河北省唐山市石油中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

河北省唐山市石油中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可．【解答】解：==﹣i（3﹣i）=﹣1﹣3i，故選：A．2.已知集合A={x|＜0}，集合B=N，則A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0}參考答案：C【考點】交集及其運算．【分析】化簡集合A，根據(jù)交集的定義寫出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，則A∩B={0，1}．故選：C．【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題目．3.已知平面內(nèi)有一點及一個，若，則點在內(nèi)部

點在線段上點在線段上

點在線段上參考答案：D略4.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜5 B．a(chǎn)≥8 C．a(chǎn)＜5或a≥8 D．5≤a＜8參考答案：D【考點】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【分析】根據(jù)已知的不等式組畫出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形情況分類討論，不難求出表示的平面區(qū)域是一個三角形時a的取值范圍．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖示由圖可知，若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是：5≤a＜8．故選D．【點評】平面區(qū)域的形狀問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，然后結(jié)合分類討論的思想，針對圖象分析滿足條件的參數(shù)的取值范圍．5.（5分）（2015秋?太原期末）若m，n是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“m⊥n”是“n∥α”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”．【解答】解：∵m，n是兩條不同的直線，m⊥平面α，∴“m⊥n”推不出“n∥α”，“n∥α”?“m⊥n”，∴“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查命真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．6.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E為AB的中點．將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P-DCE的外接球的體積為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.函數(shù)的圖像為，如下結(jié)論中錯誤的是（

）A．圖像關(guān)于直線對稱 B．圖像關(guān)于點對稱 C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

D．由得圖像向右平移個單位長度可以得到圖像參考答案：D略8.已知過點作直線與兩坐標軸正半軸相交，所圍成的三角形面積為2，則這樣的直線有(

)A．1條

B．2條

C．3條

D．0條參考答案：A9.如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，則圖中判斷框內(nèi)（1）處和執(zhí)行框中的（2）處應(yīng)填的語句是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：C略10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果S=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=++…+的值，用裂項法即可計算求值得解．【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=++…+的值．而S=++…+=（1﹣）+（）+…+（）1﹣=．故選：B．【點評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=xln（x+）為偶函數(shù)，則a=

．參考答案：1【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得，f（﹣x）=f（x），代入根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴l(xiāng)n（﹣x+）+ln（x+）=0，∴l(xiāng)n（+x）（﹣x）=0，∴l(xiāng)na=0，∴a=1．故答案為：1．【點評】本題主要考查了偶函數(shù)的定義及對數(shù)的運算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．12.若是奇函數(shù)，則實數(shù)=_________。參考答案：13.一次考試后，從高三（1）班抽取5人進行成績統(tǒng)計，其莖葉圖如右圖所示，則這五人成績的方差為

．參考答案：20.8由題得所以成績的方差為

14.在三棱錐中，底面為邊長為的正三角形，頂點在底面上的射影為的中心，若為的中點，且直線與底面所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積為__________．參考答案：；15.

某科考試中，從甲、乙兩個班級各抽取10名同學(xué)的成績進行統(tǒng)計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．

（I）甲班10名同學(xué)成績標準差____

乙班10名同學(xué)成績標準差（填“>”或“=”或“<”）；

（Ⅱ）從甲班4名及格同學(xué)中抽取兩人，從乙班2名80分以下的同學(xué)中取一人，求三人平均分不及格的概率．參考答案：略16.已知是函數(shù)圖象上的任意一點，該圖象的兩個端點，點滿足，（其中是軸上的單位向量），若(為常數(shù))在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上具有“性質(zhì)”.現(xiàn)有函數(shù)：①;

②；

③；

④.則在區(qū)間上具有“性質(zhì)”的函數(shù)為_____________.參考答案：①③④略17.某次比賽甲得分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則剩下4個分數(shù)的方差為

．參考答案：14【考點】莖葉圖．【分析】求出剩下的4個分數(shù)平均數(shù)，代入方差公式，求出方差即可．【解答】解：剩下的4個分數(shù)是：42，44，46，52，平均數(shù)是：46，故方差是：（16+4+0+36）=14，故答案為：14．【點評】本題考查了讀莖葉圖問題，考查求平均數(shù)以及方差問題，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0（Ⅰ）若a=﹣2求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范圍．參考答案：【考點】R5：絕對值不等式的解法；R4：絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若a=﹣2，分類討論，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的值域為[﹣，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=﹣2時，f（x）=|x+2|，f（x）+f（2x）=|x+2|+|2x+2|＞2，不等式可化為或或解得x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，當x≤a時，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a；當a時，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a；當x≥時，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則x≥﹣，所以函數(shù)f（x）的值域為[﹣，+∞），因為不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即為，解得a＞﹣1，由于a＜0，則a的取值范圍為（﹣1，0）．【點評】本題考查不等式的解法，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．19.2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)，5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟損失12.99億元．距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（Ⅱ）小明向班級同學(xué)發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款．現(xiàn)從損失超過4000元的居民中隨機抽出2戶進行捐款援助，設(shè)抽出損失超過8000元的居民為ξ戶，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）臺風后區(qū)委會號召小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如表，根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，分別求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關(guān)？

經(jīng)濟損失不超過4000元經(jīng)濟損失超過4000元合計捐款超過500元a=30b

捐款不超過500元cd=6

合計

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：臨界值表參考公式：K2=，n=a+b+c+d．參考答案：【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，即可估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失；（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，即可求這兩戶在同一分組的概率；（Ⅲ）求出K2，與臨界值比較，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）記每戶居民的平均損失為元，則：=×2000=3360…（Ⅱ）由頻率分布直方圖可得，損失不少于6000元的居民共有（0.00003+0.00003）×2000×50=6戶，損失為6000～8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，損失不少于8000元的居民共有0.00003×2000×50=3戶，因此，這兩戶在同一分組的概率為P==…（Ⅲ）如圖：

經(jīng)濟損失不超過4000元經(jīng)濟損失超過4000元合計捐款超過500元30939捐款不超過500元5611合計351550K2=≈4.046＞3.841，所以有95%以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否4000元有關(guān)．…20.（本小題滿分14分）如圖，在直角梯形中，，，，現(xiàn)將沿線段折成的二面角，設(shè)分別是的中點．

(Ⅰ)求證：平面；（II）若為線段上的動點，問點在什么位置時，與平面所成角為.

參考答案：（Ⅰ）證明：取中點，連接，，易得四邊形為梯形，有在平面上，又，結(jié)合平面，平面，得平面；……6分（Ⅱ）分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，有，．設(shè)平面的法向量為，則根據(jù)，取，得到．設(shè)點，于是，有題知,即，解得．∴點在的中點時，與平面所成角為．…………14分21.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù))，直線的參數(shù)程為(為參數(shù)），設(shè)直線與的交點為，當變化時點的軌跡為曲線.（1）求出曲線的普通方程；（2）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.參考答案：（1）將的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，①，②①×②消可得：，因為，所以，所以的普通方程為.（2）直線的直角坐標方程為.由（1）知曲線與直線無公共點