第三章3 4相互獨(dú)立隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性二、二維隨機(jī)變量的推廣三、小結(jié)第四節(jié)

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量一、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量1.定義設(shè)F

(x,y)及FX

(x),FY

(y)分別是二維隨機(jī)變量(X

,Y

)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對(duì)于所有x,

y

有P{

X

￡

x,Y

￡

y}

=

P{

X

￡

x}P{Y

￡

y},F

(

x,

y)

=

FX

(

x)FY

(

y),則稱隨機(jī)變量

X

和

Y

是相互獨(dú)立的

.即2.說(shuō)明(1)若離散型隨機(jī)變量(X,Y

)的聯(lián)合分布律為P{

X

=

i,Y

=

j}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.X

和Y

相互獨(dú)立P

{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

P

{

X

=

xi

}P

{Y

=

y

j

}

,p?j

.pij

=

pi?即f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y).X

和

Y

相互獨(dú)立(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X

,Y

)的聯(lián)合概率密度為f

(x,y),邊緣概率密度分別為f

X

(x),fY

(y),則有(3)X

和

Y

相互獨(dú)立

,

則

f

(

X

)

和

g(Y

)也相互獨(dú)立

.例1

對(duì)于第一節(jié)例2中的隨機(jī)變量

X和Y，由于

f

X

(

x)

=

2e-2

x

,x

>

0,其他，0,f

(

y)Y

=

e-

y

,y

>

0,其他，0,f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y),因而X和Y是相互獨(dú)立的.得Y

X01P{Y

=

j}11

62

61

221

62

61

2P{x

=

i}1

32

31例2

若X,Y具有聯(lián)合分布率則有

P{X

=0,Y

=1}=

1

6

=

P{

X

=

0}P{Y

=

1},P{X

=0,Y

=2}=

1

6

=

P{

X

=

0}P{Y

=

2},P{X

=1,Y

=1}

=

2

6

=

P{

X

=

1}P{Y

=

1},P{X

=1,Y

=2}=

2

6

=

P{

X

=

1}P{Y

=

2},二、二維隨機(jī)變量的推廣1.分布函數(shù)n

維隨機(jī)變量(X1

,X

2

,

,Xn

)的分布函數(shù)定義為F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

=

P{

X1

￡

x1

,

X

2

￡

x2

,

,

Xn

￡

xn

},其中x1

,x2

,

,xn

為任意實(shí)數(shù).2.概率密度函數(shù)

-￥ -￥xnxn-1f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x1

d

x2

d

xn

,

x1-￥=若存在非負(fù)函數(shù)

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

),

使對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x1

,

x2

,

,

xn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)則稱f

(x1

,x2

,

,xn

)為(X1

,X

2

,

,Xn

)的概率密度函數(shù).3.邊緣分布函數(shù)設(shè)(X1

,X

2

,

,Xn

)的分布函數(shù)F

(x1

,x2

,

,xn

)為已知,則(X1

,X

2

,

,Xn

)的k(1

￡

k

<n)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定.例如(X1

,X

2

,

,Xn

)關(guān)于X1、關(guān)于(X1

,X

2

)的邊緣分布函數(shù)分別為FX

(

x1

)

=

F

(

x1

,

￥

,

￥

,

,

￥

)1FX

,

X

(

x1

,

x2

)

=

F

(

x1

,

x2

,

￥

,

￥

,

,

￥

).1

24.邊緣概率密度函數(shù)若f

(x1

,x2

,

,xn

)是(X1

,X

2

,

,Xn

)的概率密度,則(X1

,X

2

,

,Xn

)關(guān)于X1

,關(guān)于(X1

,X

2

)的邊緣概率密度分別為f

X

(

x1

)1f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x2

d

x3

d

xn

,

￥

￥-￥

-￥￥-￥=f

X

,

X

(

x1

,

x2

)1

2f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)d

x3

d

x4

d

xn

.

￥

￥-￥

-￥￥-￥=同理可得(X1

,X

2

,

,Xn

)的k(1

￡

k

<n)維邊緣概率密度.5.

相互獨(dú)立性若對(duì)于所有的

x1

,

x2

,

,

xn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

=

FX

(

x1

)FX

(

x2

)

FX

(

xn

),1

2

n則稱

X1

,

X

2

,

,

Xn

是相互獨(dú)立的

.若對(duì)于所有的

x1

,

x2

,

,

xm

,

y1

,

y2

,

,

yn

有F

(

x1

,

x2

,

,

xm

,

y1

,

y2

,

,

yn

)=

F1

(

x1

,

x2

,

,

xm)F2

(

y1

,

y2

,

,

yn

).其中F1

,F2

,F依次為隨機(jī)變量(X1

,X

2

,

,Xm

)、(Y1

,Y2

,

,Yn

)和(X1

,X

2

,

,Xm

,Y1

,Y2

,

,Yn

)的分布函數(shù),

則稱隨機(jī)變量(

X1

,

,

Xm

)和(Y1

,

,Yn

)是相互獨(dú)立的.6.重要結(jié)論定理

設(shè)(

X1

,

X

2

,

,

Xm

)

和

(Y1

,Y2

,

,Yn

)

相互獨(dú)立,則Xi

(i

=1,2,

,m)和Yj

(j

=1,2,

,n)相互獨(dú)立.又若

h,

g是連續(xù)函數(shù)

,

則h(

X1

,

X

2

,

,

Xm

)

和

g(Y1

,Y2

,

,Yn

)相互獨(dú)立.f

(

x,

y)

=

f

X

(

x)

fY

(

y).X

和Y

相互獨(dú)立P{

X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

P{

X

=

xi

}P{Y

=

y

j

}.X

和Y

相互獨(dú)立三、小結(jié)2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X

,Y

)的聯(lián)合概率密度為f

(x,y),邊緣概率密度分別為f

X

(x),fY

(y),則有1.

若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為P{

X

=

i,Y

=

j}

=

pij

,

i,

j

=

1,2,

.Y

X4.設(shè)(X

,Y

)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量

-￥=xY[

f

(

x,

y)

f

(

y)]d

x.

-￥=yX[