，正方形，，

∴，

∴，

在中，，

由（2）知：，

∴

∴，

設，則：，

在中，，即：，

解得：，

∴，

∴的周長為：．

故答案為：．

【分析】（1）利用矩形的性質求出，再根據折疊的性質和正方形的性質求解即可；

（2）利用矩形的性質求出，再求出，最后利用全等三角形的判定與性質證明求解即可；

（3）結合圖形，利用矩形的性質計算求解即可。

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山西省呂梁市孝義市2022-2023學年八年級下學期數學期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·孝義期中）若二次根式在實數范圍內有意義，則a的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，

∴2-a≥0，

解得：a≤2，

故答案為：D.

【分析】根據二次根式有意義的條件求出2-a≥0，再計算求解即可。

2．（2023八下·孝義期中）下列二次根式中，可以與合并的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】二次根式的性質與化簡；同類二次根式

【解析】【解答】解：A：，不能與合并，不符合題意；

B：，能與合并，符合題意；

C：，不能與合并，不符合題意；

D：，不能與合并，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】先化簡二次根式，再利用同類二次根式的定義判斷求解即可。

3．（2023八下·孝義期中）下列計算正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A：，計算錯誤；

B：，計算錯誤；

C：，計算正確；

D：，計算錯誤；

故答案為：C.

【分析】利用同類二次根式，二次根式的乘除法則計算求解即可。

4．（2023八下·孝義期中）下列各組數中不能作為直角三角形三邊長的是（）

A．，，B．，，C．，，D．，，

【答案】A

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.，不能構成直角三角形，符合題意；

B.，能構成直角三角形，不符合題意；

C.，能構成直角三角形，不符合題意；

D.，能構成直角三角形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用勾股定理的逆定理判斷求解即可。

5．（2023八下·孝義期中）如圖，在中，，在數軸上，點所表示的數為1，以點為圓心，長為半徑畫弧，在點左側交數軸于點，則點表示的數是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】勾股定理

【解析】【解答】解：∵在中，，

∴，

∴點D表示的數是：，

故答案為：C.

【分析】利用勾股定理求出AB的值，再計算求解即可。

6．（2023八下·孝義期中）如圖，在中，對角線相交于點，過點作交于點，連接．若的周長為20，則的周長為（）

A．5B．10C．15D．20

【答案】B

【知識點】平行四邊形的性質

【解析】【解答】解：∵在中，對角線相交于點，

∴點O是BD中點，

∵OE⊥BD，

∴OE是線段BD的中垂線，

∴EB=ED，

∴△ABE的周長為：AB+BE+AE=AB+DE+AE=AB+AD，

∵的周長為20，

∴AB+AD=10，

即△ABE的周長為10，

故答案為：B.

【分析】根據平行四邊形的性質求出點O是BD中點，再求出EB=ED，最后計算求解即可。

7．（2023八下·孝義期中）在學習平行四邊形時，我們先學行四邊形的性質定理、判定定理，再通過平行四邊形邊、角的特殊化，獲得了特殊的平行四邊形——矩形、菱形和正方形，了解了它們之間的關系，并根據它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的性質定理和判定定理．在學習這些知識的過程中，主要體現的數學思想是（）

A．方程思想B．數形結合思想

C．從特殊到一般思想D．從一般到特殊思想

【答案】D

【知識點】數學思想

【解析】【解答】解：由題意可得：在學習這些知識的過程中，主要體現的數學思想是從一般到特殊的思想，

故答案為：D.

【分析】先讀題，再理解題意，對每個選項一一判斷即可。

8．（2023八下·孝義期中）如圖，在矩形中，對角線相交于點，，，，若四邊形的周長為12，則的長為（）

A．3B．6C．D．

【答案】D

【知識點】平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的性質

【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠BOC=120°，

∴AC=BD，∠AOB=60°，

∵矩形對角線相互平分，

∴OA=OB=OC=OD，△AOB是等邊三角形，

∴AB=OA=OB=OC=OD，

∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC=AB，

∵AM//BD，DM//AC，

∴四邊形AODM是平行四邊形，

∵OA=OD，

∴四邊形AODM是菱形，

∴OA=OD=DM=AM，

∵菱形AODM的周長為12，

∴AB=3，

∴BC=AB=，

故答案為：D.

【分析】根據矩形的性質求出AC=BD，∠AOB=60°，再利用菱形的判定方法求出四邊形AODM是菱形，最后計算求解即可。

9．（2023八下·孝義期中）如圖，依次連接周長為1的小等邊三角形各邊的中點，得到第二個小等邊三角形，再依次連接第二個小等邊三角形各邊的中點，得到第三個小等邊三角形……按這樣的規(guī)律，第2023個小等邊三角形的周長為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】等邊三角形的性質；探索圖形規(guī)律；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：如圖所示：

∵D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，

∴DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，

∴DE=AC，DF=BC，BF=AB，

∴△DEF的周長=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=，

∴第二個三角形的周長為，

同理可得，第三個三角形的周長是，

……

∴第2023個小等邊三角形的周長為，

故答案為：B.

【分析】根據三角形中位線定理求出DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，再求出第三個三角形的周長是，最后找出規(guī)律計算求解即可。

10．（2023八下·孝義期中）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，我們可以折疊出一個黃金矩形．第一步，在一張矩形紙片的一端利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，折痕是；第三步，折出內側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，折痕為；第四步，如圖4，展平紙片，按照所得的點折出，使．則下列是黃金矩形的是（）

A．矩形B．矩形C．矩形D．矩形

【答案】C

【知識點】勾股定理；矩形的性質；正方形的性質

【解析】【解答】解：根據題意可得：四邊形NCBM為正方形、四邊形MNAH、HACB、BCDF、ADFH為長方

形，且MN=AH=BC=DF=BM=NC，AB=AD，

令正方形NCBM邊長為2，則MN=BC=DF=AH=2，

∵點H、A分別為MB、NC的中點，

∴MH=BH=NA=AC=1，

∴，

∴CD=BF=AD-AC=，

∵，，，，

∴矩形BCDF為黃金矩形，

故答案為：C.

【分析】根據題意先求出MH=BH=NA=AC=1，再利用勾股定理求出AD的值，最后計算求解即可。

二、填空題

11．（2023八下·孝義期中）如圖，菱形的對角線與交于點，請你添加一個條件使它是正方形，你添加的條件是

【答案】（答案不唯一）

【知識點】正方形的判定

【解析】【解答】解：根據一個內角為90°的菱形是正方形，可知添加的條件是∠ABC=90°，

故答案為：（答案不唯一）.

【分析】根據正方形的判定方法，結合圖形求解即可。

12．（2023八下·北京期末）在沒有直角工具之前，聰明的古埃及人用如圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中5這條邊所對的角便是直角．依據是．

【答案】如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形

【知識點】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：設相鄰兩個結點的距離為m，則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，

∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，

∴以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形．（如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）

故答案為：如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷求解即可。

13．（2023八下·孝義期中）電流通過導線時會產生熱量，電流I（單位：A）、導線電阻R（單位：）、通電時間t（單位：s）與產生的熱量Q（單位：J）滿足．已知導線的電阻為9，1s時間導線產生72J的熱量，則電流的值是A．

【答案】2

【知識點】一元二次方程的其他應用

【解析】【解答】解：由題意可得：，

解得：，

即電流的值是A，

故答案為：.

【分析】根據題意先求出，再計算求解即可。

14．（2023八下·封開期末）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，M是AD的中點，若OM=3，BC=8，則OB的長為。

【答案】5

【知識點】勾股定理；矩形的性質；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，點M為AD的中點

∴點O為AC的中點，BC=AD=8，AC=BD

∴MO為三角形ACD的中位線

∴MO=CD，即CD=6

∴在直角三角形ACD中，由勾股定理得，AC==10。

∴OB=BD=AC=5.

【分析】根據矩形的性質以及中位線定理，求出CD的長度，在直角三角形ACD中，根據勾股定理計算AC的長度即為BD的長度，即可得到OB的長度。

15．（2023八下·孝義期中）如圖，菱形的邊長為4，，點是邊的中點，點是對角線上一動點，則周長的最小值是．

【答案】

【知識點】勾股定理；菱形的性質；四邊形-動點問題

【解析】【解答】解：如圖所示，連接AC，作點M關于BD的對稱點為M'，連接AM交BD于N'，連接MN'，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，

∴∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∵點M是邊AD的中點，點M關于BD的對稱點為M'，

∴M'為CD的中點，

∴AM=AD=2，DM'=CD=2，MN'=M'N'.

∴AM'⊥CD，此時AN'+N'M'最小，

即△AMN周長的最小，

∴，

∴△AMN周長的最小值是AM+AN'+N'M=AM+AN'+N'M'=AM+AM'=2+，

故答案為：2+.

【分析】根據菱形的性質求出∠CAD=∠ACD=∠ADC=60°，再根據線段的中點求出AM=AD=2，DM'=CD=2，MN'=M'N'，最后利用勾股定理計算求解即可。

三、解答題

16．（2023八下·孝義期中）計算

（1）

（2）

【答案】（1）解：原式

．

（2）解：原式

．

【知識點】二次根式的加減法；二次根式的混合運算

【解析】【分析】（1）利用二次根式的加減法則計算求解即可；

（2）利用二次根式的加減乘除法則計算求解即可。

17．（2023八下·孝義期中）已知，，求的值．

【答案】解：

當時，

原式

．

【知識點】利用整式的混合運算化簡求值

【解析】【分析】先化簡代數式，再將a和b的值代入計算求解即可。

18．（2023八下·孝義期中）如圖，在邊長均為1的小正方形網格中，線段的端點都在格點上．（小正方形的頂點叫格點．）

實踐與操作：

以為一邊作正方形；（點C，D畫在格點上）

推理與計算：

線段的長為▲，正方形的面積為▲．

【答案】解：如圖，正方形即為所求；

，

【知識點】勾股定理；正方形的性質

【解析】【分析】先作圖，再結合圖形，利用勾股定理和正方形的面積公式計算求解即可。

19．（2023八下·孝義期中）如圖，的對角線交于點，點分別是的中點，依次連接．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∵點分別是的中點，

∴由中位線性質可知，，

∵點分別是的中點，

∴由中位線性質可知，，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形．

【知識點】平行四邊形的判定與性質

【解析】【分析】利用平行四邊形的性質求出，再求出，，最后利用平行四邊形的判定方法證明求解即可。

20．（2023八下·孝義期中）某校“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動．他們制訂了測量方案，并利用課余時間完成了實地測量，測量結果如下表（不完整）．

課題測量學校旗桿的高度

成員組長：組員：，，

工具皮尺等

測量示意圖說明：線段AB表示學校旗桿，垂直地面于點B，如圖1，第一次將系在旗桿頂端的繩子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺測出的長度；如圖2，第二次將繩子拉直，繩子末端落在地面的點D處，用皮尺測出的距離．

測量數據測量項目數值

圖1中的長度1米

圖2中的長度米

……

（1）根據以上測量結果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學校旗桿的高度．

（2）該小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表的項目外，你認為還需要補充哪些項目（寫出一個即可）．

【答案】（1）解：