均方分布介紹

均方分布介紹第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月正態(tài)分布密度的性質(zhì)

(1)在x=處取到最大值故f(x)以μ為對稱軸，令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),

分別代入f(x),

可得且f(μ+c)=f(μ-c)f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)x=μσ為

f(x)

的兩個拐點的橫坐標(biāo).(2)正態(tài)分布的密度曲線位于x軸的上方,且關(guān)于x

=對稱，對密度函數(shù)求導(dǎo)：=

0，

(3)密度曲線

y

=

f(x)

有拐點即曲線

y

=

f(x)

向左右伸展時,越來越貼近

x

軸.當(dāng)x

→

∞時，f(x)→

0+,決定了圖形中峰的陡峭程度若固定，改變

的值，反之亦然，則密度曲線左右整體平移.

(4)f(x)以x軸為水平漸近線;正態(tài)分布N(

,

2

)的密度函數(shù)圖形的特點:兩頭低,中間高,左右對稱的

“峰”

狀若固定

，改變

的值，決定了圖形的中心位置

決定圖形的中心位置;

第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月大量的隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.但每個因素所起的作用不大.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的股票價格、產(chǎn)品的銷量等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強度；射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差，測量誤差，

如某地的年降雨量,某地區(qū)成年男子的身高、體重，農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；生物學(xué)中同一群體的形態(tài)指標(biāo)，電子元器件的信號噪聲、電壓、電流；有很多分布還可以用正態(tài)分布近似.而正態(tài)分布自身還有很多良好的性質(zhì).若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，每一因素獨立，服從正態(tài)分布在自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象中,第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月若隨機(jī)變量X～N(

,

2

)，則正態(tài)分布的分布函數(shù)X的分布函數(shù)下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布

——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

=0,

=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

(x)

和

(x)表示：可查表得其值

！第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.求P(X

<

0.

5),P(X

>

2.

5)及Y

~N(0,1)設(shè)X～N(

,

2

)，P(-1.64

X

<

0.82).解P(X

>

2.

5)=

1-(2.

5)

P(X

<

0.

5)=F(0.

5)查表得=0.6915;=1

-

0.

9938=0.

0062;P(-1.64

X

<

0.82)

=(0.

82)-

(-1.

64)

=(0.

82)-[1-

(1.

64)]=0.7434;=

即若X～N(

,

2

)

=

只需將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決正態(tài)分布的概率計算問題.例7(P64.例20)設(shè)X～N(0

,1

)，

！第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

X的概率密度為其中和2都是常數(shù),任意,>0整個概率密度曲線都在

x軸的上方以μ為對稱軸在

x=μ處達(dá)到最大值f(

x)以

x軸為漸近線

x=μσ為f(

x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)正態(tài)分布通過線性變換可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布最重要的正態(tài)分布——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X

～N(0,1)正態(tài)分布X

～N(

,

2

)！第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月并求該地區(qū)明年

8

月份降雨量超過250mm的概率.例8(P65.例22)

某地區(qū)8月份降雨量

X

服從

=185mm

,

=

28mm

的正態(tài)分布，∵

X～N(185

,282)，寫出X的概率密度，解所求概率為P(X

>

250)

=1-

P(X

250)

=1-(2.

32)

=1-

0.

9898=0.0102.再看幾個應(yīng)用正態(tài)分布的例子我們已經(jīng)看到，當(dāng)n很大，p接近0或1時，二項分布近似泊松分布;可以證明，如果n很大，而p不接近于0或1時，二項分布近似于正態(tài)分布.第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例9

公共汽車車門高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在

0.01以下來設(shè)計的.問門高度應(yīng)如何確定?解

設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計要求應(yīng)有P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面求滿足上式的最小

h：若男子身高X～N(170,62),∵X～N(170,62),查表得(2.33)

=

0.9901>0.99，

h=170+13.98184.設(shè)計車門高度為184mm時，可使男子與車門頂碰頭機(jī)會不超過0.01.若X～N(

,

2

)時，要求滿足P(X

>x0)=p

的

x0：

P(X

>x0)=p

第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月如果某考生得48分,求有多少考生名列該考生之前?已知1987年全國普通高校統(tǒng)考物理成績

XN(42,36),這表明有16%的考生成績超過48分，例10

(確定超前百分位數(shù)、排定名次)解由條件知即求P(X

>

48)，查表可知即84%的考生名列該考生之后.=

1

-

(1),第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月即成績高于甲的人數(shù)應(yīng)占考生的16.9%,對于錄取考試人們最關(guān)心的是①自己能否達(dá)到錄取分?jǐn)?shù)線？②自己的名次？某公司招工300名(正式工280,臨時工20名),例11(預(yù)測錄取分?jǐn)?shù)和考生名次)

解

166,∴

X

N(166,932)，(1)(預(yù)測分?jǐn)?shù)線)

考生甲得256分,問他能否被錄用？如錄用能否被錄為正式工？考后由媒體得知：考試總平均成績?yōu)?66分,360分以上的高分考生有31人.有1657人參加考試,考試滿分為400分.高于此線的考生頻率為300/1657∵高于360分的考生頻率為(2)(預(yù)測甲的名次)當(dāng)X=256時,P(X>256)這表明高于256分的頻率應(yīng)為0.169,排在甲前應(yīng)有甲大約排在283名.故甲能被錄取,但成為正式工的可能性不大.∴

P(X>360)設(shè)考生成績?yōu)閄,最低分?jǐn)?shù)線為

x0,第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月類似計算可得，=

0.

9974

例12解求

P(|X-|

<

k)k=1,2,3.

P(|X-|

<

3)

=

P(

-

3

<

X<

+

3

)這表明

X的取值幾乎全部集中在區(qū)間[-

3,

+3]內(nèi)，這在統(tǒng)計學(xué)上稱作

3準(zhǔn)則(三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則).超出這個范圍的可能性不到0.3

%

，從而可以忽略不計.為應(yīng)用方便，下面引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的概念：(P64.例21)

設(shè)X～N(

,

2

)，第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月由三

原則,可認(rèn)為X落在(-3,3)內(nèi),

(x)x-3

3若某校有200名初一學(xué)生,按能力分成

5

組參加某項測驗,求各組分別應(yīng)有多少人?例13(按能力分組)

學(xué)生學(xué)習(xí)能力一般服從正態(tài)分布,解設(shè)學(xué)習(xí)能力XN(0,1),由三

原則,則每組應(yīng)占6/5的范圍,查表可知由對稱性可知A組和E

組應(yīng)有200×0.03458≈7(人),B組和D組應(yīng)有200×0.23837≈47(人),C

組應(yīng)有200-47×2-7×2=92(人).現(xiàn)分成組距相同的五組A,B,C,D,E(如圖),-1.8

-0.6

0.61.8A

BCD

E為應(yīng)用方便，更一般地可以建立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的概念：

第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱滿足等式

P(X>u

)

=

的數(shù)

u

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)

分位數(shù)；定義4(P66.定義14)設(shè)X～N(0

,1

)，0<<1,P(X

>u

)=1-P(Xu

)稱滿足等式

P(|X|>u/2

)

=

的數(shù)

u/2

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)

分位數(shù)；

(x)O

xu

(x)O

x

/

2

/

2-u/2u/2=，

=1-(u)

(u)=

1-

，

可查表得值類似可得

(u/2

)=

1-

/2

，

若X～N(

,

2

)時，要求滿足

P(X

>x0

)=

的

x0

：(u)=

1-

u

第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月已知圓軸截面直徑d

的分布，求截面面積A=

的分布.§4隨機(jī)變量函數(shù)的分布第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月再如,求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.已知t=t

0

時刻噪聲電壓V的分布,0V在實際中，人們常常對隨機(jī)變量

X

的函數(shù)Y=g(X)所表示的隨機(jī)變量

Y

更感興趣

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知,又Y=g(X)

(設(shè)g是連續(xù)函數(shù))無論在實踐中還是在理論上都是重要的如何由X

的分布求出Y

的分布？通過實例找方法第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例1(P67例24)

(X取某值與Y取其對應(yīng)值是相同的事件,兩者的概率應(yīng)相同)一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解

Y=2X-1-3-1135pk1/101/52/51/51/10則Y=g(

X

)的分布列為

X取值分別為-2,-1,

0,

1,

2時,Y=2X+1對應(yīng)值為-3,-1,

1,

3,

5.求Y=2X+1,Y=X

2

的分布列.

XY=X

2-2

4-1

10

01

1

2

4X

-2-1

012pk1/10

1/52/51/51/10-2,2

4-1,1

10

0

Y=X

2

014pk2/5

2/51/5一般地，離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1

x2

…

xn…pkp1

p2

…

pn…Y=g(X)g(x1)

g(x2)

…

g(xn)

…pkp1

p2

…

pn

…將它們對應(yīng)的概率相加后和并成一項即可若g(xk)中有相等值,第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月則FY(y)=P(Y

y)解

設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，例2(P69例25)設(shè)X

具有概率密度求Y=-2X

+

8的概率密度.于是Y的概率密度為二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布注意到0

<x<4時，即0

<

y

<

8時，此時②①=P(-2X+8

y),第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)X具有概率密度求導(dǎo)可得當(dāng)y

>

0時,注意到Y(jié)

=

X

2

0，故當(dāng)y

0時，F(xiàn)Y

(

y)=0;

解

設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和

FX(x)，例3則Y=X

2的概率密度為②①Y服從自由度為

1的分布求Y=X

2

的概率密度.(P70

例26)第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月從上述兩例中可看到，在求P{Yy}的過程中,關(guān)鍵是第一步中:設(shè)法從{

g(X)

y

}中解出X,

從而得到與

{

g(X)y

}等價的關(guān)于

X的不等式.用代替{X

2

y}即利用已知的

X

的分布,求出

X

的函數(shù)的分布用代替{

-2

X

+

8

y

}求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的常用方法如例2中,如例3中,定理第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

則

Y=g(X)是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為又y=g(x)處處可導(dǎo),且有g(shù)

(x)>0

(或恒有g(shù)

(x)<0),類似可證g

(x)<0時,定理的證明與前面的解題思路完全類似.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X具有概率密度fX(x),定理(P71

Th2.4)下面求Y的分布函數(shù)FY(y):

證由于g

保號

h(

y)是g(x)

的反函數(shù)綜合以上即有結(jié)論成立.abab第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月試證X的線性函數(shù)

Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布.證

X的概率密度為例4(P72例27)

設(shè)隨機(jī)變量X～N(,2),顯然y

=

g(x)

=

a

x+b可導(dǎo)且g

=a

保號Y=aX+b的概率密度為由定理知∴Y=aX+b～(a

+b,(|a|)2

)即注取,①驗證函數(shù)可導(dǎo)且單調(diào)②求反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)④

代入定理公式