高考解答題專項六　概率與統(tǒng)計

概率與統(tǒng)計高考解答題專項六考情分析從近五年的高考試題來看,對概率與統(tǒng)計的考查主要有四個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,其中回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨(dú)立性檢驗、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征是考查重點(diǎn),常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識、概率分布列等知識交匯考查;三是期望與方差的綜合應(yīng)用,常與離散型隨機(jī)變量、概率、相互獨(dú)立事件、二項分布等知識交匯考查;四是以生活中的實際問題為背景將正態(tài)分布與隨機(jī)變量的期望和方差相結(jié)合綜合考查.增素能精準(zhǔn)突破考向1.用樣本估計總體例1.(2021全國乙,理17)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5解:(1)由題中數(shù)據(jù)可得,反思感悟用樣本估計總體的方法:用樣本估計總體實質(zhì)上是用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征,包括眾數(shù)、中位數(shù)、均值、標(biāo)準(zhǔn)差和方差.均值反映了樣本和總體的平均水平,方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了樣本和總體的波動程度.對點(diǎn)訓(xùn)練1某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況,隨機(jī)調(diào)查了100家企業(yè),得到這些企業(yè)第一季度相對于去年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例;(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).(精確到0.01)解:(1)根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得,用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%,產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例為2%.考向2.相關(guān)關(guān)系的判斷及回歸分析例2.(2021江蘇南京二模)某公司對項目A進(jìn)行生產(chǎn)投資,所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:項目A投資金額x/百萬元12345所獲利潤y/百萬元0.30.30.50.91(1)請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,并用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)該公司計劃用7百萬元對A,B兩個項目進(jìn)行投資.若公司對項目B投資x(1≤x≤6)百萬元所獲得的利潤y近似滿足:y=0.16x-+0.49,求A,B兩個項目投資金額分別為多少時,獲得的總利潤最大?(2)由題意,公司對項目B投資x(1≤x≤6)百萬元,則對項目A投資(7-x)百萬元,即x=2.5時等號成立,此時取到最大值為1.65百萬元,而7-x=4.5(百萬元).答:對A,B兩個項目投資金額分別為4.5百萬元、2.5百萬元時,獲得的總利潤最大,最大為1.65百萬元.突破技巧提高運(yùn)算準(zhǔn)確性的方法:在求相關(guān)系數(shù)和回歸方程的系數(shù)時,由于r和b的公式組成比較復(fù)雜,求它們的值計算量比較大,為了計算準(zhǔn)確,可將其分成幾個部分分別計算,這樣等同于分散難點(diǎn),各個攻破,提高了計算的準(zhǔn)確度.對點(diǎn)訓(xùn)練2(2020全國Ⅱ,理18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動物數(shù)量有所增加,為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量,將其分成面積相近的200個地塊,從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動物的數(shù)量,并計算得(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù));(2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計,請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法.并說明理由.(3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層,再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.考向3.獨(dú)立性檢驗與概率的綜合例3.(2021山東青島二模)現(xiàn)對某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽調(diào)了50人,他們月收入(單位:百元)的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如表:月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度與月收入以6500元為分界點(diǎn)是否有關(guān)?態(tài)度月收入不低于65百元的人數(shù)月收入低于65百元的人數(shù)合計贊成

不贊成

合計

(2)若對月收入在[55,65)和[65,75)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,求在選中的4人中有人不贊成的條件下,贊成“樓市限購令”的人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)2×2列聯(lián)表為

態(tài)度月收入不低于65百元的人數(shù)月收入低于65百元的人數(shù)合計贊成32932不贊成71118合計104050所以有95%的把握認(rèn)為某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度與月收入以6

500元為分界點(diǎn)有關(guān).反思感悟

對點(diǎn)訓(xùn)練3(2021江蘇淮安二模)為了調(diào)查學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān),某高中選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下的2×2列聯(lián)表性別喜歡跑步不喜歡跑步合計男80

女

20

合計

已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6.(1)試問:喜歡跑步與性別有關(guān)嗎?(2)從上述不喜歡跑步的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生,再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運(yùn)動,用X表示這3人中女生的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.P(χ2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)∵在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6,∴喜歡跑步的人數(shù)為200×0.6=120,可得2×2列聯(lián)表如下.性別喜歡跑步不喜歡跑步合計男8060140女402060合計12080200因此沒有充分的證據(jù)判定喜歡跑步與性別有關(guān).(2)由題意,選取的8名學(xué)生中男生6人,女生2人,隨機(jī)變量X的取值為0,1,2.考向4.離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差例4.(2021安徽合肥一模)某廠將一種坯件加工成工藝品需依次經(jīng)過A,B,C為廢品.(1)求一個坯件在加工過程中成為廢品的概率;(2)已知坯件加工成本為A,B,C三道工序加工成本之和,求每個坯件加工成本的數(shù)學(xué)期望.反思感悟概率問題的解題步驟的規(guī)范寫法使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進(jìn)字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復(fù).對點(diǎn)訓(xùn)練4(2021山東淄博一模)某市會展公司計劃在未來一周組織5天廣場會展.若會展期間有風(fēng)雨天氣,則暫停該天會展,根據(jù)該市氣象臺預(yù)報得知,未來一周從周一到周五的5天時間內(nèi)出現(xiàn)風(fēng)雨天氣情況的概率是:前3天(1)求未來一周從周一到周五5天中至少有一天暫停會展的概率;(2)求這次會展活動展出的平均天數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))考向5.二項分布的均值與方差例5.(2021廣東廣州一模)某中學(xué)舉行趣味投籃比賽,比賽規(guī)則如下:每位選手各投5個球,每一個球可以選擇在A區(qū)投籃也可以選擇在B區(qū)投籃,在A區(qū)每投進(jìn)一球得2分,投不進(jìn)球得0分;在B區(qū)每投進(jìn)一球得3分,投不進(jìn)球得0分,得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為,且各次投籃的結(jié)果互不影響.(1)若甲投籃得分的期望值不低于7分,則甲選擇在A區(qū)投籃的球數(shù)最多是多少個?(2)若甲在A區(qū)投3個球且在B區(qū)投2個球,求甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率.解:(1)設(shè)甲選擇在A區(qū)投籃的球數(shù)為a(a=0,1,2,3,4,5),進(jìn)球數(shù)為X1,得分為Y1,則Y1=2X1.(2)設(shè)“甲在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分”為事件C,“甲在A區(qū)投籃得分6分且在B區(qū)投籃得分3分或0分”為事件D,“甲在A區(qū)投籃得分4分且在B區(qū)投籃得分3分或0分”為事件E,“甲在A區(qū)投籃得分2分且在B區(qū)投籃得分0分”為事件F,則事件C=D∪E∪F,且事件D、事件E與事件F之間兩兩互斥.反思感悟求隨機(jī)變量的分布列、均值與方差的技巧要熟練掌握離散型隨機(jī)變量的各種分布模型,對它們的均值與方差,能簡便計算的要簡便計算,如二項分布、超幾何分布等,不然要用均值與方差的公式計算,這時要認(rèn)真仔細(xì).對點(diǎn)訓(xùn)練5某興趣小組在科學(xué)館的帕斯卡三角儀器前進(jìn)行探究實驗.如圖所示,每次使一個實心小球從帕斯卡三角儀器的頂部入口落下,當(dāng)它在依次碰到每層的菱形擋板時,會等可能地向左或者向右落下,在最底層的7個出口處各放置一個容器接住小球,該小組連續(xù)進(jìn)行200次試驗,并統(tǒng)計容器中的小球個數(shù)得到柱狀圖:(1)用該實驗來估測小球落入4號容器的概率,若估測結(jié)果的誤差小于5%,則稱該實驗是成功的.試問:該興趣小組進(jìn)行的實驗是否成功?(2)再取3個小球進(jìn)行試驗,設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(計算時采用概率的理論值)解:(1)由題意,走6步,取3步向左,3步向右就可以落入4號容器,也就是每一個落入4號容器的路徑中有3步向左,3步向右.X的分布列為

考向6.概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例6.(2021北京海淀一模)每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時間的分配情況,從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查,得到了這500名學(xué)生的周平均閱讀時間(單位:小時),并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值;(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況,從周平均閱讀時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人,記周平均閱讀時間在(14,16]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列;(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率,從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生,用“P20(k)”表示這20名學(xué)生中恰有k名學(xué)生周平均閱讀時間在(10,12](單位:小時)內(nèi)的概率,其中k=0,1,2,…,20.當(dāng)P20(k)最大時,寫出k的值.(只需寫出結(jié)論)解:(1)由頻率分布直方圖得2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.(2)由頻率分布直方圖得,這500名學(xué)生中周平均閱讀時間在(12,14],(14,16],(16,18]三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為500×0.10=50,500×0.08=40,500×0.02=10,若采用分層抽樣的方法抽取了10人,(3)學(xué)生周平均閱讀時間在(10,12]的概率P=0.1×2=0.2,則P20(k)=(0.2)k(0.8)20-k.當(dāng)P20(k)最大時,k=4.易錯警示謹(jǐn)防概率與統(tǒng)計綜合題的三處錯誤點(diǎn)破解頻數(shù)分布表、獨(dú)立性檢驗、離散型隨機(jī)變量的分布列與期望相交匯題的易錯點(diǎn)有三處:一是忽視關(guān)鍵字眼,導(dǎo)致所得的數(shù)據(jù)出錯;二是計算χ2時不會利用分子、分母先約分再計算的技巧,導(dǎo)致計算結(jié)果出錯,從而推斷出錯;三是二項分布與超幾何分布搞混,或把非二項分布誤以為二項分布,導(dǎo)致求期望值出錯.對點(diǎn)訓(xùn)練6(2021甘肅高考一診)某地積極開展中小學(xué)健康促進(jìn)行動,發(fā)揮以體育智、以體育心功能,決定在體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù),規(guī)定:考生須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實心球、一分鐘跳繩三項測試,其中一分鐘跳繩滿分20分.學(xué)校為掌握九年級學(xué)生一分鐘跳繩情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測試,其成績均在[165,215]間,并得到如圖所示頻率分布直方圖,計分規(guī)則如表:一分鐘跳繩個數(shù)[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215]得分1617181920(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本中位數(shù);(2)若兩人可組成一個小隊,并且兩人得分之和小于35分,則稱該小隊為“潛力隊”,用頻率估計概率,求從進(jìn)行測試的100名學(xué)生中任意選取2人,恰好選到“潛力隊”的概率.解:(1)[195,205)的頻率為1-10×(0.005+0.006+0.009+0.050)=0.3,補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示,∵(0.005+0.009)×10=0.14<0.5,(0.005+0.009+0.05)×10=0.64>0.5,∴樣本的中位數(shù)落在[185,195)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為m,則0.14+(m-185)×0.05=0.5,解得m=192.2,故樣本中位數(shù)為192.2.(2)一分鐘跳繩個數(shù)在[165,175)內(nèi)的可得16分,人數(shù)為100×0.005×10=5;一分鐘跳繩個數(shù)在[175,185)內(nèi)的可得17分,人數(shù)為100×0.009×10=9;一分鐘跳繩個數(shù)在[185,195)內(nèi)的可得18分,人數(shù)為100×0.05×10=50,∴“潛力隊”的兩人組合有4種情況,得分之和分別為32,33,34,34,考向7.概率與函數(shù)的綜合問題例7.(2021福建龍巖三模)甲、乙兩人進(jìn)行對抗比賽,每場比賽均能分出勝負(fù).已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定:①若有人先贏4場,則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止;②若無人先贏4場且比賽意外終止,則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.已知每場比賽甲贏的概率為p(0<p<1),乙贏的概率為1-p,且每場比賽相互獨(dú)立.(1)設(shè)每場比賽甲贏的概率為,若比賽進(jìn)行了5場,主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金,求甲獲得獎金的分布列;(2)規(guī)定:若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱該隨機(jī)事件為小概率事件,我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生,否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生.若本次比賽p≥

,且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場,請判斷:比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生,并說明理由.解:(1)因為進(jìn)行了5場比賽,所以甲、乙之間的輸贏情況有以下四種:比賽輸贏的情況共有4+10+10+4=28(種).設(shè)甲可能獲得的獎金為X元,則甲獲得獎金的所有可能取值為8

000,6

000,2

000,0.(2)設(shè)A表示事件“比賽繼續(xù)進(jìn)行Y場乙贏得全部獎金”,則最后一場必然乙贏,當(dāng)Y=3時,乙以4∶2贏,P(Y=3)=(1-p)3;所以,乙贏得全部獎金的概率為P(A)=(1-p)3+3p(1-p)3=(1+3p)(1-p)3,設(shè)f(p)=(1+3p)(1-p)3.f'(p)=3(1-p)3+(1+3p)·3(1-p)2(-1)=-12p(1-p)2,故事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件.所以認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙不可能贏得全部獎金.反思感悟解決概率與函數(shù)的綜合問題的方法用函數(shù)的知識解決概率問題通常是求概率的最值問題,求離散型隨機(jī)變量分布列的均值、方差的最值問題.此類問題一般方法是先建立函數(shù)模型,再用函數(shù)的有關(guān)知識求解,通常是利用一元二次函數(shù)求最值,或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用導(dǎo)數(shù)的方法.對點(diǎn)訓(xùn)練7A,B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A,B兩個項目上各投資100萬元,Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,(100-x)萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x為何值時,f(x)取到最小值.解:(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為

Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3EY1=5×0.8+10×0.2=6,DY1=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4.EY2=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,DY2=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.當(dāng)x=75時,f(x)取得最小值,且最小值為3.考向8.概率與數(shù)列的綜合問題例8.為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+

bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.(ⅰ)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.