2021年湖南省永州市易江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021年湖南省永州市易江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x}，則A∩B=(

)A．（0，2]． B．（0，1]． C．（﹣1，0] D．（0，4]參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】集合．【分析】求解一元二次不等式化簡(jiǎn)A，求函數(shù)的值域化簡(jiǎn)B，取交集得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，∴A={x|x2﹣x﹣2≤0}=[﹣1，2]，又B={y|y=2x}=（0，+∞），∴A∩B=（0，2]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，考查了函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．2.在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是（

）A．圓面

B．矩形面

C．梯形面

D．橢圓面或部分橢圓面參考答案：C3.已知命題P：若平面向量，，滿足（?）?=（?）?，則向量與一定共線．命題Q：若?＞0，則向量與的夾角是銳角．則下列選項(xiàng)中是真命題的是（）A．P∧Q B．（￢P）∧Q C．（￢P）∧（￢Q） D．P∧（￢Q）參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】先判斷出命題P和命題Q的真假，進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案．【解答】解：命題P：若平面向量，，滿足（?）?=（?）?，則向量與共線或?yàn)榱阆蛄浚蕿榧倜}，命題Q：若?＞0，則向量與的夾角是銳角或零解，故為假命題．故命題P∧Q，（￢P）∧Q，P∧（￢Q）均為假命題，命題（￢P）∧（￢Q）為真命題，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，向量的運(yùn)算，向量的夾角等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．4.已知S—ABC是正四面體，M為AB的中點(diǎn)，則SM與BC所成的角的余弦值為（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.已知都是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象過(guò)(0,1)點(diǎn)，則的最小值是A．

B．

C．4

D．2參考答案：A略6.已知集合，則（RA）∩B=

（

） A． B． C． D．參考答案：C7.將函數(shù)的圖像（

），可得函數(shù)的圖像.A．向左平移個(gè)單位

B．向左平移個(gè)單位

C．向右平移個(gè)單位

D．向右平移個(gè)單位參考答案：B略8.已知二次曲線+=1，則當(dāng)m∈[﹣2，﹣1]時(shí)，該曲線的離心率e的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】首先判斷當(dāng)m∈[﹣2，﹣1]時(shí)，二次曲線為雙曲線，將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，再由離心率公式，即可得到范圍．【解答】解：由當(dāng)m∈[﹣2，﹣1]時(shí)，二次曲線為雙曲線，雙曲線+=1即為﹣=1，且a2=4，b2=﹣m，則c2=4﹣m，即有，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的范圍，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)，求的值為A

B

C

D參考答案：B10.平面直角坐標(biāo)系上有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，如果直線和的斜率之積為定值，則點(diǎn)的軌跡不可能是(下列軌跡的一部分)A．圓

B．橢圓 C．雙曲線

D．拋物線參考答案：D以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB的所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

則，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡不可能是拋物線。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知隨機(jī)變量的分布列如右表，則

；

.12

參考答案：，12.已知，定義．經(jīng)計(jì)算…，照此規(guī)律，則

．參考答案：試題分析：觀察各個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)分母都是，分子依次是，前邊是括號(hào)里是，故．考點(diǎn)：歸納推理的應(yīng)用．13.一盒子中有編號(hào)為1至7的7個(gè)紅球和編號(hào)為1至6的6個(gè)白球，現(xiàn)從中摸出5個(gè)球，并從左到右排成一列，使得這5個(gè)球的顏色與編號(hào)奇偶數(shù)均相間排列，則不同的排法有______種.（用數(shù)字作答）參考答案：288【分析】由題意先確定取球的4種方法，再按要求排列即可．【詳解】要滿足這5個(gè)球的顏色與編號(hào)奇偶數(shù)均相間排列，則從中摸出5個(gè)球可能是2個(gè)紅色奇數(shù)號(hào)球和3個(gè)白色偶數(shù)號(hào)球；也可能是2個(gè)白色奇數(shù)號(hào)球和3個(gè)紅色偶數(shù)號(hào)球；或2個(gè)紅色偶數(shù)號(hào)球和3個(gè)白色奇數(shù)號(hào)球；也可能是2個(gè)白色偶數(shù)號(hào)球和3個(gè)紅色奇數(shù)號(hào)球；當(dāng)2個(gè)紅色奇數(shù)號(hào)球和3個(gè)白色偶數(shù)號(hào)球按要求排列時(shí)，有種方法；當(dāng)2個(gè)白色奇數(shù)號(hào)球和3個(gè)紅色偶數(shù)號(hào)球按要求排列時(shí)，有種方法；當(dāng)2個(gè)紅色偶數(shù)號(hào)球和3個(gè)白色奇數(shù)號(hào)球按要求排列時(shí)，有種方法；當(dāng)2個(gè)白色偶數(shù)號(hào)球和3個(gè)紅色奇數(shù)號(hào)球按要求排列時(shí)，有種方法；綜上共有72+36+36+144=288種排法.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，考查了分析問(wèn)題的邏輯思維能力，注意合理地進(jìn)行分類(lèi)．14.一個(gè)容量為的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下表：組距頻數(shù)

2

3

4

5

4

2則樣本在區(qū)間

上的頻率為_(kāi)_________________。參考答案：

解析：15.如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AE=8，AB=10，則CE的長(zhǎng)為

．參考答案：1考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專(zhuān)題：直線與圓．分析：連接OD，BC，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形性質(zhì)推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；解答： 解：連接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE．又AE⊥DE，∴DE⊥OD．而OD為半徑，∴DE是⊙O的切線；連接BC，交OD于G，AB是圓的直徑，所以AC⊥BC，所以四邊形CEDG是矩形，∵OD∥AE，O是AB中點(diǎn)，∴G是BC中點(diǎn)，∴CG=DE=BC=3，∴BG=3，OG=4，∴DG=1，所以CE=1；故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及切線的判斷、矩形的判斷等知識(shí)點(diǎn)；比較綜合，但難度不大．16.數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得的最大整數(shù)的值是.參考答案：417.如圖，等腰△PAB所在平面為α，PA⊥PB，AB=6.G是△PAB的重心.平面α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線l將△PAB分成兩部分，把點(diǎn)P所在的部分沿直線l翻折，使點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P′（P′平面α）.若P′在平面α內(nèi)的射影H恰好在翻折前的線段AB上，則線段P′H的長(zhǎng)度的取值范圍是

．

參考答案：因?yàn)榈妊谄矫鏋?，?G是的重心，所以可得，連接，在中，，，當(dāng)H與A重合時(shí)HG最大為2，此時(shí)最小，與A重合）作于H，此時(shí)GH最小為1,最大為，的長(zhǎng)度的取值范圍是，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)B作⊙O的切線交Ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（Ⅰ）證明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）證明：AE?DC=AB?BE．參考答案：【考點(diǎn)】相似三角形的判定；與圓有關(guān)的比例線段．【專(zhuān)題】計(jì)算題；直線與圓．【分析】（1）由BE是⊙O的切線，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，從而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先證明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，從而可得，即可得解．【解答】解：（1）因?yàn)锽E是⊙O的切線，所以∠EBD=∠BAD…又因?yàn)椤螩BD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因?yàn)椤螧CD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE?DC=AB?BE…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定，與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的切線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．參考答案：（Ⅰ）由題意可知，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人），參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人）．所以參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為（人）．（Ⅱ）設(shè)所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)為事件．由（Ⅰ）可知，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有4人，記為；參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有2人，記為．

從這6人中任意選取2人有共15種情況．

事件包括共7種情況．

所以所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．20.（本小題滿分l2分）已知△ABC的三內(nèi)角分別為A，B，C，B＝記函數(shù)f（A）＝（1）若f（A）＝0，b＝2，求△ABC的面積；（2）若關(guān)于A的方程f（A）＝k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。參考答案：21.如圖，P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓Γ經(jīng)定點(diǎn)B（1，0），直線l是圓Γ在點(diǎn)B處的切線，過(guò)A（﹣1，0）作圓Γ的兩條切線分別與l交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）求證：|EA|+|EB|為定值；（2）設(shè)直線l交直線x=4于點(diǎn)Q，證明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，可得|EA|+|EB|=|AM|====4；（2）確定E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），聯(lián)立，E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價(jià)于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2，利用韋達(dá)定理，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）設(shè)AE切圓于M，直線x=4與x軸的交點(diǎn)為N，則EM=EB，∴|EA|+|EB|=|AM|====4為定值；（2）同理|FA|+|FB|=4，∴E，F(xiàn)均在橢圓=1上，設(shè)直線EF的方程為x=my+1（m≠0），令x=4，yQ=，直線與橢圓方程聯(lián)立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則y1+y2=﹣，y1y2=﹣∵E，B，F(xiàn)，Q在同一條直線上，∴|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|等價(jià)于﹣y1?+y1y2=y2?﹣y1y2