常微分方程數(shù)值解

常微分方程數(shù)值解1第1頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月2第2頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.1

引言考慮一階常微分方程的初值問題（1.1）（1.2）如果存在實數(shù)，使得（1.3）則稱關(guān)于滿足利普希茨(Lipschitz）條件，稱為的利普希茨常數(shù)（簡稱Lips.常數(shù)）.3第3頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理1設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，關(guān)于滿足利普希茨條件，則對任意，常微分方程(1.1),(1.2)式當(dāng)時存在唯一的連續(xù)可微解.關(guān)于解對擾動的敏感性，有以下結(jié)論.

定理2設(shè)在區(qū)域（如定理1所定義）上連續(xù)，且關(guān)于滿足利普希茨條件，設(shè)初值問題的解為，則4第4頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月兩者的區(qū)別:1.問題5第5頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月6第6頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月7第7頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月左矩形右矩形梯形公式單步法:對初值問題,計算yn+1時只用到前一點的值yn,即yn+1=f(yn)k步法:計算yn+1時需要用到前k點的值yn,,yn-1,…,yn-k+1,即yn+1=f(yn,yn-1,…,yn-k+1)對方程離散化，建立求數(shù)值解的遞推公式.描述這類算法，只要給出用已知信息計算的遞推公式.8第8頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.2簡單的數(shù)值方法

求解一階微分方程初值問題:9第9頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何意義:它是用一條自點(x0,y0)出發(fā)的折線段去逼近積分曲線y=y(x)如下圖9-1P28010第10頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1求解初值問題

（2.2）

解歐拉公式的具體形式為

取步長，計算結(jié)果見表9-1.

初值問題（2.2）的解為，按這個解析式子算出的準(zhǔn)確值同近似值一起列在表9-1中，兩者相比較可以看出歐拉方法的精度很差.11第11頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月還可以通過幾何直觀來考察歐拉方法的精度.假設(shè)，即頂點落在積分曲線上，那么，按歐拉方法做出的折線便是過點的切線（圖9-2）.12第12頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-2從圖形上看，這樣定出的頂點顯著地偏離了原來的積分曲線，可見歐拉方法是相當(dāng)粗糙的.誤差分析：為了分析計算公式的精度,通常可用泰勒展開將在處展開，則有13第13頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月在的前提下，稱為此方法的局部截斷誤差.于是可得歐拉法（2.1）的誤差（2.3）（2.1）估算=精確14第14頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（2.5）稱為后退的歐拉法(隱式歐拉公式).歐拉公式是關(guān)于的一個直接的計算公式，這類公式稱作是顯式的；后退歐拉公式的右端含有未知的，它是關(guān)于的一個函數(shù)方程，這類公式稱作是隱式的.

15第15頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過程的實質(zhì)是逐步顯示化.設(shè)用歐拉公式給出迭代初值，用它代入（2.5）式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計算得然后再用代入（2.5）式，又有16第16頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月如此反復(fù)進行，得（2.6）由于對滿足利普希茨條件(1.3).由(2.6)減(2.5)得由此可知，只要迭代法(2.6)就收斂到解.17第17頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.2.2

梯形方法（2.7）稱為梯形方法.梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解.18第18頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月為了分析迭代過程的收斂性，將（2.7）與（2.8）式相減，得（2.8）同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為（2.7）19第19頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月如果選取充分小，使得則當(dāng)時有，這說明迭代過程(2.8)是收斂的.于是有式中為關(guān)于的利普希茨常數(shù).20第20頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.2.3

改進歐拉公式梯形方法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜.在應(yīng)用迭代公式（2.8）進行實際計算時，每迭代一次，都要重新計算函數(shù)的值.為了控制計算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計算，這就簡化了算法.具體地，先用歐拉公式求得一個初步的近似值,而迭代又要反復(fù)進行若干次，計算量很大，而且往往難以預(yù)測.稱之為預(yù)測值，21第21頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這樣建立的預(yù)測-校正系統(tǒng)通常稱為改進的歐拉公式：預(yù)測值的精度可能很差，再用梯形公式（2.7）將它校正一次，即按（2.8）式迭代一次得，這個結(jié)果稱校正值.預(yù)測校正（2.9）也可以表為下列平均化形式（2.7）（2.8）22第22頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2用改進的歐拉方法求解初值問題（2.2）.

解這里改進的歐拉公式為（2.2）23第23頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月仍取，計算結(jié)果見表9-2.同例1中歐拉法的計算結(jié)果比較，改進歐拉法明顯改善了精度.24第24頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.2.4

單步法的局部截斷誤差與階初值問題(1.1)，(1.2)的單步法可用一般形式表示為（2.10）其中多元函數(shù)與有關(guān)，當(dāng)含有時，方法是隱式的，若不含則為顯式方法，（2.11）稱為增量函數(shù)，所以顯式單步法可表示為例如對歐拉法（2.1）有它的局部截斷誤差已由(2.3)給出.（1.1）（1.2）（2.1）（2.3）25第25頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對一般顯式單步法則可如下定義.

定義1設(shè)是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，稱（2.12）為顯式單步法（2.11）的局部截斷誤差.之所以稱為局部的，是假設(shè)在前各步?jīng)]有誤差.當(dāng)時，計算一步，則有（1.1）（1.2）（2.11）26第26頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月在前一步精確的情況下用公式（2.11）計算產(chǎn)生的公式誤差.根據(jù)定義，歐拉法的局部截斷誤差即為（2.3）的結(jié)果.這里稱為局部截斷誤差主項.局部截斷誤差可理解為用方法（2.11）計算一步的誤差，即顯然（2.11）（2.3）27第27頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義2設(shè)是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，若存在最大整數(shù)使顯式單步法(2.11)的局部截斷誤差滿足

（2.13）則稱方法（2.11）具有階精度.若將（2.13）展開式寫成則稱為局部截斷誤差主項.以上定義對隱式單步法（2.10）也是適用的.（1.1）（1.2）（2.11）（2.10）28第28頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對后退歐拉法（2.5）其局部截斷誤差為這里，是1階方法，局部截斷誤差主項為.（2.5）29第29頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對梯形法（2.7）有所以梯形方法是二階的，其局部誤差主項為（2.7）30第30頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.3

龍格-庫塔方法31第31頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月一、Taylor展開法取等式右邊前p+1項32第32頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月例取h=0.1,用三階Taylor展開法求解33第33頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月從計算高階導(dǎo)數(shù)的公式知道,方法的截斷誤差提高一階,需要增加的計算量很大.下面我們用區(qū)間上若干點的導(dǎo)數(shù)f,而不是高階導(dǎo)數(shù),將它們作線性組合得到平均斜率,將其與解的Taylor展開相比較,使前面若干項吻合，從而得到提高階的方法34第34頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月2龍格-庫塔法(Runge-Kutta法)35第35頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）龍格-庫塔法的一般形式36第36頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月37第37頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月38第38頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月將以上結(jié)果代入局部截斷誤差公式則有要使公式（3.6）具有階，必須使（3.6）39第39頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月即非線性方程組（3.9）的解是不唯一的.令，則得這樣得到的公式稱為二階R-K方法，如取，則這就是改進歐拉法（3.1）.（3.9）40第40頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月若取，則得計算公式.

稱為中點公式，相當(dāng)于數(shù)值積分的中矩形公式.

（3.10）也可表示為（3.10）41第41頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.3.3

三階與四階顯式R-K方法要得到三階顯式R-K方法，必須.（3.11）其中及均為待定參數(shù).此時（3.4）,（3.5）的公式表示為公式（3.11）的局部截斷誤差為（3.4）（3.5）42第42頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月只要將按二元函數(shù)泰勒展開，使，可得待定參數(shù)滿足方程（3.12）43第43頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這是8個未知數(shù)6個方程的方程組，解也不是唯一的.所以這是一簇公式.滿足條件（3.12）的公式（3.11）統(tǒng)稱為三階R-K公式.一個常見的公式為此公式稱為庫塔三階方法.44第44頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月繼續(xù)上述過程，經(jīng)過較復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算，可以導(dǎo)出各種四階龍格-庫塔公式，下列經(jīng)典公式是其中常用的一個：可以證明其截斷誤差為.四階龍格-庫塔方法的每一步需要計算四次函數(shù)值，（3.13）45第45頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

謝謝！46第46頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月47第47頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.3.4

變步長的龍格-庫塔方法單從每一步看，步長越小，截斷誤差就越小，但隨著步長的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了.步數(shù)的增加不但引起計算量的增大，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累.因此同積分的數(shù)值計算一樣，微分方程的數(shù)值解法也有個選擇步長的問題.在選擇步長時，需要考慮兩個問題：1°怎樣衡量和檢驗計算結(jié)果的精度？48第48頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月2°如何依據(jù)所獲得的精度處理步長？考察經(jīng)典的四階龍格-庫塔公式（3.13）從節(jié)點出發(fā)，先以為步長求出一個近似值，49第49頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（3.14）然后將步長折半，即取為步長從跨兩步到，再求得一個近似值，每跨一步的截斷誤差是，因此有（3.15）比較（3.14）式和（3.15）式我們看到，步長折半后，由于公式的局部截斷誤差為，故有誤差大約減少到，50第50頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由此易得下列事后估計式這樣，可以通過檢查步長，折半前后兩次計算結(jié)果的偏差即有來判定所選的步長是否合適.具體地說，將區(qū)分以下兩種情況處理：51第51頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月1.對于給定的精度，如果，反復(fù)將步長折半進行計算，直至為止.這時取最終得到的作為結(jié)果；2.如果，反復(fù)將步長加倍，直到為止，這種通過加倍或折半處理步長的方法稱為變步長方法.這時再將步長折半一次，就得到所要的結(jié)果.表面上看，為了選擇步長，每一步的計算量增加了，但總體考慮往往是合算的.52第52頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.4

單步法的收斂性與穩(wěn)定性

9.4.1收斂性與相容性

數(shù)值解法的基本思想是通過某種離散化手段將微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，如單步法(2.11)，即

（4.1）它在處的解為，而初值問題（1.1）,（1.2）在處的精確解為，記稱為整體截斷誤差.（1.1）（1.2）53第53頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂性就是討論當(dāng)固定且時的問題.

定義3若一種數(shù)值方法對于固定的,當(dāng)時有，其中是(1.1),(1.2)的準(zhǔn)確解，則稱該方法是收斂的.

顯然數(shù)值方法收斂是指.對單步法（4.1）有下述收斂性定理：（1.1）（1.2）（4.1）54第54頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理3假設(shè)單步法（4.1）具有階精度，且增量函數(shù)關(guān)于滿足利普希茨條件（4.2）又設(shè)初值是準(zhǔn)確的，即，則其整體截斷誤差

（4.3）

證明設(shè)以表示取用公式（4.1）求得的結(jié)果，即（4.4）則為局部截斷誤差，（4.1）（4.1）55第55頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由于所給方法具有階精度，按定義2，存在定數(shù)，使又由式（4.4）與（4.1），得利用假設(shè)條件（4.2），有從而有（4.2）（4.1）（4.4）56第56頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月即對整體截斷誤差成立下列遞推關(guān)系式（4.5）反復(fù)遞推，可得（4.6）再注意到當(dāng)時最終得下列估計式（4.7）57第57頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可以斷定，如果初值是準(zhǔn)確的，即，則（4.3）式成立.依據(jù)這一定理，判斷單步法（4.1）的收斂性，歸結(jié)為驗證增量函數(shù)能否滿足利普希茨條件（4.2）.對于歐拉方法，由于其增量函數(shù)就是，故當(dāng)關(guān)于滿足利普希茨條件時它是收斂的.再考察改進的歐拉方法，其增量函數(shù)給出，這時有（4.3）（4.2）（4.1）58第58頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)關(guān)于滿足利普希茨條件，記利普希茨常數(shù)為,設(shè)為定數(shù)），上式表明關(guān)于的利普希茨常數(shù)則由上式推得因此改進的歐拉方法也是收斂的.59第59頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地，也可驗證其他龍格-庫塔方法的收斂性.定理3表明時單步法收斂，并且當(dāng)是初值問題（1.1），（1.2）的解，（4.1）具有階精度時，有展開式所以的充要條件是，（4.1）（1.1）（1.2）60第60頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月而，于是可給出如下定義：

定義4若單步法（4.1）的增量函數(shù)滿足

則稱單步法（4.1）與初值問題（1.1），（1.2）相容.相容性是指數(shù)值方法逼近微分方程(1.1)，即微分方程(1.1)離散化得到的數(shù)值方法當(dāng)時可得到61第61頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理4階方法(4.1)與初值問題(1.1)，(1.2)相容的充分必要條件是由定理3可知單步法（4.1）收斂的充分必要條件是(4.1)是相容的.

以上討論表明階方法（4.1）當(dāng)時與(1.1),(1.2)相容，反之相容方法至少是1階的.

62第62頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.4.2絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域

定義5若一種數(shù)值方法在節(jié)點值上大小為的擾動，于以后各節(jié)點值上產(chǎn)生的偏差均不超過，則稱該方法是穩(wěn)定的.以歐拉法為例考察計算穩(wěn)定性.

例4考察初值問題

其準(zhǔn)確解是一個按指數(shù)曲線衰減得很快的函數(shù)，如圖9-3所示.63第63頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月若取，則歐拉公式的具體形式為計算結(jié)果列于表9-4的第2列.可以看到，歐拉方法的解（圖9-3中用×號標(biāo)出）在準(zhǔn)確值的上下波動，計算過程明顯地不穩(wěn)定.圖9-3用歐拉法解方程得64第64頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月再考察后退的歐拉方法，取時計算公式為計算結(jié)果列于表9-4的第3列（圖9-3中標(biāo)以·號），這時計算過程是穩(wěn)定的.但若取則計算過程穩(wěn)定.65第65頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長的大小有關(guān)，當(dāng)然也與方程中的有關(guān).

為了只考察數(shù)值方法本身，通常只檢驗將數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，（4.8）其中為復(fù)數(shù).例如在的鄰域，可展開為模型方程為對一般方程可以通過局部線性化化為這種形式.66第66頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月略去高階項，再做變換即可得到的形式.對于個方程的方程組，也可線性化為，這里為的雅可比矩陣.若有個特征值，則還可能是復(fù)數(shù)，為保證微分方程本身的穩(wěn)定性，還應(yīng)假定.先研究歐拉方法的穩(wěn)定性.模型方程的歐拉公式為所以，為了使模型方程結(jié)果能推廣到方程組，方程中應(yīng)為復(fù)數(shù).67第67頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（4.9）設(shè)在節(jié)點值上有一擾動值，它的傳播使節(jié)點值產(chǎn)生大小為的擾動值，假設(shè)用按歐拉公式得出的計算過程不再有新的誤差，則擾動值滿足可見擾動值滿足原來的差分方程（4.9）.如果差分方程的解是不增長的，即有則它就是穩(wěn)定的.68第68頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月即圖9-4顯然，為要保證差分方程（4.9）的解不增長，只要選取充分小，（4.10）在的復(fù)平面上，這是以為圓心，1為半徑的單位圓內(nèi)部（圖9-4）.這個圓域稱為歐拉法的絕對穩(wěn)定域，一般情形可由下面定義.

定義6單步法（4.1）用于解模型方程（4.8），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對穩(wěn)定的.（4.9）使（4.1）（4.8）69第69頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月在的平面上，使的變量圍成的區(qū)域，稱為絕對穩(wěn)定域，對歐拉法，給出，絕對穩(wěn)定區(qū)間為.它與實軸的交稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間.其絕對穩(wěn)定域由在例5中，即為絕對穩(wěn)定區(qū)間.當(dāng)取時例4中取故它是不穩(wěn)定的，它是穩(wěn)定的.70第70頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月故絕對穩(wěn)定域由得到.絕對穩(wěn)定區(qū)間為，即.類似可得三階及四階的R-K方法的分別為用二階R-K方法解模型方程可得到71第71頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由可得到相應(yīng)的絕對穩(wěn)定域.當(dāng)為實數(shù)時則得絕對穩(wěn)定區(qū)間.分別為三階顯式R-K方法：即四階顯式R-K方法：即圖9-5給出了R-K方法到的絕對穩(wěn)定域.從以上討論可知顯式的R-K方法的絕對穩(wěn)定域均為有限域，都對步長有限制.如果不在所給的絕對穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，方法就不穩(wěn)定.圖9-572第72頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月例5分別取，及用經(jīng)典的四階R-K方法（3.13）計算.

解本例分別為及.前者在絕對穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)，后者則不在.經(jīng)典的四階R-K方法為（3.13）73第73頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月以上結(jié)果看到，如果步長不滿足絕對穩(wěn)定條件，誤差增長很快.用四階R-K方法計算其誤差見下表：這里74第74頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對隱式單步法，可以同樣討論方法的絕對穩(wěn)定性，例如對后退歐拉法，用它解模型方程可得故由可得絕對穩(wěn)定域為.它是以為圓心，1為半徑的單位圓外部，故絕對穩(wěn)定區(qū)間為.75第75頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，則，即對任何步長均為穩(wěn)定的.故對有，故絕對穩(wěn)定域為的左半平面，對隱式梯形法，解模型方程得76第76頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月絕對穩(wěn)定區(qū)間為，即時梯形法均是穩(wěn)定的.

定義7如果數(shù)值方法的絕對穩(wěn)定域包含了那么稱此方法是A-穩(wěn)定的.隱式歐拉法與梯形方法的絕對穩(wěn)定域均為在具體計算中步長的選擇只需考慮計算精度及迭代收斂性要求而不必考慮穩(wěn)定性，具有這種特點的方法特別重要.由定義知A-穩(wěn)定方法對步長沒有限制.77第77頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.5

線性多步法在逐步推進的求解過程中，計算之前事實上已經(jīng)求出了一系列的近似值，如果充分利用前面多步的信息來預(yù)測，則可以期望會獲得較高的精度.這就是構(gòu)造所謂線性多步法的基本思想.本節(jié)主要介紹基于泰勒展開的構(gòu)造方法.構(gòu)造多步法的主要途徑是基于數(shù)值積分方法和基于泰勒展開方法，前者可直接由方程兩端積分后利用插值求積公式得到.78第78頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.1

線性多步法的一般公式一般的線性多步法公式可表示為（5.1）其中為的近似，計算時需先給出前面?zhèn)€近似值,再由（5.1）逐次求出.如果計算時，除了使用的值，還用到的值，則稱此方法為線性多步法.為常數(shù).及不全為零，則稱為線性步法.若79第79頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這時可直接由（5.1）算出；如果，稱（5.1）為顯式步法，如果，則（5.1）稱為隱式步法，求解時與梯形法（2.7）相同，要用迭代法方可算出.（5.1）（2.7）80第80頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義8設(shè)是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，線性多步法（5.1）在上的局部截斷誤差為

（5.2）（5.1）中系數(shù)及可根據(jù)方法的局部截斷誤差及階確定，其定義為：（5.1）（1.1）（1.2）若，則稱方法（5.1）是階的，則稱方法（5.1）與方程（1.1）是相容的.81第81頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由定義8，對在處做泰勒展開，由于代入（5.2）得（5.3）（5.2）82第82頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月其中（5.4）若在公式（5.1）中選擇系數(shù)及，使它滿足由定義可知此時所構(gòu)造的多步法是階的.（5.1）83第83頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（5.5）稱右端第一項為局部截斷誤差主項，稱為誤差常數(shù).根據(jù)相容性定義，,即，故方法（5.1）與微分方程（1.1）相容的充分必要條件是（5.6）成立.且（5.6）由（5.4）得（5.1）84第84頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，若，則由（5.6）可求得此時公式（5.1）為即為歐拉法.從（5.4）可求得，故方法為1階精度，這和第2節(jié)給出的定義及結(jié)果是一致的.且局部截斷誤差為（5.6）85第85頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對,若，方法為隱式公式.為了確定系數(shù)，可由解得于是得到公式即為梯形法.由（5.4）可求得,故，所以梯形法是二階方法，其局部截斷誤差主項是.這與第9.2節(jié)中的討論也是一致的.86第86頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對的多步法公式都可利用（5.4）確定系數(shù)，并由（5.5）給出局部截斷誤差.（5.5）87第87頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.2

阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式考慮形如（5.7）的步法，稱為阿當(dāng)姆斯（Adams)方法.為顯式方法，為隱式方法，通常稱為阿當(dāng)姆斯顯式與隱式公式，也稱Adams-Bashforth公式與Adams-Monlton公式.這類公式可直接由對方程兩端從到積分求得.88第88頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月也可以利用(5.4)由推出，對比與可知此時系數(shù).顯然成立，下面只需確定系數(shù)，可令，求得.若，則令來求得.89第89頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月以為例，由，根據(jù)若，則由前三個方程解得得到的阿當(dāng)姆斯顯式公式是（5.8）90第90頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由（5.4）求得，所以（5.8）是三階方法，局部截斷誤差是若，則可解得于是得的阿當(dāng)姆斯隱式公式為（5.9）它是四階方法，局部截斷誤差是（5.8）91第91頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月（5.10）類似的方法可求得阿當(dāng)姆斯顯式方法和隱式方法的公式，表9-5及表9-6分別列出了時的阿當(dāng)姆斯顯式公式與阿當(dāng)姆斯隱式公式，其中為步數(shù)，為方法的階，為誤差常數(shù).92第92頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月93第93頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月94第94頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6用四階阿當(dāng)姆斯顯式和隱式方法解初值問題

取步長.

解本題.從四階阿當(dāng)姆斯隱式公式得到從四階阿當(dāng)姆斯顯式公式得到95第95頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可直接解出而不用迭代，得到計算結(jié)果見表9-8，其中顯式方法中的初值及隱式方法中的均用準(zhǔn)確解得到，對一般方程，可用四階R-K方法計算初始近似.(表略，見教材.)96第96頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上例子看到同階的阿當(dāng)姆斯方法，隱式方法要比顯式方法誤差小.這可以從兩種方法的局部截斷誤差主項的系數(shù)大小得到解釋.這里分別為及.97第97頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.3

米爾尼方法與辛普森方法考慮另一個的顯式公式其中為待定常數(shù).由（5.4）可知，再令得到可根據(jù)使公式的階盡可能高這一條件來確定其數(shù)值.98第98頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月解此方程組得于是得到四步顯式公式（5.11）稱為米爾尼(Milne）方法.由于，故方法為4階，其局部截斷誤差為（5.12）米爾尼方法也可以通過方程兩端積分99第99頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月得到.右端積分通過辛普森求積公式就有（5.13）稱為辛普森方法.（5.14）它是隱式二步四階方法，其局部截斷誤差為若將方程從到積分，可得100第100頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.4

漢明方法辛普森公式是二步方法中階數(shù)最高的，但它的穩(wěn)定性差，為了改善穩(wěn)定性，考察另一類三步法公式

其中系數(shù)及為常數(shù).若希望導(dǎo)出的公式是四階的，則系數(shù)中至少有一個自由參數(shù).若取，則可得到辛普森公式.若取，仍利用泰勒展開，由（5.4），令101第101頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月解此方程組得于是有（5.15）則可得到102第102頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月稱為漢明(Hamming)方法.由于，故方法是四階的，且局部截斷誤差（5.16）103第103頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.5

預(yù)測-校正方法對于隱式的線性多步法，計算時要進行迭代，計算量較大.為了避免進行迭代，通常采用顯式公式給出的一個初始近似，記為，稱為預(yù)測(predictor).接著計算的值(evaluation)，再用隱式公式計算，稱為校正（corrector）.

在（2.13）中用歐拉法做預(yù)測，再用梯形法校正，得到改進歐拉法，它就是一個二階預(yù)測-校正方法.（2.13）104第104頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月例如用四階的阿當(dāng)姆斯顯式方法做預(yù)測，再用四階阿當(dāng)姆斯隱式公式做校正，得到以下格式：一般情況下，預(yù)測公式與校正公式都取同階的顯式方法與隱式方法相匹配.預(yù)測P：求值E：校正C：求值E：此公式稱為阿當(dāng)姆斯四階預(yù)測-校正格式（PECE).105第105頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月依據(jù)四階阿當(dāng)姆斯公式的截斷誤差，對于PECE的預(yù)測步P有對校正步C有兩式相減得于是有下列事后誤差估計106第106頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月容易看出比更好.（5.17）但在的表達式中是未知的，因此計算時用上一步代替，從而構(gòu)造一種修正預(yù)測-校正格式(PMECME):107第107頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月P：M：E：C：M：E：在PMECME格式中已將（5.17）的及分別改為及.108第108頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月利用米爾尼公式（5.11）和漢明公式（5.15）相匹配，并利用截斷誤差（5.12），（5.16）改進計算結(jié)果，可類似地建立四階修正米爾尼-漢明預(yù)測-校正格式PMECME）：P：M：E：C：M：E：（5.15）（5.11）（5.16）（5.12）109第109頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.5.6

構(gòu)造多步法公式的注記和例構(gòu)造多步法公式有基于數(shù)值積分和泰勒展開兩種途徑，數(shù)值積分方法只能用于可轉(zhuǎn)化為等價的積分方程的微分方程，它是有局限性的.而用泰勒展開則可構(gòu)造任意多步法公式，其做法是根據(jù)多步法公式的形式，直接在處做泰勒展開.確定多步法（5.1）的系數(shù)及時不必套用系數(shù)公式（5.4），因為多步法公式不一定如（5.1）的形式，而且套用公式容易記錯.（5.1）110第110頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例7解初值問題

用顯式二步法其中試確定參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高,并求局部截斷誤差.

解根據(jù)局部截斷誤差定義，用泰勒展開確定參數(shù)滿足的方程.111第111頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月由于112第112頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月為求參數(shù)使方法階數(shù)盡量高，可令即得方程組113第113頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月解得，此時公式為三階，即為所求局部截斷誤差.而所得二步法為而且114第114頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例8證明存在的一個值，使線性多步法

是四階的.

證明只要證明局部截斷誤差，則方法仍用泰勒展開，由于為四階.115第115頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月116第116頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，，故方法是四階的.117第117頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.6線性多步法的收斂性與穩(wěn)定性

9.6.1相容性及收斂性

線性多步法(5.1)式的相容性：在定義8中給出的局部截斷誤差(5.2)中，若稱步法(5.1)與微分方程(1.1)相容，它等價于對多步法(5.1)可引入多項式（6.1）（6.2）118第118頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月和（6.3）分別稱為線性多步法(5.1)的第一特征多項式和第二特征多項式.可以看出，如果(5.1)式給定，則和也完全確定.反之也成立.119第119頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定理5線性多步法(5.1)式與微分方程(1.1)相容的充分必要條件是關(guān)于多步法(5.1)的收斂性：由于用多步法求數(shù)值解需要個初值，而微分方程(1.1)只給出一個初值，因此還要給出個初值才能用多步法(5.1)進行求解，即（6.4）（6.5）其中由微分方程初值給定，可由相應(yīng)單步法給出.120第120頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)由(6.5)式在處得到的數(shù)值解為，這里為固定點，，于是有下面定義.

定義9設(shè)初值問題(1.1),(1.2)有精確解.如果初始條件滿足條件的線性步法(6.5)在處的解有則稱線性步法是收斂的.

定理6設(shè)線性多步法(6.5)是收斂的，則它是相容的.此定理的逆定理是不成立的.121第121頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9用線性二步法解初值問題

解此初值問題精確解，而由(6.6)式知故有，故方法(6.6)是相容的，但方法(6.6)的解并不收斂，在方法(6.6)中取初值

（6.6）（6.7）此時方法(6.6)為二階差分方程122第122頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月其特征方程為解得其根為及.于是可求得(6.8)的解為故方法不收斂.多步法是否收斂與的根有關(guān).（6.8）123第123頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義10如果多步法（5.1）式的第一特征多項式的根都在單位圓內(nèi)或圓上，且在單位圓上的根為單根，則稱線性多步法（5.1）滿足根條件.

定理7線性多步法是相容的，則線性多步法（6.5）收斂的充分必要條件是線性多步法（5.1）滿足根條件.124第124頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.6.2穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定性穩(wěn)定性主要研究初始條件擾動與差分方程右端項擾動對數(shù)值解的影響，假設(shè)多步法（6.5）有擾動，則經(jīng)過擾動后的解為，它滿足方程（6.9）125第125頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義11對初值問題(1.1)，(1.2)，由方法（6.5）得到的差分方程解，由于有擾動，使得方程（6.9）的解為，若存在常數(shù)及，使對所有，當(dāng)時，有則稱多步法（5.1）是穩(wěn)定的或稱為零穩(wěn)定的.研究零穩(wěn)定性就是研究時差分方程（6.5）解的穩(wěn)定性.它表明當(dāng)初始擾動或右端擾動不大時，解的誤差也不大.126第126頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月對多步法（5.1），當(dāng)時對應(yīng)差分方程的特征方程為.故有

定理8線性多步法（5.1）是穩(wěn)定的充分必要條件是它滿足根條件.關(guān)于絕對穩(wěn)定性只要將多步法（5.1）用于解模型方程（4.8），得到線性差分方程（6.10）127第127頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月利用線性多步法的第一、第二特征多項式，令此式稱為線性多步法的穩(wěn)定多項式，它是關(guān)于的次多項式.如果它的所有零點滿足，則(6.10)式的解當(dāng)時，有.（6.11）128第128頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義12對于給定的，如果穩(wěn)定多項式(6.11)的零點滿足，則稱線性多步法(5.1)關(guān)于此值是絕對穩(wěn)定的.若在的復(fù)平面的某個區(qū)域中所有值線性多步法(5.1)都是絕對穩(wěn)定的，而在區(qū)域外，方法是不穩(wěn)定的，則稱為多步法(5.1)的絕對穩(wěn)定域.與實軸的交集稱為線性多步法(5.1)的絕對穩(wěn)定區(qū)間.為實數(shù)時，可以只討論絕對穩(wěn)定區(qū)間.由于線性多步法的絕對穩(wěn)定域較為復(fù)雜，通常采用根軌跡法.129第129頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月阿當(dāng)姆斯顯式方法和隱式方法的絕對穩(wěn)定域圖形分別為圖9-6和圖9-7，絕對穩(wěn)定區(qū)間見表9-9.圖9-6圖9-7130第130頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

例10討論辛普森方法的穩(wěn)定性

解辛普森方法的第第二特征多項式為的根分別為-1及1，它滿足根條件，故方法是零穩(wěn)定的.但它的穩(wěn)定多項式為求絕對穩(wěn)定域的邊界軌跡.若，則可令，在平面域的邊界軌跡為131第131頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月可看出在虛軸上，且對全部從而可知為虛軸上從到的線段，故辛普森公式的絕對穩(wěn)定域為空集.即步長，此方法都不是絕對穩(wěn)定的，故它不能用于求解.132第132頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月9.7

一階方程組與剛性方程

9.7.1一階方程組

前面研究了單個方程的數(shù)值解法，只要把和理解為向量，那么，所提供的各種計算公式即可應(yīng)用到一階方程組的情形.考察一階方程組的初值問題，初始條件給為133第133頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月則上述方程組的初值問題可表示為（7.1）求解這一初值問題的四階龍格-庫塔公式為式中若采用向量的記號，記134第134頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月考察兩個方程的特殊情形：135第135頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這時四階龍格-庫塔公式具有形式其中（7.2）（7.3）136第136頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一步法，利用節(jié)點上的值，由（7.3）式順序計算，然后代入（7.2）式即可求得節(jié)點上的.（7.3）137第137頁，課件共151頁，創(chuàng)作于2023年2月

9.7.2

化高階方程為一階方程組高階微分方程（或方程組）的初值問題，原則上總可以歸結(jié)為一階方程組來求解.例如，考察下列階微分方程（7.4）初始條件為（7.5）只要引進新的變量