試講內(nèi)容之-定積分課件

第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分第五章積分學(xué)不定積分定積分定積分1第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的概念及性質(zhì)第五章第一節(jié)一、定積分問(wèn)題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質(zhì)2一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形面積梯形面積一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線3解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解決步驟:1)大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入43)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機(jī)動(dòng)目錄52.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過(guò)的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束n個(gè)小段過(guò)的路程為2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)63)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:解決問(wèn)題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問(wèn)題的共性:解決問(wèn)題7二、定積分定義(P277)任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱f(x)在[a,b]上可積.記作機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分定義(P277)任一種分法任取總趨于確定的極限8積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分是一個(gè)數(shù)值，僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),即而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分是一個(gè)9利用定積分的定義，我們前面討論的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以分別表述如下：

利用定積分的定義，我們前面討論的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以10定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的11定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n等分,分點(diǎn)為取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)可積的充分條件:(證明略12注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束13[注]

利用得兩端分別相加,得即[注]利用得兩端分別相加,得即14例2.

用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.用定積分表示下列極限:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)15說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束16(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛17三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=18證:當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取c為分點(diǎn),于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取19當(dāng)a,b,c的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)a,b,c的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有機(jī)動(dòng)206.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a,b]上則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a21推論2.證:即7.設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論2.證:即7.設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)228.積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束8.積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉23說(shuō)明:可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束積分中值定理對(duì)因說(shuō)明:可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.機(jī)動(dòng)目24例4.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度25內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性26思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解:或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.用定積分表示下述極限:解:或機(jī)動(dòng)目錄27思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機(jī)動(dòng)282.P287題33.P287題4(2),(4)題4(4)解:設(shè)則即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.P287題33.P287