獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想及其初步應(yīng)用 省賽獲獎(jiǎng)

§1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用定量變量的取值一定是實(shí)數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運(yùn)算也有特定的含義.如身高、體重、考試成績(jī)、溫度等等.變量定量變量分類變量?jī)蓚€(gè)定量變量的相關(guān)關(guān)系分析：回歸分析（畫散點(diǎn)圖、相關(guān)指數(shù)R2、殘差分析）（定性變量）對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.在日常生活中，主要考慮分類變量之間是否有關(guān)系：如是否吸煙、是否患肺癌、等等.例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等.分類變量也稱為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個(gè)值兩個(gè)分類變量的相關(guān)關(guān)系的分析：①通過(guò)圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)；②獨(dú)立性檢驗(yàn).不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965由列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況.為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表）：不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小.從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例.上面我們通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來(lái)考察這個(gè)問(wèn)題.現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)：H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：如果“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例應(yīng)差不多，即|ad-bc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|ad-bc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng).為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小.由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得K2的觀測(cè)值為：（1）其中n=a+b+c+d為樣本容量.在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率：也就是說(shuō)，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過(guò)6.635的頻率約為0.01，是一個(gè)小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測(cè)值為56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”

但這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01，即我們有99％的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.利用隨機(jī)變量K2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn).獨(dú)立性檢驗(yàn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)首先，假設(shè)結(jié)論不成立，即H：兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系

（在這種假設(shè)下k應(yīng)該很?。┢浯?，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算K的觀測(cè)值k，

（如果k很大，則在一定可信程度上說(shuō)明H不成

立,即兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系）最后，根據(jù)k的值判斷假設(shè)是否成立2臨界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445

k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（2）如果k>7.879，就有99.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（3）如果k>6.635，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（4）如果k>5.024，就有97.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（5）如果k>3.841，就有95%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；（6）如果k>2.706，就有90%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；臨界值這種判斷可能有錯(cuò)誤，但是犯錯(cuò)誤的不會(huì)超過(guò)0.001，這是個(gè)小概率時(shí)間，我們有99.9%的把握認(rèn)為“吸煙與患癌癥有關(guān)系”例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)來(lái)自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體．例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300

由表中數(shù)據(jù)計(jì)算K2的觀測(cè)值k≈4.513。在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系？為什么？而我們所得到的K2的觀測(cè)值k≈4.513超過(guò)3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系”這一結(jié)論錯(cuò)誤的可能性約為0.05（或小于0.05）

，即有95%（或大于95%）的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。解：在假設(shè)“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系”的前提下K2應(yīng)該很小，并且死亡存活總計(jì)第一種劑量141125第二種劑量61925總計(jì)203050種子滅菌種子未滅菌總計(jì)黑穗病26184210無(wú)黑穗病50200250總計(jì)76384460試按照原試驗(yàn)?zāi)康淖鹘y(tǒng)計(jì)分析推斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為種子滅菌和黑穗病有關(guān)系。組別有效無(wú)效總計(jì)化療組192443化療加放療組341044總計(jì)533487問(wèn)兩種療法有無(wú)差別。優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班331245乙班232245總計(jì)563490根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)————2010年(19)(本小題12分)為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：是否需要志愿性別男女需要4030不需要160270估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例2.能否有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？3.根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由（19）解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的