中南大學(xué)線性代數(shù)12行列式課件

第二節(jié)行列式第一章一、n階行列式的定義三、行列式按行(列)展開二、行列式的性質(zhì)四、小結(jié)第二節(jié)行列式第一章一、n階行列式的定義三、行列式按一、二階行列式的概念數(shù)aij(i,j=1,2)表示第i行第j列的元素.

副對角線主對角線定義二階行列式說明

對角線法則只適用于二階與三階行列式．對角線法則一、二階行列式的概念數(shù)aij(i,j=1,2)定義二、三階行列式其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列上的元素.三階行列式三階行列式的計算可如下圖:+++定義二、三階行列式其中aij(i,j=1,2,定理定義三、排列與逆序數(shù)為了得到n階行列式的定義和討論其性質(zhì),先引入排列和逆序數(shù)的概念.由自然數(shù)1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組，稱為一個n級排列.其中若某兩數(shù)之間前面的數(shù)大于后面的數(shù),則稱它們構(gòu)成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).n級排列(i1

i2…in)的逆序數(shù)記為τ(i1i2…in),簡記為τ

.例如,四級排列2314中,2與1,3與1構(gòu)成逆序,故τ(2314)=2;再如六級排列243516中,2與1,4與1,3與1,5與1,4與3均構(gòu)成逆序,故τ(243516)=5.奇、偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.

如四級排列2314是偶排列，而六級排列243516為奇排列.對換：將一個排列某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動,則稱對該排列作了一次對換.如排列31524是排列21534經(jīng)過2與3對換而得,而τ(21534)=3,τ(31524)=4,即經(jīng)過對換后排列的奇偶性改變了.一次對換改變排列的奇偶性.定理定義三、排列與逆序數(shù)為了得到n階行列式的定義和討四、n階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三階行列式中共3!=6項,其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.τ(123)=0τ(312)=2τ(231)=2τ(321)=3τ(132)=1τ(213)=1其中是對所有三級排列(j1j2j3)求和.三階行列式可記為其中是對所有二級排列(j1j2)求和.同樣,二階行列式四、n階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三例1解定義仿此,可得n階行列式其中是對所有n級排列(j1j2…jn)求和,而aij仍稱為第i行第j列的元素.由定義可知,n階行列式是所有取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和,且共有n!項,其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.在一個五階行列式中a13a24a32a41a55的前面應(yīng)取什么符號?由于τ(34215)=5,列下標(biāo)為奇排列,故a13

a24

a32

a41a55前應(yīng)帶負(fù)號.上一頁例1解定義仿此,可得n階行列式其中是對所有n上一頁例2

計算上三角行列式展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解上一頁例2計算上三角行列式展開式中項的一般形式是所以例3計算下列n階行列式(稱為下三角行列式)由定義，D

中取自不同行不同列的n個元素的乘積，除了a11

a22…ann外，其余全為0，而a11

a22…ann的列下標(biāo)的排列為(12…n),τ(12…n)=0,D=(1)0a11

a22…ann故解作為例3的特例，可知下面的n階行列式(稱為對角行列式)上一頁

=a11

a22…ann例3計算下列n階行列式(稱為下三角行列式)例4計算n階行列式取D中不在同一行不在同一列的n個元素的乘積,除a1na2,n-1

…an1外,其余全為0,而a1na2,n-1…an1的列下標(biāo)的排列為(n,n1,…,1),故解由例4立即可知上一頁例4計算n階行列式取D中不在同一行不在同一列的在n階行列式的定義中，為了確定每一項的符號，把n個元素的行下標(biāo)均按自然順序排列.事實上，數(shù)的乘法是可交換的，因而這n個元素相乘時次序可以是任意的，故有定理n階行列式的定義也可寫成由上述定理還可知道,若將列下標(biāo)按自然順序排列,則有小結(jié):n階行列式的定義有三種形式：上一頁在n階行列式的定義中，為了確定每一項的符號，把n個元性質(zhì)1n階行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

則D=DT.即如：由此可得行列式的下列性質(zhì)性質(zhì)1n階行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.則由性質(zhì)1可知上三角行列式下三角行列式三角行列式上一頁由性質(zhì)1可知上三角行列式下三角行列式三角行列式上一頁性質(zhì)1按定義計算行列式較麻煩,因此有必要討論行列式的性質(zhì)以簡化行列式的計算.行列互換，行列式的值不變.

即五、行列式的性質(zhì)說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.則D=DT.性質(zhì)1按定義計算行列式較麻煩,因此有必要討論行列式的性質(zhì)以性質(zhì)2交換n階行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.即這是因為行列式D的這兩行互換后得D=D,從而D=0.如二階行列式而兩者異號.推論1若n階行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,則行列式為零.上一頁性質(zhì)2交換n階行列式的任意兩行(列),行列式僅性質(zhì)3把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于該行列式乘以數(shù)k.即由性質(zhì)3可知,若行列式某行(列)有公因式則可提出來。結(jié)合性質(zhì)2和性質(zhì)3,有若n階行列式有兩行(列)對應(yīng)元素成比例,則該行列式為零.若n階行列式有某行(列)全為零,則行列式為零.推論2推論3證=右上一頁性質(zhì)3把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于性質(zhì)4若n階行列式的某行(列)的各元素是兩個數(shù)的和,則該行列式等于兩個行列式的和.即如=10,而即上一頁性質(zhì)4若n階行列式的某行(列)的各元素是兩個數(shù)的和,則該性質(zhì)5把n階行列式的某行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即性質(zhì)5可由性質(zhì)4及性質(zhì)3的推論2得出.如兩者相等.上一頁性質(zhì)5把n階行列式的某行(列)的各元素乘以數(shù)行列式還有三條推論：1.行列式D有兩行(列)各元素對應(yīng)相同，則D=0；2.行列式D有兩行(列)各元素對應(yīng)成比例，則D=0；3.行列式D有某行(列)各元素全為零，則D=0.由上節(jié)例2可知上（下）三角形行列式簡單易求,因此對任一行列式,可利用行列式的性質(zhì),將其化為一個與之相等的上（下）三角形行列式,從而簡化行列式的計算.為表達(dá)簡捷,計算行列式時,以ri表示每i行,ci以k加到第i行記作ri+krj.，將第j行乘表第i列,交換i,j兩行記作小結(jié)：2.交換行列式的兩行(列)，行列式僅變號;3.行列式某行(列)的公因式可提出；4.行列式某行(列)的元素均為兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和；5.行列式某行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.行列式有五條性質(zhì)：上一頁1.行列互換，行列式的值不變.行列式還有三條推論：1.行列式D有兩行(列)r3+4r2r48r2例1計算行列式解上一頁r3+4r2r48r2例1計算行列式解上一頁例2解計算n階行列式(i1)上一頁例2解計算n階行列式(i1)上一頁例3解計算n階行列式ri+r1(i1)上一頁例3解計算n階行列式ri+r1(i1)上一頁六、行列式按行(列)展開計算行列式時,除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式,因為二階行列式的計算極為簡單,為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念.定義在n階行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行與所在列后剩下的n1階行列式稱為元素aij的余子式,記為Mij.余子式Mij帶上符號(1)i+j則稱為元素aij的代數(shù)余子式,記為Aij,即Aij=(1)i+jMij.元素a11=1的余子式和代數(shù)余子式分別為如三階行列式中,元素a12=2的余子式和代數(shù)余子式分別為而元素a13=3的余子式和代數(shù)余子式分別為六、行列式按行(列)展開計算行列式時,除將其化為三角行列式

通過直接計算可知而兩者相等,這個現(xiàn)象不是偶然的.事實上,有定理1(Laplace展開定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.D=或D=即上一頁通過直接計算可知而兩者相等,這個現(xiàn)象不是偶然的.事實上Laplace展開定理又稱為行列式按行(列)展開的法則.利用這一法則并結(jié)合行列式的性質(zhì),可把高階行列式的計算化為低階行列式的計算,從而簡化計算.用Laplace展開定理解例1.c12c3c4+c3例4解上一頁Laplace展開定理又稱為行列式按行(列)展開的法則.例5計算n階行列式將其直接按第一列展開,得解上一頁例5計算n階行列式將其直接按第一列展開,得解上一頁上一頁推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證上一頁推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元上一頁同理相同上一頁同理相同上一頁關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)上一頁關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)例6證明范德蒙(Vandermonde)行列式其中n2,

稱為連乘號,這里表示所有可能的xixj(1j<in)的乘積.上一頁證用數(shù)學(xué)歸納法例6證明范德蒙(Vandermonde)行列式其中中南大學(xué)線性代數(shù)1例7解原式=此為四階范德蒙行列式,于是求四階行列式例8證明：例7解原式=此為四階范德蒙行列式,于是求四階行列式例8證上一頁證明上一頁證明上一頁上一頁方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).計算行列式常用方法：(1)利用定義(兩種);(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而求得行列式的值．七、小結(jié)行列式的5個性質(zhì)

思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解：第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和解：第一行各元素的代數(shù)余中南大學(xué)線性代數(shù)1中南大學(xué)線性代數(shù)1第二節(jié)行列式第一章一、n階行列式的定義三、行列式按行(列)展開二、行列式的性質(zhì)四、小結(jié)第二節(jié)行列式第一章一、n階行列式的定義三、行列式按一、二階行列式的概念定義二階行列式主對角線副對角線數(shù)aij(i,j=1,2)表示第i行第j列的元素.

對角線法則說明

對角線法則只適用于二階與三階行列式．一、二階行列式的概念定義二階行列式主對角線副對角線數(shù)aij二、三階行列式其中aij(i,j=1,2,3)表示第i行第j列的元素.三階行列式三階行列式的計算可如下圖:定義+++二、三階行列式其中aij(i,j=1,2,3三、排列與逆序數(shù)為了得到n階行列式的定義和討論其性質(zhì),先引入排列和逆序數(shù)的概念.由自然數(shù)1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組，稱為一個n級排列.其中若某兩數(shù)之間前面的數(shù)大于后面的數(shù),則稱它們構(gòu)成一個逆序.一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).n級排列(i1

i2…in)的逆序數(shù)記為τ(i1i2…in),簡記為τ

.例如六級排列243516中,2與1,4與1,3與1,5與1,4與3均構(gòu)成逆序,故τ(243516)=5.三、排列與逆序數(shù)為了得到n階行列式的定定理奇、偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.

如四級排列2314是偶排列，而六級排列243516為奇排列.對換：將一個排列某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動,則稱對該排列作了一次對換.如排列31524是排列21534經(jīng)過2與3對換而得,而τ(21534)=3,τ(31524)=4,即經(jīng)過對換后排列的奇偶性改變了.

一次對換改變排列的奇偶性.定理奇、偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)四、n階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三階行列式中共3!=6項,其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.τ(123)=0τ(312)=2τ(231)=2τ(321)=3τ(132)=1τ(213)=1三階行列式可記為其中是對所有三級排列(j1j2j3)求和.

四、n階行列式的定義利用排列與逆序數(shù)的概念,可以看出三其中是對所有二級排列(j1j2)求和.同樣,二階行列式仿此,可得定義n階行列式其中是對所有n級排列(j1j2…jn)求和由定義可知,n階行列式是所有取自不同行不同列的n個元素乘積的代數(shù)和,共有n!項,其中一半帶正號,一半帶負(fù)號.其中是對所有二級排列(j1j2)求和.同樣,例1

計算上三角行列式展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解例1計算上三角行列式展開式中項的一般形式是所以不為零計算下列n階行列式(稱為下三角行列式)

由定義，D

中取自不同行不同列的n個元素的乘積，除了a11

a22…ann外，其余全為0，而a11

a22…ann的列下標(biāo)的排列為(12…n),τ(12…n)=0,D=(1)0a11

a22…ann故

=a11

a22…ann例2解計算下列n階行列式(稱為下三角行列式)作為例2的特例，可知下面的n階行列式(稱為對角行列式)

計算n階行列式例3作為例2的特例，可知下面的n階行列式(稱為對角行列

取D中不在同一行不在同一列的n個元素的乘積，除a1na2,n-1

…an1外，其余全為0，而a1na2,n-1…an1的列下標(biāo)的排列為(n,n1,…,1),故由例3立即可知解取D中不在同一行不在同一列的n個元

在n階行列式的定義中，為了確定每一項的符號，把n個元素的行下標(biāo)均按自然順序排列.事實上，數(shù)的乘法是可交換的，因而這n個元素相乘時次序可以是任意的，故有定理n階行列式的定義也可寫成由上述定理可知，若將列下標(biāo)按自然順序排列，則有在n階行列式的定義中，為了確定每一項的符號，把n小結(jié):n階行列式的定義有三種形式：由此可得行列式的下列性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.小結(jié):n階行列式的定義有三種形式：由此可得行列式的下列由性質(zhì)1可知上三角行列式下三角行列式由性質(zhì)1可知上三角行列式下三角行列式按定義計算行列式較麻煩,因此有必要討論行列式的性質(zhì)以簡化行列式的計算.行列互換，行列式的值不變.

即五、行列式的性質(zhì)說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)1按定義計算行列式較麻煩,因此有必要討論行列式的性質(zhì)以交換行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.

即如二階行列式而兩者異號.性質(zhì)2交換行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.即這是因為行列式D的這兩行互換后得D=D,從而D=0.推論1若n階行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,則行列式為零.性質(zhì)3把行列式的某行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于該行列式乘以數(shù)k.即這是因為行列式D的這兩行互換后得D=由性質(zhì)3可知,若行列式某行(列)有公因式則可提出來.結(jié)合性質(zhì)2和性質(zhì)3,有推論2推論3證=右行列式D有兩行(列)各元素對應(yīng)成比例，則D=0行列式D有某行(列)各元素全為零，則D=0.由性質(zhì)3可知,若行列式某行(列)有公因式則

若n階行列式的某行(列)的各元素是兩個數(shù)的和,則該行列式等于兩個行列式的和.即性質(zhì)4若n階行列式的某行(列)的各元素是兩個數(shù)的和,則該行列式

把n階行列式的某行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即性質(zhì)5可由性質(zhì)4及性質(zhì)3的推論2得出.性質(zhì)5把n階行列式的某行(列)的各元素乘以數(shù)小結(jié)：2.交換行列式的兩行(列)，行列式僅變號;3.行列式某行(列)的公因式可提出；4.行列式某行(列)的元素均為兩數(shù)之和，則原行列式等于另兩行列式之和；5.行列式某行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)元素上去，行列式的值不變.行列式有五條性質(zhì)：1.行列互換，行列式的值不變.

小結(jié)：2.交換行列式的兩行(列)，行列式僅變號;3行列式還有三條推論：1.行列式D有兩行(列)各元素對應(yīng)相同，則D=0；2.行列式D有兩行(列)各元素對應(yīng)成比例，則D=0；3.行列式D有某行(列)各元素全為零，則D=0.由前面例2可知上（下）三角形行列式簡單易求,因此對任一行列式,可利用行列式的性質(zhì),將其化為一個與之相等的上（下）三角形行列式,從而簡化行列式的計算.為表達(dá)簡捷,計算行列式時,以ri表示第i行,ci以k加到第i行記作ri+krj.將第j行乘交換i,j兩行記作表示第i列行列式還有三條推論：1.行列式D有兩行(列)r3+4r2r48r2計算行列式解例1r3+4r2r48r2計算行列式解例1解計算n階行列式(i1)例2原式解計算n階行列式(i1)例2原式解計算n階行列式ri+r1(i1)例3解計算n階行列式ri+r1(i1)例3六、行列式按行(列)展開計算行列式時,除將其化為三角行列式外,還可考慮將高階行列式化為低階行列式直至二階行列式,因為二階行列式的計算極為簡單,為此引入余子式和代數(shù)余子式的概念.在n階行列式中,去掉aij(i,j=1,2,…n)所在的行與所在列后剩下的n1階行列式稱為元素aij的余子式,記為Mij.余子式Mij帶上符號(1)i+j則稱為元素aij的代數(shù)余子式,記為Aij,即Aij=(1)i+jMij.元素a11=1的余子式如三階行列式中,

定義和代數(shù)余子式分別為六、行列式按行(列)展開計算行列式時,除將其化為三角行列元素a12=2的余子式和代數(shù)余子式分別為而元素a13=3的余子式和代數(shù)余子式分別為元素a11=1的余子式如三階行列式中,

和代數(shù)余子式分別為元素a12=2的余子式和代數(shù)余子式分別為而元素通過直接計算可知而兩者相等,這個現(xiàn)象不是偶然的.事實上,