重難點突破02 向量中的隱圓問題（四大題型）（原卷版）

重難點突破02向量中的隱圓問題目錄技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓乘積型：定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．技巧二．極化恒等式和型：定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．技巧三．定冪方和型若為定點，，則的軌跡為圓．證明：．技巧四．與向量模相關構成隱圓坐標法妙解題型一：數量積隱圓例1．（2023·上海松江·?？寄M預測）在中，.為所在平面內的動點，且，若，則給出下面四個結論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最大值為8.其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全國·高三專題練習）若正的邊長為4，為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例3．（2023·山東菏澤·高一統考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內的動點，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知是邊長為的等邊三角形，其中心為O，P為平面內一點，若，則的最小值是A． B． C． D．變式2．（2023·北京·高三專題練習）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.題型二：平方和隱圓例4．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．例5．（2023·上海·高三專題練習）已知平面向量、滿足，，設，則________.例6．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．變式5．（2023·寧夏吳忠·高二吳忠中學校考階段練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數k的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標的取值范圍是___________.題型三：定冪方和隱圓例7．（2023·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.例8．（2023·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄浚膴A角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為A． B． C． D．變式7．（2023·江蘇·高三專題練習）已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學?？茧A段練習）已知、、是平面向量，是單位向量．若，，則的最大值為_______．變式9．（2023·四川達州·高二四川省大竹中學校考期中）已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是_______．變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量、、、，滿足，，，，若，則的最大值是_________.變式11．（2023·河南南陽·南陽中學?？寄M預測）已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.題型四：與向量模相關構成隱圓例10．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是__________．例11．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．例12．（2023·上海金山·統考二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為__________.變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知線段是圓的一條動弦，且，若點為直線上的任意一點，則的最小值為__________.變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，B在直線上，，動點M滿足，則的最小值為__________.變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.變式15．（2023·新疆·高三新疆兵團第二師華山中學?？茧A段練習）已知是、是單位向量，，若向量滿足，則的最大值為______變式16．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．變式18．（2023·全國·高三專題練習