高中數(shù)學(xué)必修四課件：《任意角的概念》課件

必修四第一章

三角函數(shù)必修四1月盈則虧是周期現(xiàn)象月盈則虧是周期現(xiàn)象2錢塘江一線潮由于月球和太陽(yáng)的引潮力作用，使海洋水面發(fā)生的周期性漲落的潮汐現(xiàn)象。

錢塘江一線潮31.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念41、角的概念初中是如何定義角的？

從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.

角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。初中學(xué)過(guò)的角的范圍是：0o至360o。

1、角的概念初中是如何定義角的？5

然而生活中有很多實(shí)例的角會(huì)不在該范圍：體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o（即“轉(zhuǎn)體2周”），跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o（“轉(zhuǎn)體3周”）；經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？這些例子中有的角不僅不在范圍：0o至360o，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，那么用什么辦法才能推廣到任意角？關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看待角的變化。然而生活中有很多實(shí)例的角會(huì)不在該范圍：62．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角如圖：一條射線由原來(lái)的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．

旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角7⑵．“正角”與“負(fù)角”、“零角”我們規(guī)定：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”與“負(fù)角”、“零角”8

特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角即零度角（0o）．此時(shí)零角的始邊與終邊重合。角的記法：角α或可以簡(jiǎn)記成∠α，或簡(jiǎn)記為：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……特別地，當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)9⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了①角有正負(fù)之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒(méi)有旋轉(zhuǎn).⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)10

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定源于實(shí)際的需要，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無(wú)正負(fù)，就好象數(shù)零無(wú)正負(fù)一樣．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角11用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量

（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來(lái)表示，那么許多問(wèn)題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).用旋轉(zhuǎn)來(lái)描述角，需要注意三個(gè)要素：（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的12（3）旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過(guò)一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過(guò)360o，角度的絕對(duì)值可大于360o.于是就會(huì)出現(xiàn)720o，－540o等角度.旋轉(zhuǎn)方向決定角的符號(hào)，旋轉(zhuǎn)量決定角的大小。（3）旋轉(zhuǎn)量：旋轉(zhuǎn)方向決定角的符號(hào)，旋轉(zhuǎn)量決定角的大小。133．象限角

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角。

角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，這樣一來(lái)，角的終邊落在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限此時(shí)這種角稱為：軸線角）例如：30、390、330是第一象限角，

300、60是第四象限角，

585、1300是第三象限角，

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、2000是第二象限角等3．象限角為了研究方便，我們往往在平面直角坐144．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示此角與k(k∈Z)個(gè)周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．終邊相同的角⑴觀察：390，330角，它們的15⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}

即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。⑶結(jié)論：16⑷注意以下四點(diǎn)：①

k∈Z，

K>0，表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

K<0,表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

②

是任意角；③

k·360o與之間是“+”號(hào)，如k·360o－30o,應(yīng)看成(－30o)+k·360o

；④

終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差360o的整數(shù)倍.

所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。⑷注意以下四點(diǎn)：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)17例1.在0o~360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=240o+（-1）×360o，

∴－120o的角與240o的角終邊相同，它是第三象限角．⑵∵640o=280o+1×

360o，

∴640o的角與280o的角終邊相同，它是第四象限角．即：[00,3600)例1.在0o~360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角18⑶解：∵－950o12’=129o48’+（-3）×360o，

∴-950o12’的角與129o48’的角終邊相同，它是第二象限角．(3)－950o12′.例1.在0o~360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.⑶解：∵－950o12’=129o48’+（-3）×319例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫出來(lái)：

(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.解：(1)S={β|β=60o+k·360o，k∈Z},

S中在－360o～720o間的角是

0×360o+60o=60o；－1×360o+60o=－300o；

1×360o+60o=420o．方法二例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－320(2)S={β|β=－21o+k·360o，k∈Z}

S中在－360o～720o間的角是

0×360o－21o=－21o；

1×360o－21o=339o；

2×360o－21o=699o．(3)S=｛β|β=363o14’+k·360o，k∈Z}S中在－360o～720o間的角是

0×360o+363o14’=363o14’；

－1×360o+363o14’=3o14’；－2×360o+363o14’=－356o46’．例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫出來(lái)：

(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.(2)S={β|β=－21o+k·360o，k∈Z21例3寫出終邊分別落在四個(gè)象限的角的集合.終邊落在坐標(biāo)軸上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+

K·360°例3寫出終邊分別落在四個(gè)象限的角的集合.終邊落在坐標(biāo)軸上的情22第一象限的角表示為

{|k360<<90+k360,kZ}；第二象限的角表示為

{|90+k360<<180+k360，kZ}；第三象限的角表示為

{|180+k360<<270+k360，kZ}第四象限的角表示為

{|270+k360<<360+k360，kZ}第一象限的角表示為23例4、寫出終邊落在y軸上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°例4、寫出終邊落在y軸上的角的集合.xyo0°90°180°24例4解：終邊落在ｙ軸非負(fù)半軸和非正半軸上的角的集合分別記為為S1，S2S1={β|β=90o

+K?360o,K∈Z}S2={β|β=270o+K?360o,K∈Z}

={β|β=90o+180o+K360o,K∈Z}={β|β=90o+（2K+1）?180o，K∈Z}即：S2={β|β=90o+180o的奇數(shù)倍}同理S1={β|β=90o+180o的偶數(shù)倍}終邊落在ｙ軸上的角的集合為S=S1∪S2

S={β|β=90o+K?180o，K∈Z}例4解：終邊落在ｙ軸非負(fù)半軸和非正半軸上的角的集合分別記為為25課堂練習(xí)1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角．課堂練習(xí)1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？262．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個(gè)象限的角？(1)420o，(2)－75o，(3)855o，(4)－510o．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，273、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（）

Ax軸的非負(fù)半軸上By軸的非負(fù)半軸上

Cx軸的非正半軸上Dy軸的非正半軸上A4、終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360o(k∈Z)}B{β|β=k·180o(k∈Z)}C{β|β=k·90o(k∈Z)}D{β|β=k·180o+90o(k∈Z)}C3、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（285、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，則180o－α是（