玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計課件

第九章

玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計第九章

玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式§9.2弱簡并玻色氣體和費米氣體§9.3光子氣體§9.4玻色----愛因斯坦凝聚§9.5金屬中的自由電子氣體§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式§9.2弱簡并玻色氣體和費米§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式

玻色分布費米分布9.1.1玻色系統(tǒng)把

,

和y看作由實驗確定的參量.1

、巨配分函數(shù)§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式玻色分布費米分布9.1取對數(shù)為對

取偏導(dǎo)為2、系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)取對數(shù)為對取偏導(dǎo)為2、系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)3、系統(tǒng)的內(nèi)能4、廣義作用力重要特例（證明略）（證明略）3、系統(tǒng)的內(nèi)能4、廣義作用力重要特例（證明略）（證明5、系統(tǒng)的熵統(tǒng)計表達式由開系方程1/T

是dS的積分因子配分函數(shù)

＝

（

，

，

y）的全微分為根據(jù)前面求出的已知量，可求得

(拉氏乘法原理，加上一個為0的項)5、系統(tǒng)的熵統(tǒng)計表達式由開系方程1/T是dS的積分因子上式指出

是的積分因子。

令上式指出是的積分因子。令積分得系統(tǒng)的熵統(tǒng)計表達式玻耳茲曼關(guān)系

熵與微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系6、巨熱力學(xué)化學(xué)勢巨熱力勢J與巨配分函數(shù)的關(guān)系：積分得系統(tǒng)的熵統(tǒng)計表達式玻耳茲曼關(guān)系熵與微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系69.1.2費米系統(tǒng)巨配分函數(shù)其對數(shù)為平均總粒子數(shù)內(nèi)能廣義作用力重要特例熵玻耳茲曼關(guān)系巨熱力勢9.1.2費米系統(tǒng)巨配分函數(shù)其對數(shù)為平均總粒子數(shù)內(nèi)能廣義§

9.2弱簡并玻色氣體和費米氣體

1、滿足經(jīng)典極限條件的氣體稱為非簡并性氣體

2、需要用玻色分布或費米分布討論的氣體稱為簡并性氣體其中又分為完全簡并氣體和弱簡并氣體．

１、分子的能量9.2.2弱簡并氣體（不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動自由度）9.2.1分類§

9.2弱簡并玻色氣體和費米氣體1、滿足經(jīng)典

在體積V內(nèi)，在

到

+d

的能量范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)

其中：g由粒子可能具有自旋而引入的簡并度．

３、系統(tǒng)的總分子數(shù)代入

４、系統(tǒng)的內(nèi)能代入下面要確定式子中的拉氏乘子

．2、微觀狀態(tài)數(shù)在體積V內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，分子

系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)引入變量x=

，且

=1/kT，dx=

d

，

兩式被積函數(shù)的分母表示為代入保留展開的第一項相當于將費米分布近似為玻耳茲曼分布．現(xiàn)在保留兩項，相當于弱簡并的情形。系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)引入變量x=，且=1/k

系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)兩式相除系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)兩式相除玻耳茲曼分布的內(nèi)能微觀粒子全同性原理引起的粒子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能在弱簡并情形下附加內(nèi)能的數(shù)值是小的。費米氣體的附加內(nèi)能為正而玻色氣體的附加內(nèi)能為負。指粒子的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米粒子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。玻耳茲曼分布的內(nèi)能微觀粒子全同性原理引起的粒子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致

在第四章我們根據(jù)熱力學(xué)理論論證過－－平衡輻射的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度的頻率分布只與溫度有關(guān)，并證明了內(nèi)能密度與絕對溫度的四次方成正比。在第八章中又根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計的能量均分定理討論過這一問題，所得內(nèi)能的頻率分布在低頻范圍與實驗符合，在高頻范圍與實驗不符合。更為嚴重的是，根據(jù)能量均分定理有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是發(fā)散的，與實際不符。

本節(jié)根據(jù)量子統(tǒng)計理論，從粒子觀點研究平衡輻射問題?！?.3光子氣體根據(jù)粒子觀點，可以把空窖的輻射場看作光子氣體。

模型：在第四章我們根據(jù)熱力學(xué)理論論證過－－平衡輻射的內(nèi)能密

光子的能量、動量關(guān)系：具有一定的波矢k和圓頻率

的單色平面波與具有一系的光子相應(yīng)，動量p與波矢k，能量

與圓頻率

之間遵從德布羅意關(guān)系9.3.1統(tǒng)計分布光子是玻色子，達到平衡后遵從玻色分布。光子的能量、動量關(guān)系：具有一定的波矢k和圓頻率光子氣體的統(tǒng)計分布由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，光子氣體中光子數(shù)是不守恒的。在導(dǎo)出玻色分布時只存在E是常數(shù)的條件而不存在N是常數(shù)的條件，因而只應(yīng)引進一個拉氏乘子

,

令

＝０。平衡狀態(tài)下光子氣體的化學(xué)勢為零。

體積為V的空窖內(nèi),在p到p+dp的動量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為光子自旋有兩個投影.光子氣體的統(tǒng)計分布由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，光子氣體中

體積為V的空窖內(nèi),p到p+dp的動量范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)(光子自旋有兩個投影)

體積為V的空窖內(nèi)，在

到

+d

的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)每個量子態(tài)上的平均光子數(shù)體積為V的空窖內(nèi),p到p+dp的動量范圍內(nèi)，光子9.3.2輻射場的內(nèi)能普朗克公式上式所給出的輻射場內(nèi)能按頻率的分布與實驗結(jié)果完全符合。1、低頻2、高頻維恩公式瑞利－金斯公式9.3.2輻射場的內(nèi)能普朗克公式上式所給出的輻射場內(nèi)能按頻

10-14Hz6543210M

T=2000K實驗曲線和普朗克公式維恩公式瑞利—金斯公式普朗克公式所給出的輻射場內(nèi)能按頻率的分布與實驗結(jié)果完全符合。10-14Hz6MT=2000K實驗曲線和普朗克公式維

1896年得到的公式，表明U隨

的增加而迅速趨近于0．溫度為T時的平衡輻射中，高頻光子幾乎不存在．此時窖壁發(fā)射高頻光子的概率是極小的。將普朗克公式積分，得到空窖輻射內(nèi)能引入變量x=?

／kT(kT/?)dx=d

1896年得到的公式，表明U隨的增加而迅速趨表明：平衡輻射的內(nèi)能密度與絕對溫度的四次方成正比．斯特藩－玻耳茲曼公式空窖輻射內(nèi)能表明：平衡輻射的內(nèi)能密度與絕對溫度的四次方成正比．斯特藩－玻根據(jù)普朗克公式的變式空窖輻射內(nèi)能密度隨

的分布有一個極大值

m

．

m可以由決定出來.其解為上式可化為

m

與溫度T成正比．這個結(jié)論稱為維恩位移定律．根據(jù)普朗克公式的變式空窖輻射內(nèi)能密度隨的分布有一個極大9.3.3光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)1、巨配分函數(shù)取對數(shù)為令

＝０(光子自旋有兩個投影)

體積為V的空窖內(nèi)，在

到

+d

的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)9.3.3光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)1、巨配分函數(shù)取對引入變量x=?

／kT

(kT/?)dx=d

引入變量x=?／kT(kT/?)dx=d００2、內(nèi)能3、廣義作用力(光子氣體的壓強)比較得4、熵令

＝０光子氣體的熵隨T→0而趨于0．符合熱力學(xué)第三定律的要求．5、輻射通量密度2、內(nèi)能3、廣義作用力(光子氣體的壓強)比較得4、熵令§9.4玻色----愛因斯坦凝聚本節(jié)討論簡并理想玻色氣體在動量空間的凝聚問題。

考慮由Ｎ個全同，近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)，溫度為T，體積為V．設(shè)粒子自旋為零，根據(jù)玻色分布，處在能級

l

的粒子數(shù)為從上式可看出，這要求對所有能級

l

均有

以

0

表粒子的最低能級，這個要求也可以表達為

顯然，處在任一個能級的粒子都不能取負值。

說明：理想玻色氣體的化學(xué)勢必須低于粒子最低能級的能量?！?.4玻色----愛因斯坦凝聚本節(jié)討論簡并理想玻如果取最低能級為能量的零點即

0

＝０，則上式可以表為化學(xué)勢

由公式

確定為溫度T及粒子數(shù)密度n=N/V的函數(shù)。在粒子數(shù)密度n給定的情形下，溫度越低由上式確定的

值必然越高。如果將上式的求和用積分代替，可將之表達為其中用了態(tài)密度的公式．適用于熱力學(xué)極限或能級間距遠小于kT的情況．如果取最低能級為能量的零點即0＝０，化學(xué)勢由公式臨界溫度TC由下式定出利用積分因此對給定的粒子數(shù)密度n，臨界溫度TC為化學(xué)勢既隨溫度的降低而升高，當溫度降到某一臨界溫度TC時，

將趨于-0。這時趨于１。臨界溫度TC由下式定出利用積分因此對給定的粒子數(shù)密度n，臨溫度低于時會出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？溫度越低時，化學(xué)式

越高，但在任何溫度下

必是負的．化學(xué)勢既隨溫度的降低而升高，T<TC時，

仍趨于-0。改寫為第一項：n0(T)是溫度為T時處在能級

＝０的粒子數(shù)密度，第二項：處在激發(fā)能級

＞０的粒子數(shù)密度n

＞０

，將積分代替求和時所產(chǎn)生的誤差不可以忽略時，溫度低于時會出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？溫度越低時，化學(xué)式越高，但計算第二項：利用積分處在激發(fā)能級

＞０的粒子數(shù)密度計算第二項：利用積分處在激發(fā)能級＞０的粒子數(shù)密度溫度為T時處在能級

＝0的粒子數(shù)密度

在TC以下，n0與n具有相同的量級，n0隨溫度的變化如圖所示．表明：在T<TC時宏觀量級的粒子在能級

＝0凝聚．1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0溫度為T時處在能級＝0的粒子數(shù)密度在在絕對零度下，粒子盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)。對于玻色粒子，一個個體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)目不受限制。絕對零度下，玻色粒子將全部處在

＝0的最低能級。在T<TC時宏觀量級的粒子在能級

＝0凝聚。這一現(xiàn)象稱為玻色－愛因斯坦凝聚，簡稱玻色凝聚。

TC稱為凝聚溫度。凝聚在

0的粒子集合稱為玻色凝聚體。凝聚體不但能量為零；動量也為零，對壓強沒有貢獻。由于凝聚體的的微觀狀態(tài)完全確定，熵也為零。Ketterle在鈉原子氣中實現(xiàn)的BEC玻色-愛因斯坦凝聚仿真在絕對零度下，粒子盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)。Kette在T<TC時，理想玻色氣體的內(nèi)能是處在能級

＞0的粒子能量的統(tǒng)計平均值利用積分在T<TC時，理想玻色氣體的內(nèi)能是處在能級＞0的粒子定容熱容量為表明：在T<TＣ時，理想玻色氣體的定容熱容量與T3/2成正比。

T=TC時，理想玻色氣體的定容熱容量達到最大值1.925Nk.

高溫時，理想玻色氣體的定容熱容量應(yīng)趨于經(jīng)典值3/2Nk.2.02.0CＶ/NkT/TC1.01.03/2

在T=TC時的尖峰處，理想玻色氣體的定容熱容量連續(xù)。但理想玻色氣體的定容熱容量對T的偏導(dǎo)數(shù)存在突變。定容熱容量為表明：在T<TＣ時，理想玻色氣體的定容愛因斯坦的理論預(yù)言以后，如何在實驗中實現(xiàn)并觀察到玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象，成為人們關(guān)注的問題．2213446810T/KCV/(J?g-1?K-1)將4He的數(shù)據(jù)m=6.65×10-27kg，Vm=27.6×10-6m3?mol-1代入到臨界溫度的表達式算得TC=3.13K，與T

相接近．

4He是玻色子，大氣壓下4He的沸點是4.2K，液4He在T

=2.17K發(fā)生一個相變，稱為

相變。溫度高于T

時，液4He是正常液體，稱為HeI；溫度低于T

時，液4He具有超流動性，稱為液HeII．愛因斯坦的理論預(yù)言以后，如何在實驗中實現(xiàn)并觀察到玻色－愛發(fā)現(xiàn)的超流性質(zhì)后，倫敦在1938年提出4He的

相變可能是一種玻色凝聚．超流與凝聚在

＝０的玻色凝聚體有關(guān)．當然液4He不是理想玻色系統(tǒng)，其原子之間存在很強的相互作用，使對4He中玻色凝聚的理論分析及其與實驗的比較變得復(fù)雜化．改寫為滿足上式時，原子的熱波長與平均間距具有相同的量級．量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)起著決定性的作用．出現(xiàn)凝聚體條件可以通過減低溫度和增加氣體粒子數(shù)密度實現(xiàn)玻色凝聚．將式子發(fā)現(xiàn)的超流性質(zhì)后，倫敦在1938年提出4He的相變可能§9.5金屬中的自由電子氣體9.5.1簡化模型

假設(shè)在晶格之中,晶格對電子沒有吸引力,即勢場中的電勢為0.在引力場中運動的電子之間,斥力為0.

這樣的價電子可以看作處在一個恒定的勢阱中的自由電子.形成自由電子氣體.自由電子模型容易解釋金屬的導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性.原子結(jié)合成金屬后,價電子脫離原子在整個金屬中運動,失去價電子后的原子變?yōu)殡x子.§9.5金屬中的自由電子氣體9.5.1簡化模型9.5.2統(tǒng)計理論1.電子自旋為1/2.是費米子.2.遵從量子統(tǒng)計的費米分布3.溫度為T時,處在能量為

的一個量子態(tài)上的平均粒子數(shù):4.考慮到電子自旋在其動量的方向的投影有兩個可能值，在體積V內(nèi)，在

到

＋d

的能量范圍內(nèi)，電子的量子態(tài)數(shù)為9.5.2統(tǒng)計理論1.電子自旋為1/2.是費米子.5.在體積V內(nèi)，在

到

＋d

的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為6.在給定電子數(shù)N，溫度T和體積V時，則化學(xué)勢

由下式確定可知,

是溫度T和電子密度N/V的函數(shù).5.在體積V內(nèi)，在到＋d的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)以

(0)表示0K時電子氣體的化學(xué)勢。9.5.3T=0K時電子的基態(tài)分布T=0K時,處在能量為

的一個量子態(tài)上的平均粒子數(shù):

(0)時

(0)時1.用圖形表示為01f

(0)

2.意義：在T=0K時，在

(0)的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為1，在

(0)的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為零。以(0)表示0K時電子氣體的化學(xué)勢。9.5.3T此分布可以這樣理解：在0K時電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一量子態(tài)最多只能容納一個電子，因此電子從

=0的狀態(tài)起依次填充至

(0)止。

3.

(0)是0K時電子的最大能量，由下式確定：

０１01f

(0)此分布可以這樣理解：在0K時電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀積分4.p(0)是0K時電子的最大動量稱為費米動量給定溫度T和電子密度N/V.就可求出

(0)．例如：銅的N/V＝8.5×1028m-3,得

(0)=1.1×10-18J積分4.p(0)是0K時電子的最大動量稱為費米動量給5.0K時，電子氣體的內(nèi)能.也就是總內(nèi)能各個能級6.

0K時，電子氣體的平均能量5.0K時，電子氣體的內(nèi)能.也就是總內(nèi)能各個能級6.7.

定義費米溫度例如：銅的TF＝7.8×104K.

8.一般情況下，金屬中自由電子氣體的化學(xué)勢

與

(0)的數(shù)值很接近．化學(xué)勢

也常稱為費米能量或費米能級．以

F表示．一般情形下，

>>kT．金屬中自由電子氣體是高度簡并的．7.定義費米溫度例如：銅的TF＝7.8×104K.9.5.4

T＞0K時電子的分布溫度為T時,處在能量為

的一個量子態(tài)上的平均粒子數(shù):

時

時1.用圖形表示為

＝

時每一量子態(tài)上平均電子數(shù)大于1/2每一量子態(tài)上平均電子數(shù)等于1/2每一量子態(tài)上平均電子數(shù)小于1/2函數(shù)按指數(shù)規(guī)律隨

變化，實際上只在

附近數(shù)量級為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與T=0K時的分布有差異．

01f

1/29.5.4T＞0K時電子的分布溫度為T時,處在能量為在0K時，電子占據(jù)了從0到

(0)的每一個量子態(tài)．溫度升高時，電子有可能躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去．但處在低能態(tài)的電子要躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去，必須吸取很大的能量，而這種可能性是很小的．

2.根據(jù)這一考慮可以粗略估計電子氣體的熱容量．在

附近，數(shù)量級為kT的能量范圍內(nèi)的對熱容量有貢獻的有效電子數(shù)

01f

1/2只在

附近數(shù)量級為kT的能量范圍內(nèi)電子能夠躍遷．因此，只在

附近，數(shù)量級為kT的能量范圍內(nèi)的電子