【解析】2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：三角形

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：三角形

一、選擇題

1．（2023·衡陽(yáng)）下列長(zhǎng)度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；三角形相關(guān)概念

【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，

∴不能構(gòu)成三角形；

B、∵3+5=8，

∴不能構(gòu)成三角形；

C、∵4+5＜10，

∴不能構(gòu)成三角形；

D、∵4+5＞6，

∴能構(gòu)成三角形；

故答案為：D.

【分析】利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

2．（2023·長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：

A、1+3=4，故不能組成三角形，A不符合題意；

B、2+2＜7，故不能組成三角形，B不符合題意；

C、4+5＞7，故能組成三角形，C符合題意；

D、3+3=6，故不能組成三角形，D不符合題意；

故答案為：C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系結(jié)合題意對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

3．（2023·張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，

∴，

∴該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得到，進(jìn)而即可求解。

4．（2023·懷化）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件

B．一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．任意多邊形的外角和等于

D．三角形三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；多邊形內(nèi)角與外角；隨機(jī)事件；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：A：成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件，不符合題意；

B：∵，

∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；

C：任意多邊形的外角和等于，不符合題意；

D：三角形三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義，根的判別式，任意多邊形的外角和都是360°，三角形的重心等對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

5．（2023·張家界）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；三角形的面積；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形OABC為矩形，

∴OA=CB，AB=OC，

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，

∴延長(zhǎng)MO，且經(jīng)過點(diǎn)B，如圖所示：

∴M，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，

∴，

∴，

解得mn=16，

∴k=4，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OA=CB，AB=OC，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），進(jìn)而根據(jù)題意延長(zhǎng)MO，且經(jīng)過點(diǎn)B，進(jìn)而得到M，再結(jié)合題意得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到BD的長(zhǎng)，從而根據(jù)三角形的面積得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)求出mn即可求解。

二、填空題

6．（2023·岳陽(yáng)）如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線．若，則．

【答案】30

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的定義

【解析】【解答】解：由作法可得：OC是∠AOB的平分線，

∴∠AOC=∠AOB=30°，

故答案為：30.

【分析】根據(jù)題意先求出OC是∠AOB的平分線，再計(jì)算求解即可。

7．（2023·長(zhǎng)沙）如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得BD=BE，

∵，

∴，

故答案為：65

【分析】先根據(jù)題意得到BD=BE，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可求解。

8．（2023·張家界）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵為的平分線，

∴∠BAO=∠CAO=25°，

由旋轉(zhuǎn)得∠CAO=∠C'AO'=25°，

∵，

∴四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是100°-25°=75°，

故答案為：75°

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到∠BAO=∠CAO=25°，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAO=∠C'AO'=25°，再根據(jù)題意即可求解。

9．（2023·常德）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)，．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】0.1

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵，，

由勾股定理得，

∵C是弦的中點(diǎn)，D在上，，

∴點(diǎn)O位于CD的延長(zhǎng)線上，且，

∴，

∴，，

∴，

故答案為：0.1

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合勾股定理即求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，再結(jié)合題意代入數(shù)值即可求解。

10．（2023·郴州）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是cm（結(jié)果用含的式子表示）．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示，弧即為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑：

∵在中，，，

∴BC=6，

∴由勾股定理得，

由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB'，∠CAC'=60°，

∵∠B=60°，

∴△ABB'為等邊三角形，

∴∠B'AB=60°，

∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出CA的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到∠B'AB=60°，最后運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可求解。

11．（2023·株洲）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答】解：由題意得，，

∴，

故答案為：22.5

【分析】先根據(jù)題意得到∠B和∠A的度數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求解。

12．（2023·衡陽(yáng)）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)OC與AB所在的直線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD，

∵CD是圓C的半徑，AB與圓C相切于點(diǎn)D，

∴AB⊥CD，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意先求出AB⊥CD，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可。

13．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：∵矩形中，，

∴，

由勾股定理得，

①當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，如圖所示：

∴BA=B'A=2，

∴點(diǎn)B'位于以A為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

故當(dāng)A，C，B'三點(diǎn)共線時(shí)，CB'最短，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，如圖所示：

由題意得；

③當(dāng)點(diǎn)P位于CD上時(shí)，如圖所示：

由題意得；

綜上所述，線段的最小值為，

故答案為：

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可得到CA的長(zhǎng)，然后運(yùn)用圓外一點(diǎn)到圓上的距離進(jìn)行分類討論即可求解。

三、作圖題

14．（2023·郴州）如圖，四邊形是平行四邊形．

（1）尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；

（2）若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形

【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

如圖：設(shè)與交于點(diǎn)，

∵是的垂直平分線，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∵，

∴四邊形為菱形．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】（1）根據(jù)作圖-垂直平分線即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到，再運(yùn)用平行四邊形的判定與菱形的判定即可求解。

四、綜合題

15．（2023·長(zhǎng)沙）年月日點(diǎn)分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．

（1）求點(diǎn)離地面的高度；

（2）求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)

【答案】（1）解：在中，，，，

，

（2）解：在中，，，，

，

在中，，，

，

，

，

飛船從處到處的平均速度．

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)解直角三角形即可得到，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到AB，再結(jié)合題意即可求解。

16．（2023·長(zhǎng)沙）如圖，，，，垂足分別為，．

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明：，，

，

在和中，

，

；

（2）解：，

，

在中，，

，

．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）先根據(jù)垂直得到，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的判定（AAS）即可求解；

（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出AC，再結(jié)合題意運(yùn)用即可求解。

17．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）解：

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

過作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，

連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為

即所求的坐標(biāo)為

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，過作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時(shí)，連接，過作交于，過作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長(zhǎng)，進(jìn)而運(yùn)用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到過的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解。

18．（2023·株洲）如圖所示，在中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段上，連接，點(diǎn)G、F分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形為平行四邊形

（2），求線段的長(zhǎng)度．

【答案】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，

∴，

∵點(diǎn)G、F分別為、的中點(diǎn)．

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形為平行四邊形，

∴，

∵

∴，

∵，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)平行四邊形的判定即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)勾股定理結(jié)合題意即可求解。

19．（2023·岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)在的邊上，，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①；②；③，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使為矩形．

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；

（2）添加條件后，請(qǐng)證明為矩形．

【答案】（1）答案不唯一，①或②

（2）解：添加條件①，為矩形，理由如下：

在中，，

在和中，

∴

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴為矩形；

添加條件②，為矩形，理由如下：

在中，，

在和中，

∴

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴為矩形

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；矩形的判定

【解析】【解答】解：（1）添加的條件是①或②，

故答案為：①或②（答案不唯一）.

【分析】（1）根據(jù)題意添加條件即可；

（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定方法證明求解即可。

20．（2023·懷化）如圖，矩形中，過對(duì)角線的中點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，．

（1）證明：；

（2）連接、，證明：四邊形是菱形．

【答案】（1）證明：如圖所示，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

在與中

，

∴；

（2）解：∵

∴，

又∵

∴四邊形是平行四邊形，

∵

∴四邊形是菱形．

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出，最后利用全等三角形的判定方法證明即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)求出，再求出四邊形是平行四邊形，最后利用菱形的判定方法證明即可。

21．（2023·郴州）已知是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交射線于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，猜測(cè)線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；

②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．

【答案】（1）解：，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴，

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴；

（2）解：①成立，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴，

過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴；

②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，

由①知：為等邊三角形，，，

∵為等邊三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，則：，，

∴，

∵，

∴，

∴，即：②，

聯(lián)立①②可得：（負(fù)值已舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形的面積為

．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】（1），理由如下：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，，然后運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)證明，進(jìn)而即可求解；

（2）①成立，理由如下：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到，，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)結(jié)合題意即可求解；

②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，先根據(jù)為等邊三角形即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可得到AH的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明，即可得到，，再根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義即可得到，設(shè)，則：，，進(jìn)而得到，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得到②，聯(lián)立①②即可求出x，再運(yùn)用三角形的面積結(jié)合即可求解。

22．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）解：∵拋物線與直線交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

∴，

∵點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

則，，

∴，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，

∵，

∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，

∴，

∴面積的最大值；

（3）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，

∴，當(dāng)時(shí)，，即，

∵，

∴，

，，

①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中點(diǎn)重合，

∴，

解得：，

∴，

②當(dāng)為邊時(shí)，

當(dāng)四邊形為菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中點(diǎn)重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

當(dāng)時(shí)；

如圖所示，即四邊形是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時(shí)，的坐標(biāo)，

∴點(diǎn)為或，

綜上所述，點(diǎn)為或或或或．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）聯(lián)立拋物線和直線即可得到，進(jìn)而得到，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，然后即可表示MN的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可求解。

（3）先根據(jù)題意求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到BC和BM2的長(zhǎng)，然后進(jìn)行分類討論結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解。

23．（2023·岳陽(yáng)）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．

（1）初步嘗試：與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是．

（2）特例研討：如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

①求的度數(shù)；

②求的長(zhǎng)．

（3）深入探究：若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）MN=AC；MN//AC

（2）解：①如圖所示，連接，，

∵是的中位線，

∴，

∴

∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，

∴；

∵點(diǎn)在同一直線上時(shí)，

∴

又∵在中，是斜邊的中點(diǎn)，

∴

∴

∴是等邊三角形，

∴，即旋轉(zhuǎn)角

∴

∴是等邊三角形，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

②如圖所示，連接，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

設(shè)，則，

在中，，則，

在中，，

∴，

解得：或（舍去）

∴，

（3）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，且點(diǎn)在上時(shí)，

∵，

∴，

設(shè)，則，

∵是的中位線，

∴

∴，

∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

∴，，

∴

∴，

∵點(diǎn)在同一直線上，

∴

∴，

∴在同一個(gè)圓上，

∴

∴

∵，

∴；

如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，

∵

∴在同一個(gè)圓上，

設(shè)，則，

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，

設(shè)，則，則，

∴，

∵，

∴，

∵

∴

∴

綜上所述，或

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形的綜合

【解析】【解答】解：（1）∵，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，

∴MN是△ABC的中位線，

∴MN=AC，MN//AC，

故答案為：MN=AC，MN//AC.

【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線先求出MN是△ABC的中位線，再求解即可；

（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出是等邊三角形，最后求解即可；

②根據(jù)題意先求出，，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等計(jì)算求解即可；

（3）分類討論，結(jié)合圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)計(jì)算求解即可。

24．（2023·衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過B、C兩點(diǎn)作直線．

（1）求a的值．

（2）將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）解：拋物線與x軸交于點(diǎn)，

得，

解得：；

（2）解：存在，理由如下：

設(shè)與軸交于點(diǎn)，由（1）中結(jié)論，得拋物線的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，即，

，，即是等腰直角三角形，

，

，

，

設(shè)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

，即是等腰直角三角形，

設(shè)直線的解析式為，代入，

得，解得，

故直線的解析式為，

將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得直線的解析式為，

，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，

此時(shí)也有最大值，；

（3）解：存在或，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，

在軸上取點(diǎn)，作直線交拋物線于（異于點(diǎn)）點(diǎn)，

由（2）中結(jié)論，得，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得（舍），

故；

當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖，在軸上取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作拋物線于點(diǎn)，

，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點(diǎn)，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

，且過點(diǎn)，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得，（舍），

故，

綜上所述：或

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用-幾何問題；二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出，再求解即可；

（2）先求出是等腰直角三角形，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，最后計(jì)算求解即可；

（3）分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求解即可。

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：三角形

一、選擇題

1．（2023·衡陽(yáng)）下列長(zhǎng)度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023·長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）

A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6

3．（2023·張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”．若等邊的邊長(zhǎng)為3，則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（）

A．B．C．D．

4．（2023·懷化）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件

B．一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．任意多邊形的外角和等于

D．三角形三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心

5．（2023·張家界）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（）

A．2B．3C．4D．5

二、填空題

6．（2023·岳陽(yáng)）如圖，①在上分別截取線段，使；②分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線．若，則．

7．（2023·長(zhǎng)沙）如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是度．

8．（2023·張家界）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是．

9．（2023·常德）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)，．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

10．（2023·郴州）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是cm（結(jié)果用含的式子表示）．

11．（2023·株洲）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

12．（2023·衡陽(yáng)）如圖，在中，．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊所在的直線相切時(shí)，r的值為．

13．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)在矩形的邊上沿運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，將沿對(duì)折，得到，連接，則在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為．

三、作圖題

14．（2023·郴州）如圖，四邊形是平行四邊形．

（1）尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；

（2）若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形

四、綜合題

15．（2023·長(zhǎng)沙）年月日點(diǎn)分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．

（1）求點(diǎn)離地面的高度；

（2）求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)

16．（2023·長(zhǎng)沙）如圖，，，，垂足分別為，．

（1）求證：；

（2）若，，求的長(zhǎng)．

17．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

18．（2023·株洲）如圖所示，在中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段上，連接，點(diǎn)G、F分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：四邊形為平行四邊形

（2），求線段的長(zhǎng)度．

19．（2023·岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)在的邊上，，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①；②；③，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使為矩形．

（1）你添加的條件是（填序號(hào)）；

（2）添加條件后，請(qǐng)證明為矩形．

20．（2023·懷化）如圖，矩形中，過對(duì)角線的中點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，．

（1）證明：；

（2）連接、，證明：四邊形是菱形．

21．（2023·郴州）已知是等邊三角形，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交射線于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，猜測(cè)線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；

②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．

22．（2023·邵陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

23．（2023·岳陽(yáng)）如圖1，在中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接．

（1）初步嘗試：與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是．

（2）特例研討：如圖2，若，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），得到，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．

①求的度數(shù)；

②求的長(zhǎng)．

（3）深入探究：若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足，點(diǎn)在同一直線上時(shí)，利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

24．（2023·衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，過B、C兩點(diǎn)作直線．

（1）求a的值．

（2）將直線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，交拋物線于、兩點(diǎn)．在直線上方的拋物線上是否存在定點(diǎn)D，無論m取何值時(shí)，都是點(diǎn)D到直線的距離最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；三角形相關(guān)概念

【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，

∴不能構(gòu)成三角形；

B、∵3+5=8，

∴不能構(gòu)成三角形；

C、∵4+5＜10，

∴不能構(gòu)成三角形；

D、∵4+5＞6，

∴能構(gòu)成三角形；

故答案為：D.

【分析】利用三角形的三邊關(guān)系對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：

A、1+3=4，故不能組成三角形，A不符合題意；

B、2+2＜7，故不能組成三角形，B不符合題意；

C、4+5＞7，故能組成三角形，C符合題意；

D、3+3=6，故不能組成三角形，D不符合題意；

故答案為：C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系結(jié)合題意對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，

∴，

∴該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于，

故答案為：B

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可得到，進(jìn)而即可求解。

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；多邊形內(nèi)角與外角；隨機(jī)事件；三角形的重心及應(yīng)用

【解析】【解答】解：A：成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件，不符合題意；

B：∵，

∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，符合題意；

C：任意多邊形的外角和等于，不符合題意；

D：三角形三條中線的交點(diǎn)叫作三角形的重心，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義，根的判別式，任意多邊形的外角和都是360°，三角形的重心等對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；三角形的面積；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形OABC為矩形，

∴OA=CB，AB=OC，

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱中心M，

∴延長(zhǎng)MO，且經(jīng)過點(diǎn)B，如圖所示：

∴M，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，

∴，

∴，

解得mn=16，

∴k=4，

故答案為：C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OA=CB，AB=OC，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），進(jìn)而根據(jù)題意延長(zhǎng)MO，且經(jīng)過點(diǎn)B，進(jìn)而得到M，再結(jié)合題意得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到BD的長(zhǎng)，從而根據(jù)三角形的面積得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)求出mn即可求解。

6．【答案】30

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的定義

【解析】【解答】解：由作法可得：OC是∠AOB的平分線，

∴∠AOC=∠AOB=30°，

故答案為：30.

【分析】根據(jù)題意先求出OC是∠AOB的平分線，再計(jì)算求解即可。

7．【答案】65

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得BD=BE，

∵，

∴，

故答案為：65

【分析】先根據(jù)題意得到BD=BE，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可求解。

8．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵為的平分線，

∴∠BAO=∠CAO=25°，

由旋轉(zhuǎn)得∠CAO=∠C'AO'=25°，

∵，

∴四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是100°-25°=75°，

故答案為：75°

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到∠BAO=∠CAO=25°，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CAO=∠C'AO'=25°，再根據(jù)題意即可求解。

9．【答案】0.1

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵，，

由勾股定理得，

∵C是弦的中點(diǎn)，D在上，，

∴點(diǎn)O位于CD的延長(zhǎng)線上，且，

∴，

∴，，

∴，

故答案為：0.1

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合勾股定理即求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到，再結(jié)合題意代入數(shù)值即可求解。

10．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示，弧即為點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑：

∵在中，，，

∴BC=6，

∴由勾股定理得，

由旋轉(zhuǎn)可知AB=AB'，∠CAC'=60°，

∵∠B=60°，

∴△ABB'為等邊三角形，

∴∠B'AB=60°，

∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可求出CA的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再結(jié)合等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到∠B'AB=60°，最后運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即可求解。

11．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答】解：由題意得，，

∴，

故答案為：22.5

【分析】先根據(jù)題意得到∠B和∠A的度數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求解。

12．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)OC與AB所在的直線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD，

∵CD是圓C的半徑，AB與圓C相切于點(diǎn)D，

∴AB⊥CD，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

故答案為：.

【分析】根據(jù)題意先求出AB⊥CD，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可。

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；矩形的性質(zhì)；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；翻折變換（折疊問題）

【解析】【解答】解：∵矩形中，，

∴，

由勾股定理得，

①當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，如圖所示：

∴BA=B'A=2，

∴點(diǎn)B'位于以A為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

故當(dāng)A，C，B'三點(diǎn)共線時(shí)，CB'最短，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，如圖所示：

由題意得；

③當(dāng)點(diǎn)P位于CD上時(shí)，如圖所示：

由題意得；

綜上所述，線段的最小值為，

故答案為：

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可得到CA的長(zhǎng)，然后運(yùn)用圓外一點(diǎn)到圓上的距離進(jìn)行分類討論即可求解。

14．【答案】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

如圖：設(shè)與交于點(diǎn)，

∵是的垂直平分線，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

∵，

∴四邊形為菱形．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；作圖-線段垂直平分線

【解析】【分析】（1）根據(jù)作圖-垂直平分線即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到，再運(yùn)用平行四邊形的判定與菱形的判定即可求解。

15．【答案】（1）解：在中，，，，

，

（2）解：在中，，，，

，

在中，，，

，

，

，

飛船從處到處的平均速度．

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)解直角三角形即可得到，進(jìn)而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到AB，再結(jié)合題意即可求解。

16．【答案】（1）證明：，，

，

在和中，

，

；

（2）解：，

，

在中，，

，

．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）先根據(jù)垂直得到，進(jìn)而根據(jù)三角形全等的判定（AAS）即可求解；

（2）先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出AC，再結(jié)合題意運(yùn)用即可求解。

17．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）解：

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為

過作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，

連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為

即所求的坐標(biāo)為

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，進(jìn)而根據(jù)題意即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，過作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時(shí)，連接，過作交于，過作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長(zhǎng)，進(jìn)而運(yùn)用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到過的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而即可求解。

18．【答案】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，

∴，

∵點(diǎn)G、F分別為、的中點(diǎn)．

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形為平行四邊形，

∴，

∵

∴，

∵，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【分析】（1）先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得到，，進(jìn)而得到，再根據(jù)平行四邊形的判定即可求解；

（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，再根據(jù)勾股定理結(jié)合題意即可求解。

19．【答案】（1）答案不唯一，①或②

（2）解：添加條件①，為矩形，理由如下：

在中，，

在和中，

∴

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴為矩形；

添加條件②，為矩形，理由如下：

在中，，

在和中，

∴

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴為矩形

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；矩形的判定

【解析】【解答】解：（1）添加的條件是①或②，

故答案為：①或②（答案不唯一）.

【分析】（1）根據(jù)題意添加條件即可；

（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定方法證明求解即可。

20．【答案】（1）證明：如圖所示，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

∵是的中點(diǎn)，

∴，

在與中

，

∴；

（2）解：∵

∴，

又∵

∴四邊形是平行四邊形，

∵

∴四邊形是菱形．

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再求出，最后利用全等三角形的判定方法證明即可；

（2）利用全等三角形的性質(zhì)求出，再求出四邊形是平行四邊形，最后利用菱形的判定方法證明即可。

21．【答案】（1）解：，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴，

過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴；

（2）解：①成立，理由如下：

∵是等邊三角形，

∴，

過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，

∵，，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴；

②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，

由①知：為等邊三角形，，，

∵為等邊三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

設(shè)，則：，，

∴，

∵，

∴，

∴，即：②，

聯(lián)立①②可得：（負(fù)值已舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，

∴，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形的面積為

．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義

【解析】【分析】（1），理由如下：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，，然后運(yùn)用三角形全等的判定與性質(zhì)證明，進(jìn)而即可求解；

（2）①成立，理由如下：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進(jìn)而得到，，再根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)結(jié)合題意即可求解；

②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：，先根據(jù)為等邊三角形即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可得到AH的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)證明，即