傅里葉變換課件

傅里葉分析傅里葉分析1Fourier變換的提出1807年傅立葉寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學(xué)院呈交，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕.1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎(jiǎng)，卻未正式發(fā)表。1817年傅立葉由于對傳熱理論的貢獻(xiàn)于當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士。1822年成傅立葉為科學(xué)院終身秘書?！稛岬慕馕隼碚摗氛匠霭娓盗⑷~在論文中推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)?！稛岬慕馕隼碚摗酚绊懥苏麄€(gè)19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程和各個(gè)學(xué)科的發(fā)展，是數(shù)學(xué)和科學(xué)中的偉大發(fā)明之一。讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉1768年3月21日－1830年5月16日法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Fourier變換的提出1807年傅立葉寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本2時(shí)間序列時(shí)間序列3三角級數(shù)定義由周期為2π的正弦和余弦函數(shù)的線性組合而成的無窮級數(shù)基本函數(shù)族組成：1，cos(nt)，sin(nt)性質(zhì)：任意兩個(gè)在一個(gè)周期上的積分等于0，稱為正交性；三角級數(shù)定義4傅里葉展開傅里葉展開定理：其中：可得展開系數(shù)：傅里葉展開傅里葉展開定理：其中：可得展開系數(shù)：5傅里葉展開的意義傅立葉展開的意義：理論意義：把復(fù)雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示；應(yīng)用意義：用三角函數(shù)之和近似表示復(fù)雜的周期函數(shù)例子：對稱方波的傅立葉展開傅里葉展開的意義傅立葉展開的意義：例子：對稱方波的傅立葉展開6傅里葉變換ppt課件7傅里葉變換ppt課件8傅里葉級數(shù)推廣（1）問題：把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展開：方法：對基本公式作變換

傅里葉級數(shù)推廣（1）問題：把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展9傅里葉級數(shù)推廣（2）問題：把定義在[-L,L]上的函數(shù)f(t)展開；方法：先把它延拓為周期函數(shù)(即把它當(dāng)成是一個(gè)周期為2L的函數(shù)的一部分)，再按推廣1展開；拓延前：拓延后：問題：把定義在[0,L]上的函數(shù)f(t)展開；方法：先把它延拓為[-L,L]上的奇函數(shù)或偶函數(shù)再按上述方法展開；傅里葉級數(shù)推廣（2）問題：把定義在[-L,L]上的函數(shù)10傅里葉級數(shù)展開的復(fù)數(shù)形式基本函數(shù)族：正交性：展開系數(shù)：展開公式：傅里葉級數(shù)展開的復(fù)數(shù)形式基本函數(shù)族：正交性：展開系數(shù)：展開公11傅里葉級數(shù)在海洋工程中應(yīng)用舉例傅里葉級數(shù)在海洋工程中應(yīng)用舉例12幅值的獲取3階Stokes波幅值的獲取3階Stokes波13波浪在潛堤上傳播波浪在潛堤上傳播14數(shù)值模型的驗(yàn)證數(shù)值模型的驗(yàn)證15如何計(jì)算需注意：必須在整周期內(nèi)計(jì)算cos或者sin函數(shù)的選取根據(jù)波形的起始情況如何計(jì)算需注意：必須在整周期內(nèi)計(jì)算16特殊情況處理辦法

——時(shí)間不連續(xù)序列的分析由于在波浪作用下自由水面是上下振動(dòng)的，在測波浪點(diǎn)壓力時(shí)，模型自由水面附近有一部分時(shí)間段會(huì)在波谷到達(dá)測點(diǎn)時(shí)會(huì)露出水面，這段時(shí)間測不到壓力值，會(huì)導(dǎo)致所測時(shí)間序列的不連續(xù)，因此無法用前述方法進(jìn)行計(jì)算。特殊情況處理辦法

——時(shí)間17計(jì)算步驟：假定有效測量時(shí)間Te為波動(dòng)的周期，在Te時(shí)間內(nèi)對上式進(jìn)行積分壓力時(shí)間序列為：可求得：壓力時(shí)間序列為：可求得：18傅里葉變換傅里葉變換19非周期函數(shù)的傅里葉展開非周期函數(shù)的傅立葉展開問題：把定義在（－∞，∞）中的非周期函數(shù)f(x)展開；思路：把該函數(shù)定義在（－L，L）中的部分展開，再令L→∞；實(shí)施：展開公式展開系數(shù)：困難展開系數(shù)cn為無窮?。粌缰笖?shù)n

x/L不確定。非周期函數(shù)的傅里葉展開非周期函數(shù)的傅立葉展開展開系數(shù)：困難20解決方法：把nπ/L

作為新變量，即定義ωn=nπ/L；把cnL/π作為新的展開系數(shù)，即定義F(ωn)=cnL/π.公式的新形式：展開公式：展開系數(shù)：取極限：傅立葉變換：傅立葉積分：解決方法：展開系數(shù)：取極限：傅立葉積分：21例矩形脈沖函數(shù)為如圖所示:1-1Otf

(t)1例矩形脈沖函數(shù)為如圖所示:1-1Otf(t)1221-13T=4f4(t)t

現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t),

令T=4,則

1-13T=4f4(t)t現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一23則：則：24sinc(x)xsinc函數(shù)介紹sinc(x)xsinc函數(shù)介紹2526前面計(jì)算出w可將以豎線標(biāo)在頻率圖上26前面計(jì)算出w可將以豎線標(biāo)在頻率圖上2627如果令T=16,可計(jì)算出w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上27如果令T=16,可計(jì)算出w再將以豎線標(biāo)在頻率圖上27

當(dāng)周期T越來越大時(shí),各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來越小,而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f

(t)看作是周期無窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無窮多個(gè)無窮小的正弦波構(gòu)成,將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f

(t)的各個(gè)頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f

(t)的傅里葉變換.當(dāng)周期T越來越大時(shí),各個(gè)頻率的正弦波的頻率間28傅里葉變換的實(shí)質(zhì)時(shí)間/空間域頻/波數(shù)域傅里葉變換的實(shí)質(zhì)時(shí)間/空間域頻/波數(shù)域29傅里葉變換的算法連續(xù)傅里葉變換實(shí)際中采集的數(shù)據(jù)都是離散形式（間隔為

t）并且采集點(diǎn)數(shù)是有限的：離散傅里葉變換傅里葉變換的算法連續(xù)傅里葉變換實(shí)際中采集的數(shù)據(jù)都是離散形式（30假定數(shù)據(jù)是周期性的，采樣間隔為

t,則頻率分辨率為頻率可表示為：離散傅里葉變換可表示為：寫成矩陣形式：其中：假定數(shù)據(jù)是周期性的，采樣間隔為t,則頻率分辨率為頻率可表31一個(gè)算例取n=0,1,2,4,

t=1/4。一個(gè)算例取n=0,1,2,4,t=1/4。32傅里葉變換ppt課件33傅里葉變換ppt課件34離散傅里葉逆變換：離散傅里葉變換是關(guān)于N/2對稱的離散傅里葉逆變換：離散傅里葉變換是關(guān)于N/2對稱的35快速傅里葉變換-FFTN=8快速傅里葉變換-FFTN=836傅里葉變換ppt課件37FFT中的蝶形運(yùn)算FFT中的蝶形運(yùn)算38傅里葉變換ppt課件39DFTvsFFTDFTvsFFT40MatlabFFT實(shí)用方法命令:fft:計(jì)算時(shí)間序列的fftfftshift：把fft計(jì)算的結(jié)果按照頻率順序排列，N/2對應(yīng)的是

零頻率需注意的是：N必須是2的整數(shù)次方：8,16,32……256,…….1024……MatlabFFT實(shí)用方法命令:需注意的是：N必須是2的41計(jì)算截止頻率計(jì)算頻率分辨率去勢（把零頻率成分去掉）計(jì)算fft計(jì)算截止頻率42柵格效應(yīng)X(f)f0ΔfΔ如果信號中的頻率分量與頻率取樣點(diǎn)不重合，則只能按四舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點(diǎn)譜線值代替。解決辦法：增加頻率分辨率增大采樣間隔增多采樣次數(shù)How？柵格效應(yīng)X(f)f0ΔfΔ如果信號中的頻率分量與頻率取樣點(diǎn)不43能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減小因柵欄效應(yīng)帶來的譜峰幅值估計(jì)誤差，有其好的一面，而旁瓣泄漏則是完全有害的。能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以減44泄露解決方法