平板湍流邊界層

平板湍流邊界層第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層§湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構§湍流平板邊界層的紊動特性§湍流平板邊界層的能量平衡§湍流平板邊界層厚度和阻力

§粗糙平板紊流邊界層第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層平板邊界層流動中，勢流流速和壓強在整個流場中均為常數(shù)。當邊界層雷諾數(shù)

達到臨界值后，邊界層流動將可能由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。湍流邊界層中的流速分布、阻力?guī)律、邊界層厚度的沿程發(fā)展等均與層流邊界層不同。而且在湍流邊界層流動中又因固體壁面的光滑或粗糙而使得流動情況發(fā)生變化。湍流平板邊界層流動是一種基本的流動現(xiàn)象，對于航空、造船、化工、水力機械和水工建筑物的設計都有重要的意義。第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層像圓管湍流一樣，湍流平板邊界層流動也是壁面湍流的一種，只不過固體邊界的特征不同。圓管湍流是流動發(fā)生在由固體邊界所包圍的空間內(nèi)，因而固體邊界限制了湍流的發(fā)展。而平板邊界層流動則是流動發(fā)生在某一固體壁面上，在固體壁面上的湍流邊界層可以沿程發(fā)展而其上邊界不受固體邊界的限制。但是湍流邊界層與圓管湍流在流動特點方面也有很多共同之處。第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層§湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構

湍流邊界層微分方程式可由雷諾方程出發(fā)：考慮邊界層近似，而得到二維湍流邊界層方程。

定常，二維雷諾方程：

表示沿固體壁面的邊界層坐標，為壁面外法線方向坐標。第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構由經(jīng)驗，在湍流中三個方向的湍流強度，，基本上具有同一量級，因此引入一個共同的脈動流速的尺度

。對于湍流切應力，則需引入相關函數(shù)假定

，

，

大致具有1的量級。在邊界層流動中，順流方向的長度尺度與垂直方向尺度相比甚大，

的量級小于

的量級，保留

。又在湍流邊界層中，粘性切應力與湍流切應力均應保留：

第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構流向動量湍流邊界層方程：

上式如無量綱化，則除

項外，其余各項量級均為1，因此要保留

項，則必須：所以：即無量綱雷諾應力的量級為

的量級，

為當?shù)貏萘髁魉?。?頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構法向動量湍流邊界層方程：與層流邊界層中結論相同，即在湍流邊界層中同樣壓強沿y軸是均勻分布的，與邊界層外邊緣處勢流壓強相同。邊界條件：

第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構所有脈動分量在固體壁面處均應消失，而在很靠近壁面處，脈動分量的數(shù)值很小。由此可知在固體壁面處所有雷諾應力均為零，只有粘性切應力存在。由此可以想見在緊靠壁面處存在一個極薄的流層，在這層流動里湍流切應力和流速的脈動均很微弱，由于這里流速很小，粘性力大于慣性力，這一流層即為粘性底層。緊靠粘性底層上部，存在一層過渡區(qū)。過渡區(qū)中湍動劇烈，湍流切應力顯著增加。過渡區(qū)以外則湍流切應力占主導地位，是為湍流層或稱對數(shù)層。第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月紊流邊界層的流速分布在其不同的分區(qū)中具有不同的規(guī)律，與圓管紊流相似。圖11-1為紊流邊界層中流速分布分區(qū)結構的典型示意圖。在紊流邊界層中除粘性底層、過渡區(qū)及紊流區(qū)（對數(shù)區(qū)）以外，還存在一個尾流區(qū)或稱為外區(qū)（outerlayer）。而粘性底層、過渡區(qū)和對數(shù)區(qū)則統(tǒng)稱為內(nèi)區(qū)（innerlayer）。在紊流邊界層中，對于分區(qū)界限各家試驗略有出入。一般用y表示x2，認為：粘性底層：過渡區(qū)：對數(shù)區(qū)：以上三個區(qū)域統(tǒng)稱內(nèi)區(qū)。尾流區(qū)（外區(qū)）：湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月平板紊流邊界層各個分區(qū)中的流速分布為：

粘性底層：或?qū)憺椋?1-7）對數(shù)區(qū)：（11-8）尾流區(qū)：（11-9）

（11-10）

稱為尾流函數(shù)（lawofthewake），為尾流強度。

湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月科爾斯（D.Coles）發(fā)現(xiàn)對于零壓梯度的紊流邊界層，當時。圖11-2尾流強度11-1紊流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構下圖給出由斯坦福大學的倫斯塔德勒（P.W.Runstandler）[2]等人制作的一組表示湍流邊界層各分區(qū)中流動特性的照片。這組照片是使用氫氣泡技術以顯示不同流區(qū)的某一高度上邊界層內(nèi)流動狀況，同時還給出在該高度測量的瞬時流速過程線。第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-3給出由斯坦福大學的倫斯塔德勒（P.W.Runstandler）[2]等人制作的一組表示紊流邊界層各分區(qū)中流動特性的照片。這組照片是使用氫氣泡技術以顯示不同流區(qū)的某一高度上邊界層內(nèi)流動狀況，同時還給出在該高度測量的瞬時流速過程線。圖11-3（a）表示處平面上流動顯示，此處位于粘性底層上部或過渡區(qū)下部。由照片可見此處流速具有大小相間的流速帶，紊動劇烈，但紊動的三維性不明顯。圖11-3（b）表示處的流動。此時位于紊流對數(shù)區(qū)，紊流具有明顯的三維性，但從瞬時流速的時間過程線看出此處脈動比處要弱。圖11-3（c）表示處的流動，而圖11-3（d）表示處的流動。這兩個位置均已處于尾流區(qū)中，紊動明顯減弱，當時從瞬時流速時間過程線還可看出紊動已開始具有間歇性質(zhì)。湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖113（a）流動顯示圖，

圖113（a）流動顯示圖，

圖113（c）流動顯示圖，

圖113（d）流動顯示圖，

湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構圖11-3（a）表示

處平面上流動顯示，此處位于粘性底層上部或過渡區(qū)下部。由照片可見此處流速具有大小相間的流速帶，湍動劇烈，但湍動的三維性不明顯。第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月湍流平板邊界層的流速分布與分區(qū)結構圖11-3（b）表示

處的流動。此時位于湍流對數(shù)區(qū)，湍流具有明顯的三維性，但從瞬時流速的時間過程線看出此處脈動比

處要弱。第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月早期對湍流平板邊界層的量測主要是量測其時均流速和壓強的分布。隨著科學技術的發(fā)展，使得對湍動特性：例如湍流度，湍流能量及能譜，湍流切應力等的量測變得既有需要，也有可能。而且只有通過對湍動特性的直接量測才使人們對湍流的機理獲得進一步深入的理解。1954年克萊巴諾夫[3]對零壓梯度湍流平板邊界層進行了量測，得到豐富的成果。試驗是在一個4.5英尺的風洞中進行，光滑平板長12英尺，寬4.5英尺。風洞的湍流度在風速30英尺/秒時為0.02%，在風速100英尺/秒時為0.04%。近壁區(qū)的量測使用熱線風速計。量測斷面距平板前緣為10.5英尺，為充分發(fā)展湍流邊界層。試驗中自由流速（邊界層外的勢流流速)為50英尺/秒。湍流平板邊界層的湍動特性第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖114紊流平板邊界層紊流度沿斷面分布[3]圖11-4分別表示出順流方向x,垂直平板方向y及展向z的紊流度，，。圖中還特別表示了在緊靠壁面處的情況。由圖可以看出各個方向的紊流度均在緊靠固體壁面附近達到其最大值，而固體壁面處由于壁面對脈動的限制，紊流度均為零。順流方向的紊流度最大值約為0.12，表示約為自由流速的12%。垂直紊流度則為0.04.圖11-4中的分布曲線表明在紊流平板邊界層中,展向的脈動值不容忽視。湍流平板邊界層的湍動特性第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-4中還示出了紊流切應力在平板紊流邊界層內(nèi)的分布，圖中無量綱量采用表示單位質(zhì)量切應力的無量綱量。在緊靠壁面處未能量測到有關數(shù)據(jù)。

圖115紊流平板邊界層間歇系數(shù)[3]在邊界層的外邊界，即紊流邊界層與上部勢流的交界面處紊流具有間歇性質(zhì)?？巳R巴諾夫[3]測得的資料顯示，在處，平板紊流邊界層即具有明顯的間歇性質(zhì)，而當時則流速基本上不再呈現(xiàn)脈動。平板紊流邊界層中間歇系數(shù)的分布規(guī)律如圖11-5所示并可用下式表示：（11-11）湍流平板邊界層的湍動特性第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界層內(nèi)紊流與邊界層外勢流的交界面有時稱為邊界層的自由（freeboundary）。圖11-6為自由邊界的示意圖。自由邊界隨時間而變動，具有隨機的性質(zhì)。光滑壁面平板紊流邊界層自由邊界的平均位置為，標準差為。粗糙壁面時自由邊界平均位置在而標準差為。

圖116紊流邊界層自由邊界示意圖湍流平板邊界層的湍動特性第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月為了深入理解邊界層中的紊流結構，常對紊流中兩個相鄰測點同時進行脈動流速的量測，以分析紊流的空間特性。空間相關函數(shù)（spacecorrelationfunction）:湍流平板邊界層的湍動特性第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-7為西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圓管中測得的順流方向脈動流速

和

的典型的相關函數(shù)曲線。其中一個熱線風速計置于圓管的中心處，另一風速計則置于與中心相距

處。當

，表明兩個風速計均在中心處，這時兩個脈動流速

和

相同，從而其相關函數(shù)

。當

逐漸增大，相關函數(shù)值迅速減小。圖中橫坐標用圓管半徑

進行無量綱化。相關函數(shù)的積分:

（11-13）圖11?7空間相關函數(shù)分布[4]表示紊流結構中一個特征長度，稱為紊流長度比尺（lengthscaleofturbulence）。紊流長度比尺表示在紊流中旋渦的平均尺度，流體中某一范圍內(nèi)的流體質(zhì)點作為一個旋渦而運動。圖11-7所表示的流動可得湍流平板邊界層的湍動特性第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月如果相關函數(shù)中的不是在與1不同的位置而是在相同的位置，但是在不同的時間所量測的脈動流速，例如是時的脈動流速而是時量測的脈動流速。這樣得到的相關函數(shù)則稱為自相關函數(shù)（autocorrelationfunction）。同樣地，如果

和表示同一位置處兩個不同方向的脈動流速，其相關系數(shù)也可用（11-12）式表示。，隨成比例下降,當k（或n值相當大時，下降更快，與成比例如圖中②線。紊流的譜分析說明在紊流中包含了各種不同尺度的旋渦。在雷諾數(shù)很大時，這些旋渦的尺度可以有量級上的差別。脈動動能由大的旋渦帶入并逐級傳遞給小尺度的旋渦，通過很小尺度的旋渦由于粘性而將動能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，耗散在流動中?？巳R巴諾夫[3]也量測了平板紊流邊界層的譜分布函數(shù)（spectrumfunction）如圖11-8所示。譜分布函數(shù)的最大值常出現(xiàn)在低頻區(qū)域。當頻率k或波數(shù)n增加，頻譜（或波數(shù)譜）曲線的坡度有如圖中①線圖118紊流平板邊界層頻譜圖[3]湍流平板邊界層的湍動特性第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-7為西蒙斯.（L.F.G.Simmons）[4]在圓管中測得的順流方向脈動流速

和

的典型的相關函數(shù)曲線。其中一個熱線風速計置于圓管的中心處，另一風速計則置于與中心相距

處。當

，表明兩個風速計均在中心處，這時兩個脈動流速

和

相同，從而其相關函數(shù)

。當

逐漸增大，相關函數(shù)值迅速減小。圖中橫坐標用圓管半徑

進行無量綱化。相關函數(shù)的積分:

（11-13）圖11?7空間相關函數(shù)分布[4]表示紊流結構中一個特征長度，稱為紊流長度比尺（lengthscaleofturbulence）。紊流長度比尺表示在紊流中旋渦的平均尺度，流體中某一范圍內(nèi)的流體質(zhì)點作為一個旋渦而運動。圖11-7所表示的流動可得湍流平板邊界層的湍動特性第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月如果相關函數(shù)中的不是在與1不同的位置而是在相同的位置，但是在不同的時間所量測的脈動流速，例如是時的脈動流速而是時量測的脈動流速。這樣得到的相關函數(shù)則稱為自相關函數(shù)（autocorrelationfunction）。同樣地，如果

和表示同一位置處兩個不同方向的脈動流速，其相關系數(shù)也可用（11-12）式表示。，隨成比例下降,當k（或n值相當大時，下降更快，與成比例如圖中②線。紊流的譜分析說明在紊流中包含了各種不同尺度的旋渦。在雷諾數(shù)很大時，這些旋渦的尺度可以有量級上的差別。脈動動能由大的旋渦帶入并逐級傳遞給小尺度的旋渦，通過很小尺度的旋渦由于粘性而將動能轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮?，耗散在流動中?？巳R巴諾夫[3]也量測了平板紊流邊界層的譜分布函數(shù)（spectrumfunction）如圖11-8所示。譜分布函數(shù)的最大值常出現(xiàn)在低頻區(qū)域。當頻率k或波數(shù)n增加，頻譜（或波數(shù)譜）曲線的坡度有如圖中①線圖118紊流平板邊界層頻譜圖[3]湍流平板邊界層的湍動特性第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月恒定二維紊流平板邊界層流動的時均流動部分的能量方程可從式（7-13）進行邊界層近似得到。式（7-13）為由于流動是恒定的，1項可消掉。在平板邊界層中3項為零。在紊流邊界層中，除緊靠壁面的粘性底層內(nèi)，紊流切應力均較粘性切應力大得多，因此4項的粘性擴散項與6項的紊流擴散項相比可以忽略。5項的粘性耗散項與7項的紊流產(chǎn)生項相比可以忽略。最后得到二維紊流平板邊界層的時均流動部分能量方程為：（11-14）湍流平板邊界層的能量平衡第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月即只有時均流速場不均勻而引起的遷移變化，亦稱傳遞項，紊流切應力引起的擴散項或理解為紊流切應力作功及紊流產(chǎn)生項。湯森[5]繪制的紊流平板邊界層內(nèi)時均流動的能量平衡圖如圖11-9所示。圖中各項均以剪切流速作為速度尺度，邊界層厚度作為長度尺度進行了無量綱化，，。由圖可見，對于時均流動，產(chǎn)生項在整個斷面內(nèi)均為損失。產(chǎn)生項在邊界層內(nèi)區(qū)最大，隨著

的增加而減小。說明紊動主要在近壁區(qū)產(chǎn)生。時均流動的能量在這里損失一部分變?yōu)槊}動的能量。對于時均流動來說，它的能量將主要來自于傳遞項，即由上游傳遞來的能量。在邊界層的中部，之間傳遞能量最大。紊流擴散項在邊界層的上部為損失而在邊界層的內(nèi)區(qū)為增長，說明紊流切應力作功使得時均流動損失了部分能量，同時也將上部由傳遞項得到的能量擴散到內(nèi)區(qū)，以供給產(chǎn)生項。在斷面中的每一高程處，能量的增長與損失都是平衡的，但在不同高程的流層中能量增長與損失的機制不同，而且流層之間通過紊流擴散有能量的相互交換。圖119平板紊流邊界層時均能量斷面平衡圖[5]湍流平板邊界層的能量平衡第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月恒定二維紊流平板邊界層流動的脈動流動部分的能量方程可以從（7-14）式進行邊界層近似得到。

式（7-14）為：（7-14）流動的恒定使1項消失。在二維邊界層流動中，設流動的恒定使1項消失。在二維邊界層流動中，設

方向的長度尺度為

，速度尺度為

；

方向長度尺度為

，速度尺度為

。由連續(xù)方程可知：（11-15）又因邊界層中

由（11-4）式已知~，因此脈動動能~。湍流平板邊界層的能量平衡第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月在由（7-14）式寫出二維邊界層能量方程的過程中，首先

得：（11-16）每一項下均注明其尺度。式中表示脈動速度在空間變化的一個長度尺度，除了極靠近壁面的流層以外，遠比為小，最多達到的量級。上式左側兩項具有相同的量級?，F(xiàn)規(guī)定和的量級為1，則右側各項量級相應為：，，，

湍流平板邊界層的能量平衡第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月其中第一項量級，顯然這一項比左側兩項的量級為大。第二項中，雖小于1，但因，總的量級仍大于1。第三項中相當一個雷諾數(shù)，由于它所采用的長度尺度為，所以它不是一個大數(shù)。特別是在粘性底層和過渡區(qū)中，它的量級小于的量級。第四項顯然大于第三項。由此，方程式右側四項的量級均大于左側兩項，故在平板邊界層中靠近固體壁面的粘性底層及過渡區(qū)中有：（11-17）湍流平板邊界層的能量平衡第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月在不可壓縮流體的情況下，，所以方程式（11-17）于是可寫為：（11-18）對于距壁面稍遠的對數(shù)區(qū)，可達到的量級，脈動遷移項的量級將小于產(chǎn)生項的量級，因而可忽略遷移項。另外耗散項將大于脈動擴散項。因此得到在對數(shù)區(qū)產(chǎn)生項與耗散項應互相平衡，即：（11-19）湍流平板邊界層的能量平衡第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月對于邊界層的外區(qū)，由于時均流速變大，時均遷移項與脈動遷移項均應保留。只有脈動粘性應力作功的一項可以忽略。脈動部分能量方程即可寫為：（11-20）當接近邊界層的外邊界時，相關函數(shù)變得很小，而且也變得很小，因此產(chǎn)生項將可以忽略。耗散項也將變得很小，可以想見只有時均流動的遷移項和脈動遷移項互相平衡。湍流平板邊界層的能量平衡第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由于量測了紊流脈動動能，紊流切應力和耗散從而可以由（11-16）式或（11-20）式得到紊流平板邊界層中脈動能量的平衡圖，如圖11-10所示。圖11-10同樣為湯森[5]所繪制。由圖可見，對于脈動動能而言，產(chǎn)生項和耗散項最重要。對于脈動動能，產(chǎn)生項為正值，即增長。圖11?10平板紊流邊界層脈動能量斷面平衡圖[5]統(tǒng)觀圖11-9及圖11-10可以對邊界層中各種能量的轉(zhuǎn)換，增長和損失得到清晰的物理圖案，同時對紊流邊界層中各個流層的不同特點得到更深入的理解。而耗散項為負值，即損失。在近壁區(qū)，產(chǎn)生項和耗散項均有最大數(shù)值，而且兩項數(shù)值基本相同，說明紊流自時均流動取得能量然后通過耗散轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芏鴵p失。時均流動對能量的傳遞，外區(qū)比內(nèi)區(qū)稍大，但在整個斷面上數(shù)值均較小。脈動遷移項在邊界層下部為損失而在邊界層上部為增長，說明脈動能量通過脈動由邊界層下部向邊界層上部傳遞。湍流平板邊界層的能量平衡第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月紊流平板邊界層中，如采用坐標系流速為，基本方程式可由（11-5）式中得到

（11-3）但由于方程仍為非線性，求精確解仍十分困難。特別是由于紊流邊界層中存在分區(qū)結構，因而紊流邊界層更難于完全從理論上得到解答，只能采用近似和經(jīng)驗的方法。紊流平板邊界層的計算具有重要的實用意義，例如在流體機械的轉(zhuǎn)輪葉片流場與阻力的計算中，船舶摩擦阻力的計算，飛機機翼和機身的繞流流場和阻力計算等都以紊流平板邊界層的計算為基礎。湍流平板邊界層厚度與阻力第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月首先考慮光滑平板紊流邊界層。計算時假定自平板的前緣（x=0）開始即為紊流邊界層。仍采用邊界層坐標，順流方向為x，垂直壁面的法線方向為y。令b為板寬。普朗特的一個基本假設是平板邊界層中的流速分布與圓管內(nèi)的流速分布相同。這里只要把圓管中心最大流速換成邊界層外自由流速

，圓管半徑

以邊界層厚度

代替即可。當然這樣做并不是十分準確，因為在平板邊界層中存在尾流區(qū)，另外圓管紊流中流速分布主要決定于壓強梯度而平板邊界層中壓強梯度為零。不過流速分布的微小差別對阻力計算影響不大。這些都已為實驗所證實。紊流平板邊界層的動量積分方程：（11-21）將此式積分，得：平板阻力：

（11-22）切應力：

（11-23）湍流平板邊界層厚度與阻力第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由圓管中流速分布的次方律（10~15）得到光滑壁面平板邊界層內(nèi)的流速分布為：（11-24）平板邊界層的壁面切應力也可從圓管紊流的式（10-30）導出，

（11-25）用（11-24）的流速分布公式，可由（3-28）式及（3-30）推出邊界層位移厚度及動量厚度與邊界層厚度的關系：（11-26）

（11-27）

（11-28）湍流平板邊界層厚度與阻力第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月比較（11-25）與（11-28），得為邊界層厚度的微分方程式。假定自平板前緣即為紊流邊界層，當，，積分此式得：

（11-29）即紊流平板邊界層厚度沿x方向的計算公式。式（4-27）的層流邊界層厚度公式比較，可見在紊流邊界層中邊界層厚度與x的次方成正比，而層流邊界層。紊流邊界層

中厚度沿流動方向增長比層流邊界層更為迅速。邊界層動量厚度的計算公式為:（11-30）湍流平板邊界層厚度與阻力第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月平板摩擦阻力由（11-22）式可知：（11-31）式中為平板長度，l為平板寬度。b可見在紊流中，平板阻力與成比例，并與成比例。而在層流中平板阻力則與和成比例。切應力系數(shù)：（11-32）阻力系數(shù)：

（11-33）式中的系數(shù)可根據(jù)試驗數(shù)據(jù)稍加修正，得出：（11-34）湍流平板邊界層厚度與阻力第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-11為光滑平板紊流邊界層阻力系數(shù)各家公式與實測數(shù)據(jù)的比較。圖中①為層流邊界層的布拉休斯公式，②為普朗特紊流邊界層公式（11-34）。本節(jié)開始曾假設自平板前緣x=0即為紊流邊界層，但事實上，不管雷諾數(shù)多大，平板首部總有一部分層流邊界層。因此對上述阻力計算須作修正。修正的方法是假定流態(tài)在某一斷面處由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪?，從全部的紊流阻力中減去轉(zhuǎn)捩斷面以前部分的紊流阻力而代以這部分的層流阻力。圖11?11平板阻力系（4）湍流平板邊界層厚度與阻力第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖1111平板阻力系（4）轉(zhuǎn)捩斷面前紊流阻力與層流阻力的差值為：

為轉(zhuǎn)捩斷面的位置，為自x=0至這一段平板的紊流阻力系數(shù)，為這一段平板的層流阻力系數(shù)..阻力系數(shù)的差值為:則：（11-35）平板的實際的阻力系數(shù)為：，（11-36）湍流平板邊界層厚度與阻力第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月（11-37）表11-1中列出了各種不同的

值時相應的A值。在計算A值時采用在工程實踐中，平板雷諾數(shù)往往大于，因此式（11-36）不敷應用，需要找到一個適用于更大雷諾數(shù)范圍的阻力公式。為此只要用流速的對數(shù)分布公式替代流速的次方指數(shù)分布公式，沿用前述方法即可得出大雷諾數(shù)情況下平板阻力系數(shù)的公式。由流速的對數(shù)分布\公式直接推導阻力公式將十分復雜，因此施利希廷根據(jù)計算結果給出一個紊流阻力的經(jīng)驗公式：湍流平板邊界層厚度與阻力第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月此外還有一些其他的平板阻力公式，此處不一一列舉。圖11-11中還給出了假定時流態(tài)由層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯那闆r下阻力系數(shù)的情況，曲線，此時。圖11-11中的曲線④為舒爾茨-格魯諾（F.Schultz-Grunow）[6]的阻力公式：湍流平板邊界層厚度與阻力第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月工程實踐中粗糙平板比光滑平板更為普遍。粗糙的定義仍如圓管紊流中對粗糙的定義，即當粗糙雷諾數(shù)時，由于粗糙高度掩沒在粘性底層以內(nèi)而對紊流流動不產(chǎn)生影響而稱之為水力光滑。只有當時才稱得上為水力粗糙。在水力光滑與水力粗糙之間存在過渡區(qū)。但在粗糙平板的紊流邊界層中有一點與粗糙圓管紊流有著重要的區(qū)別，即在圓管中，沿程的相對粗糙度

和邊界層厚度，保持常數(shù)，粘性底層的厚度

也保持不變。在紊流粗糙平板邊界層中，由于邊界層厚度沿程增長，相對粗糙度將沿程減小。而粘性底層厚度，由于沿程增長沿程減小，故

沿程增長。這樣，對于粗糙高度一定的粗糙平板，在平板的前部可能是完全粗糙的情形，隨著流程x的增加，經(jīng)歷一段過渡段，在距前緣相當距離后，平板可能變?yōu)樗饣那樾巍４植谄桨逋牧鬟吔鐚拥?5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月粗糙平板紊流邊界層的流速分布與粗糙圓管中的流速分布一樣，與光滑平板流速分布只差一個常數(shù)，即：（11-40）參見圖10-10。卡門常數(shù)在粗糙平板中與光滑平板可取相同的數(shù)值，一般情況下。

（11-41）為粗糙雷諾數(shù)。由（11-40）及（11-41）也可導出粗糙平板紊流邊界層的流速分布公式為：（11-42）常數(shù)B決定于粗糙的高度、形狀及分布。粗糙平板湍流邊界層第46頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月圖11-12為克勞澤（F.H.Clauser）[7]給出的與關系的一組試驗資料。由圖可以看出，時趨近于零。說明對于粗糙平板紊流邊界層中的水力光滑區(qū)，粗糙對流速分布并無影響，與光滑平板紊流邊界層相同。在的水力粗糙區(qū),與成正比，一般說來u=0的位置應該在y=0與之間。第十二章中將對這一問題進行詳細的討論?？茽栃梁突固乩誟8]曾對粗糙平板紊流邊界層流動的紊流度分布進行了量測。量測只是在近壁區(qū)以外進行的，其結果表示在圖11-13中。對比圖11-13與圖11-4中克萊巴諾夫在光滑平板紊流邊界層中量測的結果可以看出，粗糙平板紊流邊界層中紊流度的數(shù)值較高。但是粗糙與光滑平板紊流邊界層紊流度的比值大體上與二者的壁面切應力之比值相同，因此如果用對二者進行無量綱化，可得到大體相同的紊流度在斷面內(nèi)的分布。圖1112與關系試驗結果[7]目前還找不到一個明確的規(guī)律。粗糙平板紊流邊界層的流速分布還存在一個理論零點，即相當于u=0點的位置問題。粗糙平板湍流邊界層第47頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月普朗特和施利希廷[9]根據(jù)尼古拉茲人工砂粒粗糙的實驗結果進圖11?13粗糙平板近壁區(qū)外紊流度分布圖[8