工程力學 截面的幾何性質

工程力學截面的幾何性質2023/8/71第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月§A-1截面的靜矩和形心一、截面的靜矩和形心1.基本概念OxdAyyxC——微面積對y軸的靜矩——微面積對x軸的靜矩——整個平面圖形對y軸的靜矩——整個平面圖形對x軸的靜矩常用單位：m3

或mm3

。數(shù)值：可為正、負或0。2023/8/72第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2.形心坐標公式3.靜矩與形心坐標的關系推論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。2023/8/73第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1.組合截面的靜矩

根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：二、組合截面的靜矩和形心2023/8/74第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月組合截面靜矩組合截面面積組合截面的形心坐標公式為：2.組合截面的形心坐標公式2023/8/75第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例A-1試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條，所以對x軸的靜矩為Ozyb(z)ydyhb2023/8/76第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例A-2試計算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個矩形。建立坐標系如圖示。各矩形的面積和形心坐標如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II2023/8/77第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月代入組合截面的形心坐標公式解得：2023/8/78第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月設任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和。）OzyyzrdA§A-2截面的極慣性矩、慣性矩、慣性積2023/8/79第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月3.慣性積（其值可為正、負或0，單位:m4或mm4)截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。結論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OzyyzrdA2023/8/710第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月5.主慣性軸:當平面圖形對某一對正交坐標軸y0、z0的慣性積=0時，則坐標軸y0、z0稱為主慣性軸。7.形心主慣性軸:過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸?？梢宰C明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。8.形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。6.主慣性矩:平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。推論：具有一個或兩個對稱軸的正交坐標軸一定是平面圖形的主慣性軸。2023/8/711第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例A-3試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)2023/8/712第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C2023/8/713第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例A-4試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

zDyyz解：由于圓截面有極對稱性，所以所以2023/8/714第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月§A-3平行移軸公式1.平行移軸公式推導

左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，yc，zc為形心坐標軸。與該形心坐標軸分別平行的任意坐標軸為xy,形心c在oxy坐標系下的坐標為(a,b)

任意微面元dA在兩坐標系下的坐標關系為：aycyzczCObdAzcycyx2023/8/715第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，有：注：式中的a、b代表坐標值，有時可能取負值。2023/8/716第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例A-5：求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸Zc的慣性矩。（1）求形心坐標解：zyb(y)ycCdzcy（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：

2023/8/717第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題A-1：O為直角三角形ABD斜邊上的中點，y、z軸為過點Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Iyz＞０（B）Iyz<０

(C)Iyz=０（D）Iz=Iy

zABDyOab（思考題A-1）思考題A-2：等腰直角三角形如圖所示，y、z軸是過斜邊中點的任意一對坐標軸（即圖中為任意值），該圖形的:(1)慣性積Iyz＝＿＿(2)慣性矩Iz＝＿＿、Iy＿＿＿。yzaa（思考題A-2）目錄2023/8/718第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、轉軸公式任意面元dA

在舊坐標系ozy和新坐標系oz1y1的關系為：代入慣性矩的定義式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11§A-4轉軸公式、截面的主慣性軸和主慣性矩2023/8/719第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉軸公式：2023/8/720第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月注：上式中的

的符號為：從舊軸z至新軸z1逆時針為正，順時針為負。（上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩）將前兩式相加得2023/8/721第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月

由慣性積的轉軸公式可知，當坐標軸旋轉時，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角度0，使截面對于新坐標軸x0、y0的慣性積等于零。二、截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標軸。(2)

主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時。(4)形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。2023/8/722第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)確定主慣性軸的位置

設0是舊軸x逆時針轉向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負號置于分子上有利于確定20角的象限）2023/8/723第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)由上面tan20的表達式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉軸公式，化簡后可得主慣性矩的計算公式：極大值Imax極小值Imin2023/8/724第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月(6)幾個結論若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。2023/8/725第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

例：試計算截面的形心主慣性矩。解：作與上、左邊平行的形心坐標軸xcyc

。（1）求形心坐標：（2）求對自身形心軸的慣性矩。（3）由平行移軸公式求整個截面的2023/8/726第26頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月xc0yc0°a=113.8（4）由轉軸公式得zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

2023/8/727第27頁，課件共29頁，創(chuàng)作