2022-2023學年福建省廈門市高一下學期第二次月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年福建省廈門市高一下學期第二次月考數(shù)學試題一、單選題1．已知復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算，結(jié)合純虛數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得.故選：A.2．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積及線性運算的坐標表示計算即可.【詳解】因為，，，所以，，所以，，，，則ACD錯誤，B正確.故選：B.3．在中，已知，，，則角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)大邊對大角得到角，利用正弦定理求得，結(jié)合角的范圍求得角的度數(shù).【詳解】由，得，于是，由正弦定理得，∴，故選：B.4．一個側(cè)棱長為的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示的菱形，其中，則該直棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，求出四邊形的面積，然后根據(jù)棱柱的體積公式計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形為矩形，因為，所以，所以矩形的面積為，所以直棱柱的體積為.故選：C.5．某公司2021年5月至2022年3月的各月利潤率與每百元營業(yè)收入中的成本如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．2021年5—12月的利潤率呈遞減趨勢B．這11個月的利潤率的80%分位數(shù)為7.09%C．這11個月的每百元營業(yè)收入中的成本呈遞增趨勢D．這11個月的每百元營業(yè)收入中的成本的方差大于1【答案】B【分析】由圖中信息可判斷A，C；由百分位數(shù)和方差的定義可判斷B，D.【詳解】對于A，2021年5,6月的利潤率相同，8,9月的利潤率在遞增，所以A不正確；對于B，將這11個月的利潤率從小排到大為：，所以80%分位數(shù)為：，為第9位數(shù)即7.09%.所以B正確；對于C，由圖中可知，8,9月的每百元營業(yè)收入中的成本呈遞減趨勢，所以C不正確；對于D，這11個月的每百元營業(yè)收入中的成本的平均數(shù)為，因為，所以這11個月的每百元營業(yè)收入中的成本的方差不可能大于1，所以D不正確.故選：B.6．我國古代為了進行復雜的計算，曾經(jīng)使用“算籌”表示數(shù)，后漸漸發(fā)展為算盤.算籌有縱式和橫式兩種排列方式，0~9各個數(shù)字及其算籌表示的對應關(guān)系如下表：0123456789縱式〇橫式排列數(shù)字時，個位采用縱式，十位采用橫式，百位采用縱式，千位采用橫式……縱式和橫式依次交替出現(xiàn).如“”表示21，“〇”表示609.在“〇”、“”、“”、“”、“”按照一定順序排列成的三位數(shù)中任取一個，取到偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】所有情況列舉如下：百位十位個位備注134偶數(shù)130偶數(shù)184偶數(shù)180偶數(shù)104偶數(shù)431奇數(shù)430偶數(shù)481奇數(shù)480偶數(shù)401奇數(shù)所以取到偶數(shù)的概率是故選：D7．已知一組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標準差為，，若，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不確定【答案】A【分析】依據(jù)方差定義和二次函數(shù)的性質(zhì)即可比較與的大小關(guān)系【詳解】二次函數(shù)開口向上，對稱軸，當即時取得最小值，則當時，即，則故選：A8．在直三棱柱中，是中點.，，，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．點到平面的距離是B．異面直線與的角的余弦值是C．若為側(cè)面（含邊界）上一點，滿足平面，則線段長的最小值是5.D．過，，的截面是鈍角三角形【答案】D【分析】根據(jù)點到面的距離，異面直線所成的角，線面平形的判斷，余弦定理等知識逐一判斷即可【詳解】對于A：過作，交于點，在直三棱柱中，易知平面，故點到平面的距離是，由，得，而，故A錯誤；對于B：取的中點，連接，則易知異面直線與的角為,在中，，，，，，，故B錯誤；對于C：取的中點，的中點，連接，則易證平面平面，故點在上時，滿足平面，則線段，即線段長的最大值為5，故線段長的最小值不可能為5，故C錯誤；對于D：，,,，為鈍角，故D正確故選：D二、多選題9．關(guān)于復數(shù)、，下列說法正確的是（

）A． B．若，C．若，則 D．【答案】AD【分析】利用復數(shù)的模長公式可判斷A選項；利用特殊值法可判斷BC選項；利用復數(shù)的運算法則結(jié)合共軛復數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】設，.對于A選項，，所以，，A對；對于B選項，取，，則，但，，則，B錯；對于C選項，取，，則，，此時，，但，C錯；對于D選項，，D對.故選：AD.10．向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁若向量，滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】BC【分析】利用向量的模長公式以及題中條件即可判斷A,C,由夾角公式可判斷B，根據(jù)投影向量的求法即可判斷D.【詳解】，,,解得,故A錯誤,，由于，與的夾角為，故B正確,,故C正確在上的投影向量為，故D錯誤,故選：BC11．如圖1，矩形ABCD中，，等腰梯形ADEF中，，.將梯形ADEF沿AD折起，得到如圖2所示的多面體，則（

）

A．異面直線與BC所成的角為B．當二面角的大小為時，C．存在某個位置，使得平面D．點D到平面的距離大于點到平面的距離【答案】ABD【分析】利用平移法求得異面直線與BC所成的角，判斷A；作出二面角的平面角，求得四棱錐的高，根據(jù)棱錐體積公式可判斷B；采用反證的方法可判斷C；將點D到平面的距離和點到平面的距離轉(zhuǎn)化為棱錐的體積的問題可判斷D.【詳解】對于A，如圖，作,垂足為G，

由于為等腰梯形，故,即有，故在中，，因為，所以所成角即為異面直線與BC所成的角或其補角，而所成角為，則異面直線與BC所成的角為，A正確；對于B，過G點作，由于四邊形ABCD為矩形，故,由于，且平面,故平面，平面,故平面平面,平面平面,作，垂足為H，因為平面,故平面，因為，，故即為二面角的平面角，故，所以，故，B正確；對于C，假設存在某個位置，使得平面，平面，則，又因為，故，這與三角形內(nèi)角和矛盾，故C錯誤；對于D，點D到平面的距離和點到平面的距離可分別看作為三棱錐的高，故只需比較三棱錐的體積大小，而，故只需比較的大小，在等腰梯形中，,故,則點D到平面的距離大于點到平面的距離，D正確，故選：ABD12．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是（

）A．若且，則是直角三角形B．若，則為銳角三角形C．若，且，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是D．若，，分別表示，的面積，則【答案】ACD【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系以及正弦定理判斷A；利用余弦定理可判斷B；根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合三角恒等變換，確定三角形為直角三角形，再求得內(nèi)切圓半徑的范圍，即可判斷C；根據(jù)向量的線性運算構(gòu)造三角形，利用三角形重心性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A，由可得，即，則；由得,由于為三角形內(nèi)角，則或，即或，綜合可得，即是直角三角形，A正確；對于B，由可得，即，即，故，C為三角形內(nèi)角，故C為銳角，但不能判定為銳角三角形，B錯誤；對于C，，則，故，即，即，即，由于，故，由于，設三角形內(nèi)切圓半徑為r，則，因為，則，所以，即，故該三角形內(nèi)切圓面積的最大值是，C正確；對于D，若，設，則，可得O為的重心，如圖：

設，則，，由于O為的重心，延長交與E，則E為的中點；則，同理可得,故，不妨取，可得，D正確，故選：ACD【點睛】難點點睛：本題考查知識點較多，計算量較大，解答時要能綜合應用三角函數(shù)的相關(guān)知識以及向量的有關(guān)知識進行解答.三、填空題13．已知向量與的夾角為，，則實數(shù).【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的坐標積運算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，即將，代入計算可得，，解得故答案為:14．已知關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個虛根為，則.【答案】1【分析】根據(jù)方程的根為，將根代入方程即可求解.【詳解】因為關(guān)于x的實系數(shù)方程的一個虛根為，所以，即，也即，所以，解得，故答案為:1.15．袋中裝有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6從中一次性隨機取出兩個球，設兩球標號為和，并記，．將球放回袋中，重復上述操作，得到和．設平面向量，，則與能構(gòu)成基底的概率為．【答案】【分析】首先列舉向量和的所有情況，并結(jié)合排列數(shù)公式，得到不能構(gòu)成基底的情況，最后利用對立事件求概率.【詳解】由條件可知，向量和為，，共15種情況，當，共15種情況；當時，滿足，有，共種情況；，共種情況；以及，共種情況；綜上可知，時，與不能構(gòu)成基底，共有種情況，所以與能構(gòu)成基底的概率.故答案為：16．已知球O的體積為，球面上四點A，B，C，D，滿足是邊長為3的正三角形，若點E為的外心，且，則四面體ABCD的體積等于.【答案】/【分析】由題意求得球的半徑，利用正弦定理求得外接圓半徑，利用球的性質(zhì)結(jié)合條件可得四面體ABCD的高，再根據(jù)棱錐的體積公式即得答案.【詳解】如圖所示，設過球心O和平面垂直的直徑和球的大圓的交點為G，

因為球O的體積為，設球的半徑為R，則,是邊長為3的正三角形,設其外接圓半徑為r，外接圓圓心E,則共線，則，則，由于，故D點在球心O所在的一側(cè)。作，垂足為F，則，且,即，聯(lián)立，解得,故，由于平面，，平面，故平面，則三棱錐的高為，故，故答案為：四、解答題17．某中學為了解高中一年級學生對《生涯規(guī)劃》讀本學習情況，在該年級1500名學生中隨機抽取了40名學生作為樣本，對他們一周內(nèi)對《生源規(guī)劃》讀本學習時間進行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計，這些時間全部介于10至60（單位：分鐘）之間，現(xiàn)將數(shù)據(jù)分組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了研究的方便，該年級規(guī)定，若一周學習《生涯規(guī)劃》讀本時間多于50分鐘的學生稱為“精生涯生”，若一周學習《生涯規(guī)劃》讀本時間小于20分鐘的學生稱為“泛生涯生”．(1)求圖中a的值，并估計該年級學生一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學習時間的均值；(2)從樣本中的“精生涯生”和“泛生涯生”中任選2名學生，求這兩名學生一周內(nèi)對《生源規(guī)劃》讀本學習時間的差不超過10分鐘的概率．【答案】(1)，分鐘；(2).【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1求，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均值的求法估計閱讀時間；（2）由題意，所取2人在同一時間組內(nèi)，據(jù)此由古典概型求解.【詳解】（1）由題意，得，解得.估計該年級學生一周內(nèi)對《生涯規(guī)劃》讀本學習時間為：（分鐘）.（2）樣本中“精生涯生”有人，“泛生涯生”有人，從6人中選2人時間的差不超過分鐘，即2人同在一個時間組內(nèi)，則時間的差不超過分鐘的概率.18．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求C；(2)若的面積為，BD為AC邊上的中線，求BD的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式以及三角恒等變換，化簡可得答案；（2）由三角形面積可得，再用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為，，故,即，故，因為，故,由于，故；（2）由題意知，在中，，當且僅當，結(jié)合，即時，等號成立，故BD的最小值.19．如圖，在圓柱中，，為圓上一定點，為圓上異于點的一動點，，過點作平面的垂線，垂足為點.(1)若，求證：.(2)若為等邊三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由線面垂直證線線垂直即可；（2）由二面角的定義，找到二面角的平面角，在三角形中求二面角的余弦值大小即可.【詳解】（1）證明：由圓柱的性質(zhì)得：，因為，所以，因為，所以，因為，，所以，又因為，所以，因為，所以.（2）過點作垂足為，過作于，連接，由已知，所以，，所以，，所以，所以，所以為二面角的平面角，又因為為等邊三角形，，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，在直角三角形中，，所以.20．如圖所示，已知圓是的外接圓，圓的直徑.設，，，在下面給出條件中選一個條件解答后面的問題，①；②；③的面積為.選擇條件______.(1)求的值；(2)求的周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的余弦公式及誘導公式求出，在利用正弦定理計算可得；若選②，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、和差角公式及誘導公式求出，在利用正弦定理計算可得；若選③，利用面積公式及余弦定理求出，在利用正弦定理計算可得；（2）由題知，設，，利用正弦定理得到，，再根據(jù)三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）若選①，因為，由正弦定理可得，顯然，所以，即，所以，所以，又，所以，因為外接圓的半徑，所以.若選②，因為，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，因為外接圓的半徑，所以.若選③，的面積為，則，由余弦定理可得，所以，所以，又，所以，因為外接圓的半徑，所以.（2）由題知，設，，由正弦定理，所以，，所以，因為，所以，所以，所以.21．如圖，在三棱柱中，側(cè)面ABCD為矩形．(1)設M為AD中點，點N在線段PC上且，求證：平面BDN；(2)若二面角的大小為，，且，求直線BD和平面QCB所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接MC交BD于E，由題可得，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）過點C作射線，可得為二面角的平面角，過點D作，可得平面BCQ，設直線BD和平面PAD所成角為，結(jié)合條件可得，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）連接MC交BD于E，連接，因為側(cè)面ABCD為矩形，所以，又M為AD中點，所以，又因為，所以．所以，又平面NBD